《動態(tài)解析高考數(shù)學(xué)綜合題》解析幾何.pdf

第五章第五章 直線與圓直線與圓 直線與圓是幾何中最基礎(chǔ)和最重要的兩種圖形 是代數(shù)方法在幾何研究中的應(yīng) 用的開始 對于這部分內(nèi)容 學(xué)生應(yīng)該深刻領(lǐng)會并熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法 既要注重代數(shù)運(yùn)算的簡潔 也要充分利用幾何圖形的性質(zhì) 還要認(rèn)真考慮代數(shù)式的 幾何意義 在對參數(shù)的討論過程中不要遺漏某些特殊值所表示的特殊情況 近年來 這一部分內(nèi)容在高考試題中通常屬于基礎(chǔ)題 難度中等 但解答問題 使用的方法會直接影響到運(yùn)算量的多少以及問題解答的正確率 第一節(jié)第一節(jié)第一節(jié)第一節(jié) 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 1 1 1 1 直線的直線的x 截距與截距與y 截距之間的關(guān)系截距之間的關(guān)系 例例 1 1 1 1 09 華南師大附中 3 月 已知直線l在x軸 y軸上截距的絕對值相等 且到點(diǎn) 1 2 的距離為2 求直線l的方程 動感體驗(yàn) 要全面考慮可能成立的各種情況 已知直線l在x軸 y軸上截距的絕對值相等 的條件應(yīng)考慮截距可能為零或不為零兩種情況 如圖 5 1 1 所示 點(diǎn)P在以A 1 2 為圓心 半徑為2的圓上 直線 記 為l 經(jīng)過點(diǎn)P且與圓A相切 則該l到點(diǎn) 1 2 的距離為恒為2 打開文件 09 華南師大附中 3 月 zjz 拖動點(diǎn)P 觀察可能出現(xiàn)直線l在x軸 y軸上截距的絕對值相等的情況 圖 5 1 1 思路點(diǎn)撥 對于滿足條件的直線其截距為零和不為零兩種情況分別討論 動態(tài)解析 圖 5 1 2 5 1 7 所示六種情況下 經(jīng)過點(diǎn)P的直線在x軸 y軸上截距的絕對值 均相等 圖 5 1 2圖 5 1 3 圖 5 1 4圖 5 1 5 圖 5 1 6圖 5 1 7 可設(shè)滿足條件的直線的方程為bkxy 當(dāng)0 b時(shí) 由點(diǎn)到直線的距離公式得 2 1 2 2 k k 解得62 k或 62 k 當(dāng)0 b時(shí) 則直線l的斜率k為 1 或者 1 由點(diǎn)到直線的距離公式得 2 1 2 2 k bk 當(dāng)1 k時(shí) 解得1 b或3 b 當(dāng)1 k時(shí) 解得5 b或 1 b 因此所求直線的方程為 xy 62 或xy 62 或1 xy 或3 xy 或5 xy 或1 xy 簡要評注 從本題的題設(shè)條件 很容易選擇利用直線的截距式方程表示直線進(jìn)行求解 但 要注意避免遺漏直線經(jīng)過原點(diǎn)的情況 在這里我們首先考慮到直線到點(diǎn)A的距離為 2 再尋找滿足要求的直線 就容易分類了 有時(shí)候利用直線的截距式在繪制直線時(shí)非常方便 但答案通常寫成斜截式 2 2 2 2 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 例例 2 2 2 2 06 湖南理 10 若圓01044 22 yxyx上至少有三個(gè)不同的點(diǎn) 到直線0 byaxl的距離為22 則直線l的傾斜角的取值范圍是 A 412 B 12 5 12 C 36 D 2 0 方法一方法一 動感體驗(yàn) 方程01044 22 yxyx可化為18 2 2 22 yx 該圓的圓心 為 2 2 半徑為23 圓心在直線xy 上 0 byaxl是一條過原點(diǎn)的直 線 系數(shù)ba 決定其傾斜角 令 b a k 則l的方程為 kxy 考慮k變化時(shí)與 直線kxy 平行并與之距離為22的兩條直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 打開文件 06 湖 南理 10 zjz 實(shí)線表示直線kxy 虛線是兩條到直線kxy 的距離等于22 通過拖動點(diǎn)P或者動畫按鈕可以改變k的值 如圖 5 1 8 5 1 12 所示為其中的幾種情 況 圖 5 1 8圖 5 1 9 圖 5 1 10圖 5 1 11 圖 5 1 12 思路點(diǎn)撥 改變k的值考慮當(dāng)圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為22時(shí) 兩條平行線與 圓的位置關(guān)系 這時(shí)兩平行線應(yīng)該其一與圓相切另一與圓相交 而圓心到直線l的 距離恰好為2 由此不難確定直線l的傾斜角的取值范圍 動態(tài)解析 注意到22 OC 當(dāng)圓心到直線l的距離CD恰好為2時(shí) 如圖 5 1 8 圖 5 1 11 所示 6 COD 由此不難確定若圓01044 22 yxyx上至少 有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為22時(shí) 直線l的傾斜角的取值范圍是 12 5 12 所以選擇B 方法二 方法二 動感體驗(yàn) 方程01044 22 yxyx可化為18 2 2 22 yx 可知該圓的 圓心為 2 2 半徑為23 進(jìn)入文件 06 湖南理 10 zjz 第二頁 點(diǎn)C是方程 01044 22 yxyx所在圓的圓心 點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn) OPCD 與 D 因此可以用直線OP表示方程0 byax對應(yīng)的直線l 其中 拖動點(diǎn)P 觀 察直線OP與圓C的位置關(guān)系 判斷當(dāng)圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線OP的距 離為22時(shí)直線OP所應(yīng)滿足的條件 如圖 5 1 13 5 1 16 所示 為其中的幾種情形 圖 5 1 13圖 5 1 14 圖 5 1 15圖 5 1 16 思路點(diǎn)撥 將圓上的點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化成為圓心到直線的距離 動態(tài)解析 令 b a k 則l的方程為 kxy 當(dāng)直線OP在圓心C左上方時(shí) 若圓上正好有 3 個(gè)點(diǎn)到l的距離為22 如圖 5 1 13 所示 則此時(shí)22223 CD 又因?yàn)?2 OC 4 xOC 所以在Rt CDO中 6 COD 所以 12 5 CODxOCxOD 當(dāng)直線OP在圓心C的右下方時(shí) 若圓上正好有 3 個(gè)點(diǎn)到l的距離為22 如 圖 5 1 14 所示 則此時(shí)22223 CD 又因?yàn)?2 OC 4 xOC 所以在Rt CDO中 6 COD 所以 12 CODxOCxOD 因此當(dāng) 12 5 12 xOD時(shí) 如圖 5 1 15 圖 5 1 16 所示 圓上有四個(gè)不同的 點(diǎn)到l的距離為22 所以選擇B 簡要評注 本題解答過程中要抓住兩個(gè)關(guān)鍵 一 把圓上的點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化成為圓心 到直線的距離 二 直線的特征 經(jīng)過原點(diǎn) 3 3 3 3 直線與動圓的位置關(guān)系直線與動圓的位置關(guān)系 例例 3 3 3 3 09 廣東理 B19 已知曲線 2 C yx 與直線 20l xy 交于兩點(diǎn) AA A xy和 BB B xy 且 AB xx 記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段 AB所圍成的平面區(qū)域 含邊界 為D 設(shè)點(diǎn) P s t是 2 C yx 上一點(diǎn) 且點(diǎn)P 與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合 I 若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn) 試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程 II 若曲線 222 51 240 25 G xaxyya 與D有公共點(diǎn) 試求a的最 小值 一 求點(diǎn)M的軌跡方程 這里Q是定點(diǎn) P是曲線C上的動點(diǎn) M是線段PQ的中點(diǎn) M隨P點(diǎn)而運(yùn) 動 既然曲線C是拋物線 可以猜測M的軌跡也是一條拋物線 至于它軌跡方程 就是求點(diǎn)M的坐標(biāo)之間的關(guān)系 注意到P點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線C的方程 而點(diǎn)M的 坐標(biāo)又可以通過P和Q點(diǎn)坐標(biāo)來表示 因此這個(gè)軌跡方程不難求出 事實(shí)上 由 02 2 yx xy 解得 1 A x 2 B x 1 A y 4 B y 因?yàn)镼是 線段AB的中點(diǎn)所以有 2 5 2 1 Q 又 yxM為PQ的中點(diǎn) 所以有 2 2 1 s x 2 2 5 t y 反解得 2 14 x s 2 54 y t 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上 2 st 21 s 將上式代入得 2 2 14 2 54 xy 化簡得 4 5 14 8 1 2 xy 用表示點(diǎn)M的坐標(biāo) 則有 2 14 x s 2 54 y t 即 2 2 14 2 54 xy 化簡得 4 5 14 8 1 2 xy 由21 s 得 4 5 4 1 x 所以點(diǎn)M的軌跡方程為 4 5 14 8 1 2 xy 4 5 4 1 所以切點(diǎn)在線段AB內(nèi) 由此可知a的最小值為 5 27 a 簡要評注 本題中的動圓圓心在一條水平直線上移動 半徑固定 因而比較容易了解圓與 區(qū)域 圓與直線的位置關(guān)系 而最值是取在線段的端點(diǎn)的狀態(tài)下還是圓與直線相切 的條件下 這時(shí)本題重點(diǎn)要考察的內(nèi)容 直觀的演示可以幫助我們探索與發(fā)現(xiàn)問題 但只有從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行推理和計(jì)算才能得到結(jié)論 4 4 4 4 求與圓有關(guān)的動態(tài)向量的數(shù)量積求與圓有關(guān)的動態(tài)向量的數(shù)量積 例例 4 4 4 4 08 山東臨沂 直線0 CByAx與圓4 22 yx相交于NM 兩 點(diǎn) 若 222 BAC 則ONOM O為坐標(biāo)原點(diǎn) 等于 A 2 B 1 C 0D 1 動感體驗(yàn) 圓4 22 yx是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為 2 的圓 設(shè)OM和ON之間的夾角為 根據(jù)向量的數(shù)量積的定義 cos4cos ONOMONOM 因此關(guān)鍵在于確定向量OM與ON之間的夾角 的大小 由 222 BAC 得 到 1 22 BA C 這 說 明 原 點(diǎn)O到 直 線 0 CByAx的距離等于 1 因此可以將直線0 CByAx看作是經(jīng)過單位 圓上一點(diǎn)并且與單位圓相切的動直線 打開文件 08 山東臨沂 zjz 如圖 5 1 20 所 示 拖動點(diǎn)P 觀察直線0 CByAx與圓4 22 yx兩個(gè)交點(diǎn)NM 的變 化規(guī)律 圖 5 1 20 思路點(diǎn)撥 分析條件 222 BAC 的幾何意義 研究與夾角 有關(guān)的幾何關(guān)系 動態(tài)解析 因?yàn)橹本€0 CByAx過點(diǎn)P且與單位圓相切 所以O(shè)P垂直且平分MN 在 RtOPM中 1 OP 2 OM 所以 3 POM 3 2 MON 圖 5 1 21 所以2 3 2 cos4cos4cos ONOMONOM 因此選擇 A 簡要評注 解決本題的關(guān)鍵在于在熟練掌握向量的數(shù)量積概念的前提下挖掘條件 222 BAC 從而確定直線0 CByAx的特征以求出向量之間的夾角 5 5 5 5 與直線截距有關(guān)的不等關(guān)系與直線截距有關(guān)的不等關(guān)系 例例 5 5 5 5 08 全國 I 理 10 若直線1 xy ab 通過點(diǎn) cossin M 則 A 22 1ab B 22 1ab C 22 11 1 ab D 22 11 1 ab 動感體驗(yàn) 由 cossin M 想到單位圓 M是這個(gè)單位圓上的動點(diǎn) 條件直線 1 xy ab 通過點(diǎn) cossin M 實(shí)際上是說直線和單位圓有公共點(diǎn) 其中隱含圓 心到直線的距離與單位圓的半徑1的關(guān)系 打開文件 08全國I理10 zjz 如圖5 1 22 所示 經(jīng)過點(diǎn)M和點(diǎn)N的直線表示方程1 xy ab 對應(yīng)的直線 點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別 是直線與x軸 y軸的交點(diǎn) 拖動點(diǎn)N可以任意改變直線性質(zhì)特征 研究四個(gè)選項(xiàng) 所表示的幾何意義以及成立的可能性 圖 5 1 22 思路點(diǎn)撥 在直角三角形POQ中考慮斜邊上的高與單位圓半徑之間的關(guān)系 動態(tài)解析 圖 5 1 23 和圖 5 1 24 說明 22 1ab 和 22 1ab 兩種情況都可能成立 圖 5 1 23圖 5 1 24 當(dāng)直線1 xy ab 與圓O相切時(shí) 如圖 5 1 25 所示 直角三角形POQ斜邊上的 高線等于圓O的半徑 1 圖 5 1 25圖 5 1 26 而其他情況下 如圖 5 1 25 所示 直角三角形POQ斜邊上的高線小于圓O的 半徑 1 通過面積公式可以求得直角三角形POQ斜邊上的高等于 22 ba ba 由 1 22 ba ba 化簡得 1 11 22 ba 因此答案選擇 D 進(jìn)入文件 08 全國 I 理 10 zjz 的第二頁 如圖 5 1 27 所示 則給出直線與單 位圓沒有公共點(diǎn)的情況 這時(shí)1 22 ba ba OM 由此1 11 22 ba 即選項(xiàng) C 表明的關(guān)系 圖 5 1 27 簡要評注 本題中ba 為截距 恰好是直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及原點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角 形的直角邊長 因此設(shè)法在POQRt 中找出 22 ba 及 22 11 ba 的幾何意義是解決 問題的關(guān)鍵 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 研究直線與圓的位置關(guān)系 通常轉(zhuǎn)換為圓心與直線的距離問題 此外 充分利 用代數(shù)式的所表示的幾何性質(zhì) 能夠提高我們的解題效率 減少出錯(cuò)率和計(jì)算量 拓展練習(xí)拓展練習(xí) 1 06 湖南理 10 改編 若圓 222 5 3 ryx 上有且僅有兩點(diǎn)到直線 0234 yx的距離為 1 則半徑r的取值范圍是 2 08 遼寧理 3 圓 22 1xy 與直線2ykx 沒有公共點(diǎn)的充要條件是 A 2 2 k B 2 2 k C 3 3 k D 3 3 k 3 08 安徽文 10 若過點(diǎn) 4 0 A 的直線l與曲線 22 2 1xy 有公共點(diǎn) 則直線l的斜率的取值范圍為 A 33 B 33 C 33 33 D 33 33 4 08 寧夏 海南文 20 已知m R R R R 直線l 2 1 4mxmym 和圓C 22 84160 xyxy 求直線l斜率的取值范圍 直線l能否將圓C分割成弧長的比值為 1 2 的兩段圓弧 為什么 第二節(jié)第二節(jié)第二節(jié)第二節(jié) 直線系與圓系直線系與圓系直線系與圓系直線系與圓系 1 1 1 1 動直線與動圓的位置關(guān)系動直線與動圓的位置關(guān)系 例例 1 1 1 1 06 江西理 16 已知圓M 1 sin cos 22 yx 直線 kxyl 下面四個(gè)命題 A 對任意實(shí)數(shù)k與 直線l和圓M相切 B 對任意實(shí)數(shù)k與 直線l和圓M有公共點(diǎn) C 對任意實(shí)數(shù) 必存在實(shí)數(shù)k 使得直線l與和圓M相切 D 對任意實(shí)數(shù)k 必存在實(shí)數(shù) 使得直線l與和圓M相切 其中真命題的代號是 寫出所有真命題的代號 動感體驗(yàn) 這里給出的是圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程 其半徑為 1 圓心為 sin cos 可以想 象出這些圓的半徑都是 1 而圓心在單位圓上 所以這些圓都過原點(diǎn) 而直線 kxyl 則是過原點(diǎn)的直線但不包括y軸 這就不難考慮圓和直線可能有怎樣的 位置關(guān)系了 打開文件 06 江西理 16 zjz 如圖 5 2 1 所示 拖動點(diǎn)A可以改變的圓M的圓 心A的位置 點(diǎn)P是圓O上的動點(diǎn) 可以用經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P的直線表示直線l kxy 拖動點(diǎn)A或者點(diǎn)P 觀察和研究圓M和直線l之間的位置關(guān)系 圖 5 2 1 思路點(diǎn)撥 將圓M與直線l之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓M的半徑OA與點(diǎn)M到直線l的距 離之間的大小關(guān)系 動態(tài)解析 通過圖 5 2 1 可以觀察到 圓M與直線l均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O 因此選項(xiàng)B正確 但選項(xiàng)A錯(cuò)誤 當(dāng)點(diǎn)P在任意位置時(shí) 只要拖動點(diǎn)A使得OAOP 就有直線l和圓M相切 即對任意實(shí)數(shù)k 都存在實(shí)數(shù) 使得直線l和圓M相切 如圖 5 2 2 所示 因此選 項(xiàng)D正確 圖 5 2 2 當(dāng)點(diǎn)A在任意位置時(shí) 只要拖動點(diǎn)P使得OAOP 就有直線l和圓M相切 但是當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí) 如圖 5 2 3 和圖 5 2 4 則直線l的斜率k不存在 因此選 項(xiàng)C錯(cuò)誤 圖 5 2 3圖 5 2 4 正確答案為 DB 簡要評注 本題是不定項(xiàng)選擇題 需要對每個(gè)命題進(jìn)行判斷 通過動感體驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)動圓 與動直線經(jīng)過的共同點(diǎn) 原點(diǎn) 動中求靜是這類問題的一種常見解答思路 2 2 2 2 動直線及其包絡(luò)問題動直線及其包絡(luò)問題 例例 2 2 2 2 09 江西理 16 文 16 設(shè)直線系M 1sin 2 cos yx 20 對于下列四個(gè)命題 A M中的所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn) B 存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上 C 對于任意整數(shù)n 3 n 存在正n邊形 其所有邊均在M中的直線上 D M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等 其中真命題的代號是 寫出所有真命題的代號 動感體驗(yàn) 首先是認(rèn)識直線系M 1sin 2 cos yx 20 具有怎樣的 特征 設(shè) 2 3 2 0 可以分別得到直線1 x 3 y 1 x和1 y 這四 條直線與點(diǎn) 0 2 的距離都等于 1 可以想象直線系M是否具有這樣的特征 事實(shí) 上由1 sincos 1sin 22 cos0 22 知道 直線系M所表示的是到點(diǎn) 2 0 的距 離為 1 的直線 或者說直線系是以點(diǎn) 2 0 為圓心 半徑為 1 的圓上的切線 也可以把 sin cos 看成直線的單位法向量 于是由向量 2 yx與 sin cos 的數(shù)量積等于 1 知直線系M是到點(diǎn) 2 0 的距離為 1 的直線 或者說 直線系是以點(diǎn) 2 0 為圓心 半徑為 1 的圓上的切線 打開文件 09 江西理 16 zjz 如圖 5 2 5 所示 拖動點(diǎn)P或者單擊動畫按鈕 觀察直線系M的特征 圖 5 2 5 思路點(diǎn)撥 通過直線M的特征及其所圍成的區(qū)域 對四個(gè)命題進(jìn)行判斷 動態(tài)解析 M中的直線不經(jīng)過任何一個(gè)定點(diǎn) 因此選項(xiàng) A 錯(cuò)誤 圓A內(nèi)的所有點(diǎn)均不在M中的任何一條直線上 因此選項(xiàng) B 正確 當(dāng) 均勻變化 即點(diǎn)P在圓周上勻速運(yùn)動時(shí) 直線之間的交點(diǎn)就是正n邊形的 頂點(diǎn) 如圖 5 2 6 5 2 11 所示 因此選項(xiàng) C 正確 圖 5 2 6圖 5 2 7圖 5 2 8 圖 5 2 9圖 5 2 10圖 5 2 11 用鼠標(biāo)雙擊動畫按鈕的綠色部分 最右側(cè)部分 可以打開動畫按鈕的屬性對話 框 如圖 5 2 12 所示 在動畫運(yùn)動的頻率一欄輸入大于 3 的整數(shù)后單擊 確定 按 鈕 再次單擊動畫按鈕 即可呈現(xiàn)由M中的直線所組成的對應(yīng)正多邊形 圖 5 2 12 M中的直線所能圍成的區(qū)域是圓A內(nèi)部 而其內(nèi)部可以有無數(shù)多個(gè)面積不同 的正三角形 因此選項(xiàng) D 錯(cuò)誤 所以答案為 B C 簡要評注 抓住直線系的特征才能更好地研究其特點(diǎn) 除了通常的過定點(diǎn)的直線系以及平 行直線系外 本題中的直線系也是一種典型類型 3 3 3 3 動圓及其性質(zhì)特征動圓及其性質(zhì)特征 例例 3 3 3 3 07 江西理 16 設(shè)有一組圓 224 1 3 2 k Cxkykkk N N N N 下列四個(gè)命題 存在一條定直線與所有的圓均相切 存在一條定直線與所有的圓均相交 存在一條定直線與所有的圓均不 相交 所有的圓均不 經(jīng)過原點(diǎn) 其中真命題的代號是 寫出所有真命題的代號 動感體驗(yàn) 打開文件 07 江西理 16 zjz 單擊動畫按鈕 結(jié)果如圖 5 2 13 所示 表示一組 圓 224 1 3 2 k Cxkykkk N N N N 觀察這組圓的特點(diǎn) 對四個(gè)命題進(jìn) 行判斷 圖 5 2 13 思路點(diǎn)撥 通過圓心 3 1 kkC 與半徑 2 2k研究系列圓的性質(zhì)特征 動態(tài)解析 可以從最容易判斷的選項(xiàng) 入手 只需看原點(diǎn)的坐標(biāo) 0 0 是否適合圓的方程 就行了 事實(shí)上通過 422 29 1 kkk 因此所有的圓均不 經(jīng)過原點(diǎn) 所以選 項(xiàng) 為真命題 令1 k和2 k分別得到 2 3 22 1 yxC 和 32 6 1 22 2 yxC 圓心距為10 半徑的差等于23 因?yàn)?310 所以兩圓內(nèi)含 由此看 來不可能存在一條直線與所有的圓均相切 所以選項(xiàng) 為假命題 由于這些圓的圓心為 3 1 kkCk 所以這些圓的圓心在直線33 xy上 這 條直線就與所有的圓均相交 所以選項(xiàng) 為真命題 由于這些圓的半徑為 2 2k隨著k的增大而無限增大 因此不可能存在一條定 直線與所有的圓均不 相交 所以選項(xiàng) 是假命題 因此答案為 B D 簡要評注 在研究直線系和圓系的有關(guān)問題時(shí) 要抓住他們的共性及其相互關(guān)系 才能準(zhǔn) 確地把握運(yùn)動中的圖形的性質(zhì)特征 直線與圓的位置關(guān)系的判斷還是要充分利用圓 心與直線的距離 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 直線系是一簇有共同特征的直線的總稱 雖然在課本中沒有詳細(xì)介紹 但在練 習(xí)中卻經(jīng)常出現(xiàn) 一般地方程中含有函數(shù)時(shí)就表現(xiàn)為直線系 圓系的問題也類似 高考中有關(guān)直線系和圓系的問題時(shí)常出現(xiàn) 解答過程中方法的選擇非常重要 直線系與圓系的問題都可以分別理解為直線運(yùn)動與圓運(yùn)動的問題 在運(yùn)動的過 程探索規(guī)律是這一類型題目的典型特征 抓住共性 例如過直線或圓定點(diǎn) 圓心或 者圓的半徑固定等等 才能抓住問題的本質(zhì)和解決問題的關(guān)鍵 拓展練習(xí)拓展練習(xí) 1 07 江西理 16 改編 在例題 3 中 若將題設(shè)中的 Nk 改為Rk 則 上述四個(gè)命題中哪幾個(gè)是真命題 2 09 廣東文 A 19 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) 長軸在 x 軸上 離心率 為 3 2 兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和 2 F 橢圓G上一點(diǎn)到F1和 2 F的距離之和為 12 圓 k C 22 24210 xykyykR 的圓心為點(diǎn) k A I 求橢圓G的方程 II 求 12k A FF面積 III 問是否存在圓 k C包圍橢圓G 請說明理由 第三節(jié)第三節(jié)第三節(jié)第三節(jié) 求最值問題求最值問題求最值問題求最值問題 1 1 1 1 求邊長成比例的三角形面積最值求邊長成比例的三角形面積最值 例例 1 1 1 1 08 江蘇 13 若2 AB BCAC2 ABC S 的最大值 動感體驗(yàn) 因?yàn)? AB BCAC2 可以認(rèn)為三角形ABC的A B兩點(diǎn)是確定的 而C點(diǎn)尚未確定 可以考慮在滿足條件BCAC2 下的點(diǎn)C的軌跡圖形 然后通 過數(shù)形結(jié)合的方法求三角形面積的最大值 打開文件 08 江蘇 13 zjz 如圖 5 3 1 所示 拖動點(diǎn)C 觀察線段AC與BC之 間的關(guān)系 并研究點(diǎn)C對三角形ABC的形狀和面積的影響 圖 5 3 1 思路點(diǎn)撥 以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 以有向線段AB的方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐 標(biāo)系 則點(diǎn)A B的坐標(biāo)可表示為 0 1 A 0 1 B 設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 yxC 則有 2222 1 2 1 yxyx 化簡得 8 3 22 yx 它表示 一個(gè)坐標(biāo)圓心在 0 3 半徑為22的圓 顯然當(dāng)點(diǎn) C 與AB的距離最大時(shí)三角形 ABC面積取最大值 動態(tài)解析 點(diǎn)C的軌跡表示一個(gè)坐標(biāo)圓心在 0 3 半徑為22的圓 進(jìn)入文件 08 江蘇 13 zjz 的第二頁 如圖 5 3 2 所示 圖 5 3 2 容易知道 當(dāng)點(diǎn)C在圓心正上方或正下方時(shí) 三角形ABC的高最大 等于圓 的半徑 面積也最大 因此三角形ABC的最大面積等于22222 2 1 簡要評注 建立坐標(biāo)系求動點(diǎn)軌跡是代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用 引進(jìn)坐標(biāo)系即可簡化計(jì)算 也可使問題變得直觀 容易理解 在本題中 利用點(diǎn)C的軌跡所在的圓直觀地表示 代數(shù)式BCAC2 是解決問題的突破口 2 2 2 2 求兩動點(diǎn)之間距離的最值求兩動點(diǎn)之間距離的最值 例 2 05 廣東 20 在平面直角坐標(biāo)系中 已知矩形ABCD的長為 寬為 AB AD 邊分別在x軸 y軸的正半軸上 A點(diǎn)與坐標(biāo)原 點(diǎn)重合 如圖 5 3 3 所示 將矩形折疊 使A點(diǎn) 落在線段DC上 若折痕所在直線的斜率為k 試寫出 折痕所在直線的方程 圖 5 3 3 求折痕的長的最大值 一 求折痕所在直線的方程 1 當(dāng)0 k時(shí) 如圖 5 3 4 所示 此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合 折痕所在的直線方 程 2 1 y 圖 5 3 4圖 5 3 5 2 當(dāng)0 k時(shí) 如圖 5 3 5 所示 設(shè)A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn) 1 0 xA 20 0 x 則直線AO 的斜率 0 0 1 x A k 所以折痕所在直線垂直平分AO 1 kk AO 即 1 1 0 k x 所以 kx 0 又因?yàn)檎酆鬯诘闹本€與AO 的交點(diǎn)坐標(biāo) 線段AO 的中點(diǎn) 為 2 1 2 k M 所以折痕所在的直線方程 2 2 1k xky 即 2 1 22 k ykx 綜合 1 2 得折痕所在的直線方程為 2 1 22 k ykx 02 k 二 求折痕的長的最大值 動感體驗(yàn) 打開文件 05 廣東 20 zjz 點(diǎn) A是點(diǎn)A沿矩形折疊后的對應(yīng)點(diǎn) 拖動點(diǎn) A觀 察折痕的變化規(guī)律 動態(tài)解析 折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 1 2 1 0 22 k k F k E 如圖 5 3 6 所示 圖 5 3 6 由 知 0 xk 因?yàn)?0 0 x 所以02 k 設(shè)折痕長度為d 所在直線的傾斜角為 1 當(dāng)0 k時(shí) 如圖 5 3 7 所示 此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合 折痕的長為 2 圖 5 3 7 2 當(dāng)02 k時(shí) 設(shè) k k a 2 1 2 2 1 2 k b 20 ABa時(shí) 如圖 5 3 9 所示 l與線段BC相交 此時(shí)032 k 10 b時(shí) 如圖 5 3 10 所示 l與線段AD相交 此時(shí)01b時(shí) 如圖 5 3 11 所示 l與線段DC相交 此時(shí)12 k 所以將k所在的分為 個(gè)子區(qū)間 當(dāng)12 k時(shí) 折痕所在的直線l與線段DC AB相交 如圖 5 3 11 所示 折痕的長 1 1 1 1 1 sin 1 2 2 2 kk k k k d 所以2 2 5 d 當(dāng)321 k時(shí) 折痕所在的直線l與線段AD AB相交 如圖 5 3 10 所示 折痕的長 4 3 4 1 4 3 4 2 1 2 1 2 24 2 2 2 2 k kkk k k d 令0 xg 即0 2 1 2 3 3 3 k k k 即0132 46 kk 即 0 2 1 1 222 kk 所以321 k 解得32 2 2 k 令0 xg 解得 2 2 1 k 故當(dāng) 2 2 1 k時(shí) xg是減函數(shù) 當(dāng)32 2 2 k時(shí) xg是 增函數(shù) 因?yàn)? 1 g 348 4 32 g 所以 32 1 gg 所以 當(dāng)32 k時(shí) 348 4 32 g 26 23482 32 gd 所以 當(dāng)321 k時(shí) 26 2 d 當(dāng)032 k時(shí) 折痕所在的直線l與線段AD BC相交 如圖 5 3 9 所示 折痕的長 2 2 12 1 1 2 cos 2 k k d 所以34822 l 即 26 22 l 綜上所述得 當(dāng)32 k時(shí) 折痕的長有最大值 為 26 2 簡要評注 本題考查的是學(xué)生分類討論的能力 要求對圖形的變化有清晰地認(rèn)識 在解答 過程中可以看到找出分界點(diǎn)以及每一類的最值都需要耐心和細(xì)致的計(jì)算 3 3 3 3 求向量數(shù)量積的最值求向量數(shù)量積的最值 例例 3 3 3 3 07 遼寧理 20 已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 2 2yx 上 其中O為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)圓C是OAB的外接圓 點(diǎn)C為圓心 I 求圓C的方程 II 設(shè)圓M的方程為1 sin7 cos74 22 yx 過圓M上任意 一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PEPF 切點(diǎn)為EF 求CFCE 的最大值和 最小值 一 求圓C的方程 打開文件 07 遼寧理 20 zjz 如圖 5 3 12 所示 圖 5 3 12 利用正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 2 2yx 上的條件容易求出A點(diǎn)的 坐標(biāo) 進(jìn)而求出三角形外接圓的圓心和半徑 具體解法如下 因?yàn)镺AB是正三角形 可知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱 所以 o xOA30 設(shè)點(diǎn) 2 xxA 則有 x x xOA 2 3 3 tan 解得 6 x 由正弦定 理知 R OBA OA 2 sin 解得 4 R 則圓心的坐標(biāo)為 0 4 所以圓C的方程為 16 4 22 yx 二 求CFCE 的