高考數(shù)學(xué) 6.1不等關(guān)系與不等式配套課件 文 北師大版.ppt

第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 三年21考高考指數(shù) 1 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系 2 了解不等式 組 的實(shí)際背景 3 掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用 1 不等式的性質(zhì)是考查的重點(diǎn) 2 不等關(guān)系常與函數(shù) 數(shù)列 導(dǎo)數(shù) 幾何以及實(shí)際問題相結(jié)合進(jìn)行綜合考查 3 題型以選擇題和填空題為主 與其他知識(shí)的交匯則以解答題為主 1 兩實(shí)數(shù)比較大小的法則 關(guān)系 法則 a b a b a b a b 0 a b 0 a b 0 即時(shí)應(yīng)用 1 若a b c r a b 判斷下列不等式是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫 或 a2 b2 2 下列不等式中正確的是 m 3 m 5 5 m 3 m 5m 3m 5 m 5 m 解析 1 特殊值法 取a 1 b 1 c 0可知 不正確 2 m 3 m 5 2 0 故 正確 5 m 3 m 2 0 故 正確 5m 3m 2m 無法判斷其符號(hào) 故 錯(cuò) 5 m 5 m 2m 無法判斷其符號(hào) 故 錯(cuò) 答案 1 2 2 不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì) 內(nèi)容 特別提醒 對(duì)稱性 傳遞性 可加性 可乘性 a b a b b c a b 注意c的符號(hào) b a a c a c b c ac bc ac bc 性質(zhì) 內(nèi)容 特別提醒 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 可開方性 a b 0 a b 0 a b同為正數(shù) a c b d ac bd an bn n n n 2 n n n 2 即時(shí)應(yīng)用 1 已知a b c d r 且c d 則 a c b d 是 a b 的 條件 2 若a 0 1 b 0 則a ab ab2的大小關(guān)系為 3 已知a b c r 有以下命題 若a b 則ac2 bc2 若ac2 bc2 則a b 若a b 則a 2c b 2c 其中正確的是 請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填上 解析 1 若a c b d c d不妨令a 1 b 2 c 5 d 3 則上式成立 但a b 故充分條件不具備 反之 若a b c d 則a b 0 c d 0 兩式相加得a b c d 0 即a c b d 故必要條件具備 故應(yīng)為必要不充分條件 2 由已知得0 b2 1 a 0 故ab 0 ab2 0且a ab2 故a ab2 ab 3 當(dāng)c 0時(shí) 不正確 若ac2 bc2 則c2 0 a b 故 正確 由2c 0知 正確 答案 1 必要不充分 2 a ab2 ab 3 3 不等式的一些常用性質(zhì) 1 倒數(shù)性質(zhì) a b ab 0 a 0 b a b 0 0 c d 0 a x b或a x b 0 2 有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a b 0 m 0 則 真分?jǐn)?shù)的性質(zhì) b m 0 假分?jǐn)?shù)的性質(zhì) b m 0 即時(shí)應(yīng)用 1 3與 的大小為 2 若0 a b c 0 則與的大小關(guān)系為 解析 1 3 又 0 3 故 3 2 0 a b 1 0 又 c 0 1 1 故 答案 1 2 用不等式 組 表示不等關(guān)系 方法點(diǎn)睛 實(shí)際應(yīng)用中不等關(guān)系與數(shù)學(xué)語言間的關(guān)系將實(shí)際問題中的不等關(guān)系寫成相應(yīng)的不等式 組 時(shí) 應(yīng)注意關(guān)鍵性的文字語言與對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)符號(hào)之間的正確轉(zhuǎn)換 常見的文字語言有大于 不低于 超過 至少等 其轉(zhuǎn)換關(guān)系如表 例1 某廠擬生產(chǎn)甲 乙兩種適銷產(chǎn)品 甲 乙產(chǎn)品都需要在a b兩種設(shè)備上加工 在每臺(tái)a b上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí) 2小時(shí) 加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí) 1小時(shí) a b兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400和500 寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式 解題指南 這是一個(gè)二元不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用題 只需設(shè)出兩個(gè)變量 依據(jù)題目所述條件逐一用不等式表示 然后組成不等式組即可 規(guī)范解答 設(shè)甲 乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x y 則由題意可知 反思 感悟 用不等式 組 表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí) 除了把文字語言 翻譯 成符號(hào)語言 把握 不超過 不低于 至少 至多 等關(guān)鍵詞外 還應(yīng)考慮變量的實(shí)際意義 即變量的取值范圍 變式訓(xùn)練 某汽車公司由于發(fā)展的需要需購(gòu)進(jìn)一批汽車 計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為40萬元 90萬元的a型汽車和b型汽車 根據(jù)需要 a型汽車至少買5輛 b型汽車至少買6輛 寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式 解析 設(shè)購(gòu)買a型汽車和b型汽車分別為x輛 y輛 則由題意可得即 比較大小 方法點(diǎn)睛 比較大小的常用方法 1 作差法一般步驟是 作差 變形 定號(hào) 結(jié)論 其中關(guān)鍵是變形 常采用配方 因式分解 有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式 當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí) 有時(shí)也可以先平方再作差 2 作商法一般步驟是 作商 變形 判斷商與1的大小 結(jié)論 3 特值法若是選擇題 填空題可以用特值法比較大小 若是解答題 可以用特值法探究思路 其實(shí)質(zhì)就是利用特殊值判斷 提醒 用作商法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù) 否則極易得出相反的結(jié)論 從而誤解 例2 1 若a b是任意實(shí)數(shù) 且a b 則下列不等式成立的是 a a2 b2 b 1 c lg a b 0 d a b 2 已知a1 a2 0 1 記m a1a2 n a1 a2 1 則m與n的大小關(guān)系是 a m n b m n c m n d 不確定 3 已知a b 0 比較aabb與abba的大小 解題指南 1 運(yùn)用特殊值驗(yàn)證即可 2 可用作差法求解 3 利用作商法求解判斷 規(guī)范解答 1 選d 令a b 1 則a b c均不成立 故選d 2 選b m n a1a2 a1 a2 1 a1 a2 1 a2 1 a1 1 a2 1 又a1 a2 0 1 故 a1 1 a2 1 0 故m n 3 又 a b 0 故 1 a b 0 1 即 1 又abba 0 aabb與abba的大小關(guān)系為 aabb abba 互動(dòng)探究 若將本例 2 中 a1 a2 0 1 改為 a1 a2 1 結(jié)論又將如何 解析 m n a1a2 a1 a2 1 a1 a2 1 a2 1 a1 1 a2 1 a1 a2 1 a1 1 a2 1 0 故m n 0 故m n 反思 感悟 1 作差比較法的目的是判斷差的符號(hào) 而作商比較法的目的是判斷商與1的大小 兩種方法的關(guān)鍵是變形 2 當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式為多項(xiàng)式形式時(shí) 常用作差法比較大小 當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式均為正且均為冪的乘積式時(shí) 常用作商比較法 變式備選 比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大小 1 3m2 m 1與2m2 m 3 2 x2 y2 x y 與 x2 y2 x y x y 0 3 已知a 0 b 0 比較a b與a b的大小 解析 1 3m2 m 1 2m2 m 3 m2 2m 4 m 1 2 3 0 3m2 m 1 2m2 m 3 2 x2 y2 x y x2 y2 x y x y x2 y2 x y 2 2xy x y x y 0 2xy x y 0 x2 y2 x y x2 y2 x y 3 因?yàn)?a b a b a b a b 2 0 所以a b a b 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 不等式性質(zhì)的應(yīng)用類型分析不等式的性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛 1 與常用邏輯用語結(jié)合考查充要條件 2 應(yīng)用性質(zhì)比較大小 3 求范圍 并且求參數(shù)范圍問題是考查的熱點(diǎn)問題 它常與三角函數(shù)等結(jié)合考查 2 形如f x y 的取值范圍的求解由a f x y b c g x y d 求f x y 的取值范圍 可利用待定系數(shù)法求解 即設(shè)f x y mf x y ng x y 利用恒等變形求得m n 再利用不等式的性質(zhì)求得f x y 的取值范圍 例3 1 2011 浙江高考 設(shè)a b為實(shí)數(shù) 則 0 ab 1 是 b 的 a 充分而不必要條件 b 必要而不充分條件 c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件 2 已知函數(shù)f x ax2 bx 且1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范圍 解題指南 1 利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷 2 利用待定系數(shù)法尋找f 2 與f 1 f 1 之間的關(guān)系 即用f 1 f 1 整體表示f 2 再利用不等式的性質(zhì)求f 2 的取值范圍 規(guī)范解答 1 選d 0 ab 1可分為兩種情況 當(dāng)a 0 b 0時(shí) b 當(dāng)a 0 b 0時(shí) b 故不充分 反之 當(dāng)b 0 時(shí) 有ab 0 故不必要 所以應(yīng)為既不充分也不必要條件 2 方法一 設(shè)f 2 mf 1 nf 1 m n為待定系數(shù) 則4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得 解得 f 2 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 即5 f 2 10 方法二 即 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 即5 f 2 10 互動(dòng)探究 若本例 2 中的條件不變 求f 2 的取值范圍 解析 設(shè)f 2 mf 1 nf 1 m n為待定系數(shù) 則4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得 即 所以f 2 f 1 3f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 7 f 1 3f 1 14 即7 f 2 14 反思 感悟 1 判斷一個(gè)與不等式有關(guān)的命題的真假 首先找到與命題相關(guān)的性質(zhì) 明確不等式成立的條件 然后再判斷 對(duì)于選擇題 填空題要注意特殊值法的應(yīng)用 2 根據(jù)不等式的性質(zhì)求范圍時(shí) 一定要利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形求解 如不等式兩邊同乘一個(gè)含字母的式子 必須確定它的正負(fù) 同向不等式只能相加 不能相減等 同時(shí)要注意不等式性質(zhì)應(yīng)用的條件及可逆性 變式備選 1 已知12 a 60 15 b 36 求a b 的取值范圍 2 1 a b 3且2 a b 4 求2a 3b的取值范圍 解析 1 15 b 36 36 b 15 又 12 a 60 12 36 a b 60 15 即 24 a b 45 又 2 設(shè)2a 3b x a b y a b 則 解得 即 2a 3b 易錯(cuò)誤區(qū) 忽視等號(hào)成立的條件而致錯(cuò) 典例 2011 新課標(biāo)全國(guó)卷 若變量x y滿足約束條件則z x 2y的最小值為 解題指南 設(shè)z x 2y 2x y x y 然后利用待定系數(shù)法 求得 和 的值 然后通過 2x y 和 x y 本身的范圍求得z x 2y的范圍 規(guī)范解答 令z x 2y 2x y x y 2 x y z 2x y x y 又 3 2x y 9 9 x y 6 6 2x y x y 3 即 6 z 3 zmin 6 答案 6 閱卷人點(diǎn)撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示與備考建議 1 2012 馬鞍山模擬 已知a b為非零實(shí)數(shù) 且a b 則下列不等式一定成立的是 a a2 b2 b c a b d 2a 2b 解析 選d 當(dāng)b a 0時(shí) a2 b2不成立 故a錯(cuò) 若a 0 b 0 則b不成立 當(dāng)b a 0時(shí) a b 不成立 故c錯(cuò) 由y 2x是增函數(shù)可知d正確 2 2012 濰坊模擬 已知x 0 y 0 x y 則下面四個(gè)數(shù)中最小的是 a b c d 解析 選c 特值驗(yàn)證法 令x 1 y 2