數(shù)列-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（原卷版）

冷題12敝利

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2023天津甲乙n卷

考點(diǎn)01等差等比

2022乙卷

數(shù)列應(yīng)用等差等比數(shù)列及求和在高考

2020北京卷

中主要考查基本量的基本運(yùn)

算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本

2024甲天津卷

應(yīng)用。包括：錯(cuò)位相減求和，

2023III甲乙卷

奇偶性求和，列項(xiàng)求和等。

考點(diǎn)02數(shù)列求和2022甲卷

2021III乙卷

2020浙江III卷

2024北京

2023北京

考點(diǎn)數(shù)列情景類

03情景化與新定義是高考的一

2021北京I卷

問(wèn)題

個(gè)新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過(guò)的

2020II卷

知識(shí)去解決新定義問(wèn)寇，因加

以重視，是高考的一個(gè)方向，

2024I北京卷并且作為壓軸題的可能性比

考點(diǎn)04數(shù)列新定義

2023北京卷較大，難度大。

問(wèn)題

2024II卷知識(shí)的綜合是未來(lái)高考的一

考點(diǎn)05數(shù)列與其他2023北京天津乙II卷個(gè)重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)

知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)2022北京浙江III卷計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個(gè)

題2021甲浙江工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合

2020浙江II卷等，屬于中等難度。

分考并精準(zhǔn)練工

考點(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用

-選擇題

1.（2020北京高考?第8題）在等差數(shù)列｛4｝中，0=-9,a,=-l.記7；=4%…%（"=1,2,…），則數(shù)列｛1｝

（）.

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

2.（2023年天津卷?第6題）已知｛&｝為等比數(shù)列，S”為數(shù)列｛q,｝的前幾項(xiàng)和，4+i=2S〃+2,則%的值

為（）

A.3B.18C.54D.152

3.（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第8題）記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若邑=-5,S6=21S2,則Sg=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

4.（2023年全國(guó)甲卷理科?第5題）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和5“，若4=1,'=5邑-4,

則=（）

1565

A.—B.——C.15D.40

88

5.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）.第8題）已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,?2-?5=42,則以=

（）

A.14B.12C.6D.3

二、填空題

3.（2023年全國(guó)乙卷理科?第15題）已知｛%｝為等比數(shù)列，“2。4%="3。6，%。10=一8，則%=.

考點(diǎn)02數(shù)列求和

-選擇題

1.（2024?全國(guó)?高考甲卷文）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，若品=1,則/+%=（）

72

A.—2B.—C.1D.—

39

2.（2024?全國(guó)?甲卷）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知S5=1,a5=l,則%=（）

155

3.（2020年高考課標(biāo)II卷理科?第6題）數(shù)列｛?｝中，。1=2,4+〃=。祇?！ǎ粢?i+ak+2-\------F^+10=2—2,

貝4左=（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

4.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第11題）已知數(shù)列｛斯｝滿足a/“；。,則亂=.

5.（2020年新高考全國(guó)卷H數(shù)學(xué)（海南）?第15題）將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列

｛an｝,則｛3｝的前n項(xiàng)和為.

三解答題：

,、伉,-6,九為奇數(shù)

6.（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第18題）已知｛/｝為等差數(shù)列，或=/生/田4，記S”，北分別為數(shù)

[24,〃為偶數(shù)

列｛%,｝，也｝前“項(xiàng)和,$4=32,4=16.

（1）求｛?！保耐?xiàng)公式；

⑵證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

+1,”為奇數(shù),

7.（2021年新高考I卷第17題）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足4=1,

+2,”為偶數(shù)

⑴記功=%，寫出偽，b2,并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

⑵求｛%｝的前20項(xiàng)和.

8.(2021年高考全國(guó)乙卷理科?第19題)記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，2為數(shù)列｛S“｝的前w項(xiàng)積，已知

21°

-----1—二2

S"bn-

(1)證明：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

9.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第20題)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，且d>l.令>=-----記色工,分

an

別為數(shù)列｛?！埃?｛包｝的前〃項(xiàng)和.

⑴若3。2=3%+%,邑+4=21,求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若也｝為等差數(shù)列，且%-4=99,求小

10.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)?第17題)記S>,為數(shù)列｛冊(cè)｝的前"項(xiàng)和.已知。+〃=2。,+1.

n

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵若為,%，佝成等比數(shù)列，求Sn的最小值.

11.（2021年新高考全國(guó)II卷第17題）記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，若為=S5,%%=S4.

⑴求數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式an；

⑵求使Sn>an成立的”的最小值.

12（2023年全國(guó)乙卷）1.記S"為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知%=11，兒=40.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛同｝的前"項(xiàng)和

13.（2020年新高考全國(guó)I卷（山東）?第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足出+。4=20,%=8.

（1）求｛%』的通項(xiàng)公式；

⑵記與為｛4｝在區(qū)間（0,何（meN*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛幻｝的前100項(xiàng)和So。.

14.(2020年新高考全國(guó)卷II數(shù)學(xué)(海南).第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足電+%=20,4=8.

⑴求｛?！埃?xiàng)公式；

⑵求qw—a2a3+...+(—1)".

15.(2023年全國(guó)甲卷理科?第17題)設(shè)S,為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，己知。2=1,25〃=叫「

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列的前w項(xiàng)和7；.

16.(2020天津高考?第19題)已知｛許｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，=4=1,%=5(%-%)也=4(%-%).

(1)求應(yīng)｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(11)記｛?！埃那?項(xiàng)和為與，求證：5￡+2<S；+ReN*)；

(“一2泡,“為奇數(shù)，

(III)對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)。=%""+2求數(shù)列｛%｝的前2九項(xiàng)和.

也，”為偶數(shù).

4+1

17（2024?天津?高考真題）已知數(shù)列｛4｝是公比大于0的等比數(shù)列.其前〃項(xiàng)和為若q=l,邑=4-1.

⑴求數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和S,;

[k,n=a,

⑵設(shè)d=八/k^,k>2.

[bn_1+2k,ak<n<aM

（0）當(dāng)八2,〃=4+i時(shí)，求證：bn_x>ak-bn-

sn

（團(tuán)）求.

z=l

考點(diǎn)03數(shù)列情景類題目

一、選擇題

1.（2020年高考課標(biāo)n卷理科）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的

第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多

729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

2.（2022新高考全國(guó)II卷.第3題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,BB,CC,,DD是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。2，。孰,3用,A4是

舉，昂幽是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

DD,八廣CG,BB,,AA.,

票=05'=配票■=&，含1=右?已知仁，氏2,總成公差為81的等差數(shù)列，且直線Q4的斜

OUyZJCjC￡>!nAj

率為0.725,貝|匕=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2021高考北京.第6題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴

有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)。1，。2，。3，。4，。5（單位：。01）成等差數(shù)

列,對(duì)應(yīng)的寬為仿也也也也（單位:cm）,且長(zhǎng)與寬之比都相等,已知％=288,%=96,4=192,則4=

A.64B.96C.128D.160

二、填空題

4.（2023年北京卷?第14題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、用

來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛4｝,該數(shù)列的前

3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且q=1,%=12,佝=192,則%=；數(shù)列｛4｝所有項(xiàng)

的和為?

5.（2021年新高考I卷.第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把

紙對(duì)折，規(guī)格為20dmx12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和S|=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種

規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2,以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

；如果對(duì)折“次，那么‘既=dm2.

k=l

6（2024?北京?高考真題）設(shè)｛%｝與｛2｝是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合

M=\k\ak=^,^eN*｝,給出下列4個(gè)結(jié)論:

①若｛4｝與抄“｝均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；

②若｛%｝與｛〃｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛4“｝為等差數(shù)列，｛2｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛%｝為遞增數(shù)列，｛2｝為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

考點(diǎn)04數(shù)列新定義問(wèn)題

1(2024?全國(guó)?高考I卷)設(shè)機(jī)為正整數(shù)，數(shù)列%,生，…，%”+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)生和

4(力<力后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為機(jī)組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列％,生，…，4"+2是

(盯)-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的(0)，使數(shù)列4,%,…,〃6是化力-可分?jǐn)?shù)列；

(2)當(dāng)〃讓3時(shí)，證明：數(shù)列％,生，…,4M是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,...,4加+2中一歆任取兩個(gè)數(shù)i和/(</),記數(shù)列…，42是。力-可分?jǐn)?shù)列的概率為以，證明:

O

2(2024?北樂考真題)已知集合

M={億),左,.)10{1,2},je{3,4},左e{5,6},.e{7,8},且i+j+左+.為偶數(shù)}.給定數(shù)列A:q,g,...,g,和序

列。:工,5,...&其中叱)eMQ=l,2,…,s),對(duì)數(shù)列A進(jìn)行如下變換：將A的第?九尤,“項(xiàng)均

加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作4(A);將T(A)的第八人，《，叫項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作

也⑷;…;以此類推，得至此…玷⑷,簡(jiǎn)記為。(A).

⑴給定數(shù)列41,3,2,4,6,3,1,9和序列3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(A)；

(2)是否存在序列O,使得。(A)為q+2,%+6,%+4,%+2,%+8,。6+2,%+4,4+4,若存在，寫出一個(gè)符合

條件的O;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且4+/+%+%為偶數(shù)，求證："存在序列O,使得O(A)的各項(xiàng)都相等"

的充要條件為"+。2=%+。4=%+/=%+%”.

3(2023年北京卷?第21題)已知數(shù)列{%},也}的項(xiàng)數(shù)均為相⑺>2),且％也e{1,2,…，第},{4},{%}

的前〃項(xiàng)和分別為4,紇，并規(guī)定4=d=0.對(duì)于左e{0,1,2,…,加},定義

,其中，表示數(shù)集■中最大的數(shù).

rk=max{z'|B.max"M

(1)若％=2,4=L%=3,々=1也=3也=3,求2,々與的值;

(2)若且2545+]+號(hào)_1，/=1，2,…，加一1,,求〃；

(3)證明：存在p,%s/e{0,l,2,…,加},滿足。>q,s>/,使得4+0=4+4.

考點(diǎn)05數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)題

一、選擇題

1q

1.（2023年北京卷?第10題）已知數(shù)列｛4｝滿足4M=w（4—6）+6（〃=1,2,3,…），貝！|

（）

A.當(dāng)q=3時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)"W0,使得%恒成立

B.當(dāng)％=5時(shí)，｛4｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MW6,使得4<加恒成立

C.當(dāng)％=7時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)〃>6,使得%恒成立

D.當(dāng)％=9時(shí)，｛4｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)4〉0,使得恒成立

2.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷.第7題）已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”，公差分0,幺W1.記6I=S2,

d

bn+l=Sn+2-S2〃,〃￡N*，下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=ai+a6B.2b4=bz+b6C.aj=a2asD.=b2bs

3.（2022高考北京卷?第6題）設(shè)｛an｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列,則“｛%｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,

當(dāng)“〉乂時(shí)，?！啊?”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2020年高考課標(biāo)n卷理科?第11題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列％生…%…滿足

?,.e｛0,l｝（z=l,2,...）,且存在正整數(shù)加，使得/J烏（i=L2,…）成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿

足ai+m=?,.（/=1,2,...）的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為加的0-1序列卬見.

1m

C伏）=—?四+式k=1，2,…，根-1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足

m,=1

C（須4g（左=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010---B.11011---C.1000L--D.11001---

5.（2023年全國(guó)乙卷理科?第10題）已知等差數(shù)列｛%,｝的公差為音，集合S=kos41"eN*｝,若S=｛。，4，

貝Uab=（）

A.-1B.——1C.0D.1g

22

二解答題

6（2024?全國(guó)高考II卷）已知雙曲線。：/—/=>（租>0）,點(diǎn)耳（5,4）在C上*k為常數(shù),0<k<l.按照

如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)pn(〃=2,3,...)：過(guò)《I作斜率為k的直線與c的左支交于點(diǎn)。"一，令匕為2-關(guān)于>軸

的對(duì)稱點(diǎn)，記匕的坐標(biāo)為(乙,%).

⑴若A=—,求了2，%；

(2)證明：數(shù)列｛i-%｝是公比為學(xué)的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S“為A匕匕+￡+2的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)"，Sn=Sn+l.

7.(2023年天津卷第19題)已知｛%｝是等差數(shù)列，出+%=16,%=4.

2"-1

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式和Zai-

i=2"-'

(2)已知｛%｝為等比數(shù)列，對(duì)于任意左eN*，若1，貝

kk

(I)當(dāng)上之2時(shí)，求證：2-l<bk<2+1；

(II)求｛bn｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.

Si

8.(2022新高考全國(guó)I卷?第17題)記5〃為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知q=1,。是公差為3的等差數(shù)列.

an\3

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

111c

(2)證明：——+…+—<2.

IT

9.(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第20題)已知數(shù)列｛斯｝，｛瓦｝,匕,｝中，

b*

4=4=q=Lc“=a-a?,c?=-^-c?(?eN).

n+i+1b

?+2

(I)若數(shù)列｛歷,｝為等比數(shù)列，且公比q>0,且偽+&=6&,求q與斯的通項(xiàng)公式;

(II)若數(shù)列｛d｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：cl+c1+.--+cn<\+\.

a

10(2023年新高考n卷)2.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃,

若末命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6