數列-2020-2024年高考數學試題分類匯編（原卷版）

冷題12敝利

五年考情?探規(guī)律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2023天津甲乙n卷

考點01等差等比

2022乙卷

數列應用等差等比數列及求和在高考

2020北京卷

中主要考查基本量的基本運

算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本

2024甲天津卷

應用。包括：錯位相減求和，

2023III甲乙卷

奇偶性求和，列項求和等。

考點02數列求和2022甲卷

2021III乙卷

2020浙江III卷

2024北京

2023北京

考點數列情景類

03情景化與新定義是高考的一

2021北京I卷

問題

個新的考點，一般采用學過的

2020II卷

知識去解決新定義問寇，因加

以重視，是高考的一個方向，

2024I北京卷并且作為壓軸題的可能性比

考點04數列新定義

2023北京卷較大，難度大。

問題

2024II卷知識的綜合是未來高考的一

考點05數列與其他2023北京天津乙II卷個重要方向，主要是數列與統

知識點交匯及綜合問2022北京浙江III卷計概率相結合，數列作為一個

題2021甲浙江工具與解析幾何，函數結合

2020浙江II卷等，屬于中等難度。

分考并精準練工

考點01等差等比數列應用

-選擇題

1.（2020北京高考?第8題）在等差數列｛4｝中，0=-9,a,=-l.記7；=4%…%（"=1,2,…），則數列｛1｝

（）.

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

2.（2023年天津卷?第6題）已知｛&｝為等比數列，S”為數列｛q,｝的前幾項和，4+i=2S〃+2,則%的值

為（）

A.3B.18C.54D.152

3.（2023年新課標全國H卷?第8題）記S“為等比數列｛4｝的前〃項和，若邑=-5,S6=21S2,則Sg=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

4.（2023年全國甲卷理科?第5題）設等比數列｛4｝的各項均為正數，前〃項和5“，若4=1,'=5邑-4,

則=（）

1565

A.—B.——C.15D.40

88

5.（2022年高考全國乙卷數學（理）.第8題）已知等比數列｛4｝的前3項和為168,?2-?5=42,則以=

（）

A.14B.12C.6D.3

二、填空題

3.（2023年全國乙卷理科?第15題）已知｛%｝為等比數列，“2。4%="3。6，%。10=一8，則%=.

考點02數列求和

-選擇題

1.（2024?全國?高考甲卷文）已知等差數列｛%｝的前"項和為S“，若品=1,則/+%=（）

72

A.—2B.—C.1D.—

39

2.（2024?全國?甲卷）記S“為等差數列｛4｝的前"項和，已知S5=1,a5=l,則%=（）

155

3.（2020年高考課標II卷理科?第6題）數列｛?｝中，。1=2,4+〃=。祇?！?，若以+i+ak+2-\------F^+10=2—2,

貝4左=（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

4.（2020年浙江省高考數學試卷?第11題）已知數列｛斯｝滿足a/“；。,則亂=.

5.（2020年新高考全國卷H數學（海南）?第15題）將數列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數列

｛an｝,則｛3｝的前n項和為.

三解答題：

,、伉,-6,九為奇數

6.（2023年新課標全國H卷?第18題）已知｛/｝為等差數列，或=/生/田4，記S”，北分別為數

[24,〃為偶數

列｛%,｝，也｝前“項和,$4=32,4=16.

（1）求｛。”｝的通項公式；

⑵證明：當〃>5時，Tn>Sn.

+1,”為奇數,

7.（2021年新高考I卷第17題）已知數列｛冊｝滿足4=1,

+2,”為偶數

⑴記功=%，寫出偽，b2,并求數列也｝的通項公式;

⑵求｛%｝的前20項和.

8.(2021年高考全國乙卷理科?第19題)記S“為數列｛%｝的前〃項和，2為數列｛S“｝的前w項積，已知

21°

-----1—二2

S"bn-

(1)證明：數列｛2｝是等差數列；

(2)求｛4｝的通項公式.

9.(2023年新課標全國I卷?第20題)設等差數列｛%｝的公差為d，且d>l.令>=-----記色工,分

an

別為數列｛?！埃?｛包｝的前〃項和.

⑴若3。2=3%+%,邑+4=21,求｛4｝的通項公式；

⑵若也｝為等差數列，且%-4=99,求小

10.(2022年高考全國甲卷數學(理)?第17題)記S>,為數列｛冊｝的前"項和.已知。+〃=2。,+1.

n

(1)證明：｛%｝是等差數列；

⑵若為,%，佝成等比數列，求Sn的最小值.

11.（2021年新高考全國II卷第17題）記S“是公差不為0的等差數列｛為｝的前〃項和，若為=S5,%%=S4.

⑴求數列｛??｝的通項公式an；

⑵求使Sn>an成立的”的最小值.

12（2023年全國乙卷）1.記S"為等差數列｛%｝的前〃項和，已知%=11，兒=40.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵求數列｛同｝的前"項和

13.（2020年新高考全國I卷（山東）?第18題）已知公比大于1的等比數列｛4｝滿足出+。4=20,%=8.

（1）求｛%』的通項公式；

⑵記與為｛4｝在區(qū)間（0,何（meN*）中的項的個數，求數列｛幻｝的前100項和So。.

14.(2020年新高考全國卷II數學(海南).第18題)已知公比大于1的等比數列｛4｝滿足電+%=20,4=8.

⑴求｛?！埃椆剑?/p>

⑵求qw—a2a3+...+(—1)".

15.(2023年全國甲卷理科?第17題)設S,為數列｛%｝的前幾項和，己知。2=1,25〃=叫「

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵求數列的前w項和7；.

16.(2020天津高考?第19題)已知｛許｝為等差數列，也｝為等比數列，=4=1,%=5(%-%)也=4(%-%).

(1)求應｝和也｝的通項公式；

(11)記｛?！埃那?項和為與，求證：5￡+2<S；+ReN*)；

(“一2泡,“為奇數，

(III)對任意的正整數〃，設。=%""+2求數列｛%｝的前2九項和.

也，”為偶數.

4+1

17（2024?天津?高考真題）已知數列｛4｝是公比大于0的等比數列.其前〃項和為若q=l,邑=4-1.

⑴求數列｛%｝前〃項和S,;

[k,n=a,

⑵設d=八/k^,k>2.

[bn_1+2k,ak<n<aM

（0）當八2,〃=4+i時，求證：bn_x>ak-bn-

sn

（團）求.

z=l

考點03數列情景類題目

一、選擇題

1.（2020年高考課標n卷理科）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的

第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多

729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

2.（2022新高考全國II卷.第3題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，AA,BB,CC,,DD是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。2，。孰,3用,A4是

舉，昂幽是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

DD,八廣CG,BB,,AA.,

票=05'=配票■=&，含1=右?已知仁，氏2,總成公差為81的等差數列，且直線Q4的斜

OUyZJCjC￡>!nAj

率為0.725,貝|匕=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2021高考北京.第6題）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴

有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長。1，。2，。3，。4，。5（單位：。01）成等差數

列,對應的寬為仿也也也也（單位:cm）,且長與寬之比都相等,已知％=288,%=96,4=192,則4=

A.64B.96C.128D.160

二、填空題

4.（2023年北京卷?第14題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現了類似于祛碼的、用

來測量物體質量的“環(huán)權”.已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列｛4｝,該數列的前

3項成等差數列，后7項成等比數列，且q=1,%=12,佝=192,則%=；數列｛4｝所有項

的和為?

5.（2021年新高考I卷.第16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把

紙對折，規(guī)格為20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和S|=240dm2,對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種

規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為

；如果對折“次，那么‘既=dm2.

k=l

6（2024?北京?高考真題）設｛%｝與｛2｝是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合

M=\k\ak=^,^eN*｝,給出下列4個結論:

①若｛4｝與抄“｝均為等差數列，則M中最多有1個元素；

②若｛%｝與｛〃｝均為等比數列，則M中最多有2個元素；

③若｛4“｝為等差數列，｛2｝為等比數列，則M中最多有3個元素；

④若｛%｝為遞增數列，｛2｝為遞減數列，則M中最多有1個元素.

其中正確結論的序號是.

考點04數列新定義問題

1(2024?全國?高考I卷)設機為正整數，數列%,生，…，%”+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項生和

4(力<力后剩余的4m項可被平均分為機組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列％,生，…，4"+2是

(盯)-可分數列.

⑴寫出所有的(0)，使數列4,%,…,〃6是化力-可分數列；

(2)當〃讓3時，證明：數列％,生，…,4M是(2,13)-可分數列；

(3)從1,2,...,4加+2中一歆任取兩個數i和/(</),記數列…，42是。力-可分數列的概率為以，證明:

O

2(2024?北樂考真題)已知集合

M={億),左,.)10{1,2},je{3,4},左e{5,6},.e{7,8},且i+j+左+.為偶數}.給定數列A:q,g,...,g,和序

列。:工,5,...&其中叱)eMQ=l,2,…,s),對數列A進行如下變換：將A的第?九尤,“項均

加1,其余項不變，得到的數列記作4(A);將T(A)的第八人，《，叫項均加1,其余項不變，得到數列記作

也⑷;…;以此類推，得至此…玷⑷,簡記為。(A).

⑴給定數列41,3,2,4,6,3,1,9和序列3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(A)；

(2)是否存在序列O,使得。(A)為q+2,%+6,%+4,%+2,%+8,。6+2,%+4,4+4,若存在，寫出一個符合

條件的O;若不存在，請說明理由；

⑶若數列A的各項均為正整數，且4+/+%+%為偶數，求證："存在序列O,使得O(A)的各項都相等"

的充要條件為"+。2=%+。4=%+/=%+%”.

3(2023年北京卷?第21題)已知數列{%},也}的項數均為相⑺>2),且％也e{1,2,…，第},{4},{%}

的前〃項和分別為4,紇，并規(guī)定4=d=0.對于左e{0,1,2,…,加},定義

,其中，表示數集■中最大的數.

rk=max{z'|B.max"M

(1)若％=2,4=L%=3,々=1也=3也=3,求2,々與的值;

(2)若且2545+]+號_1，/=1，2,…，加一1,,求〃；

(3)證明：存在p,%s/e{0,l,2,…,加},滿足。>q,s>/,使得4+0=4+4.

考點05數列與其他知識點交匯及綜合問題

一、選擇題

1q

1.（2023年北京卷?第10題）已知數列｛4｝滿足4M=w（4—6）+6（〃=1,2,3,…），貝！|

（）

A.當q=3時，｛%｝為遞減數列，且存在常數"W0,使得%恒成立

B.當％=5時，｛4｝為遞增數列，且存在常數MW6,使得4<加恒成立

C.當％=7時，｛%｝為遞減數列，且存在常數〃>6,使得%恒成立

D.當％=9時，｛4｝為遞增數列，且存在常數4〉0,使得恒成立

2.（2020年浙江省高考數學試卷.第7題）已知等差數列｛斯｝的前〃項和S”，公差分0,幺W1.記6I=S2,

d

bn+l=Sn+2-S2〃,〃￡N*，下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=ai+a6B.2b4=bz+b6C.aj=a2asD.=b2bs

3.（2022高考北京卷?第6題）設｛an｝是公差不為0的無窮等差數列,則“｛%｝為遞增數列”是“存在正整數No,

當“〉乂時，?！啊?”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2020年高考課標n卷理科?第11題）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列％生…%…滿足

?,.e｛0,l｝（z=l,2,...）,且存在正整數加，使得/J烏（i=L2,…）成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿

足ai+m=?,.（/=1,2,...）的最小正整數m為這個序列的周期.對于周期為加的0-1序列卬見.

1m

C伏）=—?四+式k=1，2,…，根-1）是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足

m,=1

C（須4g（左=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010---B.11011---C.1000L--D.11001---

5.（2023年全國乙卷理科?第10題）已知等差數列｛%,｝的公差為音，集合S=kos41"eN*｝,若S=｛。，4，

貝Uab=（）

A.-1B.——1C.0D.1g

22

二解答題

6（2024?全國高考II卷）已知雙曲線。：/—/=>（租>0）,點耳（5,4）在C上*k為常數,0<k<l.按照

如下方式依次構造點pn(〃=2,3,...)：過《I作斜率為k的直線與c的左支交于點。"一，令匕為2-關于>軸

的對稱點，記匕的坐標為(乙,%).

⑴若A=—,求了2，%；

(2)證明：數列｛i-%｝是公比為學的等比數列；

⑶設S“為A匕匕+￡+2的面積，證明：對任意正整數"，Sn=Sn+l.

7.(2023年天津卷第19題)已知｛%｝是等差數列，出+%=16,%=4.

2"-1

(1)求｛。”｝的通項公式和Zai-

i=2"-'

(2)已知｛%｝為等比數列，對于任意左eN*，若1，貝

kk

(I)當上之2時，求證：2-l<bk<2+1；

(II)求｛bn｝的通項公式及其前n項和.

Si

8.(2022新高考全國I卷?第17題)記5〃為數列｛an｝的前n項和，已知q=1,。是公差為3的等差數列.

an\3

⑴求｛4｝的通項公式；

111c

(2)證明：——+…+—<2.

IT

9.(2020年浙江省高考數學試卷?第20題)已知數列｛斯｝，｛瓦｝,匕,｝中，

b*

4=4=q=Lc“=a-a?,c?=-^-c?(?eN).

n+i+1b

?+2

(I)若數列｛歷,｝為等比數列，且公比q>0,且偽+&=6&,求q與斯的通項公式;

(II)若數列｛d｝為等差數列，且公差d>0,證明：cl+c1+.--+cn<\+\.

a

10(2023年新高考n卷)2.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃,

若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6