2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題與解析B卷.pdf

2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題 B 卷 一 填空題 本大題共 8 小題 每小題8 分 滿分 64 分 1 設(shè)集合2 0 1 8 A 2 Ba aA 則AB 的所有元素之和是 2 己知圓錐的頂點(diǎn)為 P 底面半徑長為 2 高為 l 在圓錐底面上取一點(diǎn) Q 使得直線 PQ 與 底面所成角不大于 45 則滿足條件的點(diǎn) Q 所構(gòu)成的這域的面積為 3 將 1 2 3 4 5 6 隨機(jī)排成一行 記為 a b c d e f 則abcdef 是奇數(shù)數(shù)的概率 為 4 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 直線 l 通過原點(diǎn) 3 1 n 是 l的一個法向量 己知數(shù)列 n a滿 足 對任意正整數(shù) n 點(diǎn) 1 nn aa 均在 l上 若 2 6a 則 12345 a a a a a的值為 5 設(shè) 滿足tan3 3 tan5 6 則 tan 的值為 6 設(shè)拋物線 2 2C yx 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) A 過點(diǎn) 10B 作一直線 l 與拋物線 C 相切于點(diǎn) K 過點(diǎn) A 作 l 的平行線 與拋物線C 交于點(diǎn) M N 則 KMN 的面積為 7 設(shè) f x是定義在 R 上的以 2 為周期的偶函數(shù) 在區(qū)間 0 1 上嚴(yán)格遞減 且滿足 1f 2 1f 則不等式組 12 1 2 x f x 的解集為 8 己知復(fù)數(shù) 1 z 2 z 3 z滿足 123 1zzz 123 1zzz 其中 r 是給定實數(shù) 則 312 231 zzz zzz 的實部是 用含有 r 的式子表示 二 解答題 本大題共 3 小題 滿分 56 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 9 本題滿分 16 分 己知數(shù)列 n a 1 7a 1 2 1 2 3 n n n a an a 2 求滿足 2018 4 n a 的 最小正整數(shù) n 10 本題滿分20 分 己知定義在 R 上的函數(shù) fx為 3 log1 00 4 9 xx f x x x 設(shè) a b c 是三個互不相同的實數(shù) 滿足 f af bf c 求 abc 的取值范圍 11 本題滿分 20 分 如圖所示 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 A B 與 C D 分別是橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右頂點(diǎn)與上 下頂點(diǎn) 設(shè)P Q 是 上且位于第一象限的兩點(diǎn) 滿足 OQAP M 是線段 AP 的中點(diǎn) 射線 OM 與橢圓交于點(diǎn) R 證明 線段 OQ OR BC 能構(gòu)成一個直角三角形 R A B C D O P Q M x y 2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題 B 卷 一 本題滿分 40 分 設(shè)a b 是實數(shù) 函數(shù) 9 f xaxb x 證明 存在 0 1 9 x 使得 0 2f x 二 本題滿分 40 分 如圖所示 在等腰 ABC 中 AB AC 邊 AC 的上一點(diǎn) D 及 BC 延長線 上一點(diǎn) E 分滿足 2 ADBC DCCE 以 AB 為直徑的圓 與線段 DE 交于一點(diǎn) F 證明 B C F D 四點(diǎn)共圓 答題時請將圖畫在答卷紙上 三 本題滿分 50 分 設(shè)集合 1 2 An X Y 均為 A 的非空設(shè)空子集 允許 X Y X 中的最大元與 Y 中的最小元分別記為 maxX minY 求滿足 maxX minY 的有序集合對 X Y 的數(shù)目 四 本題滿分 50 分 給定整數(shù)2a 證明 對任意正整數(shù) n 存在正整數(shù) k 使得連續(xù)n 個 數(shù)1 k a 2 k a k an 均是合數(shù) A BCE D F 2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試 B卷 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 說明 1 評閱試卷時 請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn) 填空題只設(shè)8分和0分兩檔 其他各題的 評閱 請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次結(jié)分 不得增加其他中間檔次 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步驟正確 在評卷時可 參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分 解答題中第9小題4分為一個檔次 第10 11小題5分為一個檔次 不得增加其他中間檔次 一 填空題 本大題共8小題 每小題8分 滿分64分 1 設(shè)集合A 2 0 1 剖 B 2 A 貝 JAUB的所有元素之和是一一一 答案 31 解 易知B 4 0 2 16 故AUB 0 I 2 4 8 16 AUB的所有元素之和 是0 1 2 4 8 16 31 2 己知因錐的頂點(diǎn)為p 底面半徑長 12 高為I 在四錐底面上取 一點(diǎn) Q 使得直線PQ與底面所成角不大于45 則滿足條件的點(diǎn)Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積 為 答案 3作 解 因錐頂點(diǎn)P在底面上的投影即為底面中心 記之為o 由條件知 OP 一一 tanL OQP三1 即OQ主1 故所求的區(qū)域面積為1f 22 r l2 3何 OQ 3 將1 2 3 4 5 6隨機(jī)排成一行 記為 b c d e f 則 bc d礦 是奇數(shù)的概 率為 答案 古 解 當(dāng) bc d曠為奇數(shù)時 be def必為一奇一偶 若 be為奇數(shù) 則 b c 為1 3 5的拌列 d e J為2 4 6的排列 這樣有3 3 36種情況 由對稱性可 72 72 1 知 滿足條件的情況數(shù)為36 2 72種 從而所求概率為一 一一 一 6 720 10 4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 直線l通過原點(diǎn) n 3 1 是l的 一 個法向 量 己知數(shù)列 J滿足 對任意正整數(shù)n 點(diǎn) 叫 a 均在l上 若 2 6 則 a1a aJa4a 的值為 答案 32 解 易失日直線l的方程是3x十y O 因此對任意正整數(shù)n 有3a11 1 a11 0 即G叫 la 故 J是以1為公比的等比數(shù)列 于是 3 1 a2 2 曲等 3 比數(shù)列的性質(zhì)可得 1a2 3句句 a 2 5 32 I 7r I l作l 5 設(shè) 9滿足tanI 十一I 3 tan I J一一1 5 則tan 3 的值為一一一一 l JJ l 6J 答案 一 貸1 ri11 3 5 4 解 由兩角差的正切公式可知tan I I 一 一 一一川 l l l 6 1 3 5 葉 一葉 從而 tan 川 叫叫卅 6 設(shè)拋物線C y2 2x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A 過點(diǎn) B 一l 0 作 一直線l與 拋物線C相切于點(diǎn)K 過點(diǎn)A作l的平行線 與拋物線C交于點(diǎn)M N 則6 KMN 的面積為 答案 2 解 設(shè)直線l與 MN 的斜率為k 則l x 土y 1 MN 工 土y k k 2 將l與C聯(lián)立 得方程y2一 y 2 0 由條件知其判別式為零 如 士王 2 k 將MN 與C聯(lián)立 得方程y2卡 1 0 于是 l yM yN 2 一川 薩 2 結(jié)合l與 MN 平行 可知 I I I I s C KMN s 11陽w ls11削M SLlBANl IABI IY 11 Y vl 一一2 一 2 2 2 2 7 設(shè)刀功是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù) 在區(qū)間 l 2 上嚴(yán)格遞減 IO x l 且滿足 作 1 2 0 則不等式組 一 一 的解集為 10三f x 三l 答案 2作 6 4一作 解 由f x 為偶函數(shù)及在 l 2 上嚴(yán)格遞減知 f x 在 2 1 上嚴(yán)格遞增 再結(jié)合 f x 以2為周期可知 O I 是f x 的嚴(yán)格遞增區(qū)間 注意到 4一賀 賀 4 汗 l f 2 6 2時 0 所以 o二二f x 三1仲 卻一6 三f x 三 4 的 而0 2霄 64 川 的最小正整數(shù) n 解 由生土L 2可知G川 1 1 2 因此 2 l a1 1 2時 82 I 2 3x2 1 故 23燭 叫 一1 8分 顯然 a 單調(diào)遞增 由于 a11 23012 1 2喃36 4201 ORI OM 而 i c5P 詞 陽在實數(shù)人 使得 OQ OP OA OR t OP OA 5分 此時點(diǎn)Q R的坐標(biāo)可分別表示是 Xo 的 Yo xo 的 yo 由于點(diǎn)Q R 都在橢圓上 所以 入2f馬平二十41 u 2 隊 41 1 1曠 b I I a b I 結(jié)合4 蘭 l知 上式可化為川2 州2一叢l l 解得 I 2x l I i b I a I I 因此 2 一 一 u2 一 L一 10分 2 xo 2 Xo 1aQ1 2 IORl 2 2 xo十的 2 y 1 xo a yi 一 r o 吵 2 y 一 xo一時 2 十對 2 X0 2 xo 一 a x0 句號 Xo y 二一一 2 2 x0 2 2 a x 0 2 ayi I 1 1 I 2曹 yJ 2 一一一一一 一一一 2 l 十句 X0J 2 2 xi a2 b2IL l 2 2 二x J a z十bi 1sc1 2 從而線段 Q 侃 BC能構(gòu)成一個直角三角形 扭 扭 扭 扭 扭 扭 扭 扭 20分 說明 2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試 B卷 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 1 評閱試卷時 請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步驟正確 在評卷時可 參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分 10分為一個檔次 不得增加其他中間檔次 一 本題滿分40分 設(shè) b是實數(shù) 函數(shù)f x ax b 2 證明 存在X0E l 坷 使得l f xo I主2 證法1 只需證明存在u 叫 1 町 滿足lf u f伊 川 進(jìn)而由絕對值不 等式得 lf u l lf 叫主11 u tc叫三4 故1 rI 2 則 l I I 2 If 3 1 2 If 9 1 2 IO分 易知 f l b 9 3 3 b 3 9 9 b l 由 得 2 6 f 2 f I 又由 得 6 2 3 2 由上述兩式消去 可知 3 4 2 3 1 6a 2 3 2 6 16 3 0分 但 3 4 2 3 1 minY的有序集合對 X Y 的數(shù)目 解 先計算滿足maxX豆minf的有序集合對 X Y 的數(shù)目 對給定的 m maxX 集合X是集合 l 2 m 一l 的任意一個子集與 m 的井 故具有 2 1 手中取法 又minY主m 故Y是 m m I n 的任意 一個非空子集 共有 2叫1 一 i科取沽 20分 藝2 1 2川 l 藝2 一藝2m I n 2 一2 l m I 111 1 40分 由于有序集合對 X Y 有 2 一1 2 1 2 1 2個 于是滿足maxX min Y 的有序集合對 X 門的數(shù)目是 2 一 1 2 n 2 2 1 22 2氣n 1 50分 四 本題滿分so分 給定整數(shù) 主2 證明 對任意正整數(shù)n 存在正整數(shù) k 使得連續(xù)n個數(shù)a k l a k 2 曠 n均是合數(shù) 證明 設(shè)i 與 i 是1 2 n中與 互素的全體整數(shù) 則對1三i三二n i 冒 i i 無論正整數(shù)k如何取值 曠 i均與 不互素且大于a 故曠 i 為合數(shù) 10分 對任意j 1 2 r 因 ij 1 故