三高考兩模擬（浙江版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 8.8 圓錐曲線的綜合問(wèn)題知能訓(xùn)練.doc

8.8圓錐曲線的綜合問(wèn)題組基礎(chǔ)題組1.(2016超級(jí)中學(xué)原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷十,18,15分)已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一個(gè)頂點(diǎn)為b(0,-1),且右焦點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離為2.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若p1,p2是橢圓c上不同的兩點(diǎn),p1p2x軸,圓e過(guò)p1,p2,且橢圓c上任意一點(diǎn)都不在圓e內(nèi),則稱(chēng)圓e為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓.試問(wèn):橢圓c是否存在過(guò)左焦點(diǎn)f的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心e的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2015浙江新高考研究卷一(鎮(zhèn)海中學(xué)),18)設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓c:+y2=1的左,右焦點(diǎn)分別為f1,f2,c上存在點(diǎn)m,使=0.(1)設(shè)直線y=x+2與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為p,若|pf1|+|pf2|取得最小值,求此時(shí)橢圓的方程;(2)對(duì)于(1)中的橢圓,是否存在斜率為k(k0)的直線,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)a,b,且ab的垂直平分線過(guò)橢圓的下頂點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.3.(2015北京,19,14分)已知橢圓c:+=1(ab0)的離心率為,點(diǎn)p(0,1)和點(diǎn)a(m,n)(m0)都在橢圓c上,直線pa交x軸于點(diǎn)m.(1)求橢圓c的方程,并求點(diǎn)m的坐標(biāo)(用m,n表示);(2)設(shè)o為原點(diǎn),點(diǎn)b與點(diǎn)a關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),直線pb交x軸于點(diǎn)n.問(wèn):y軸上是否存在點(diǎn)q,使得oqm=onq?若存在,求點(diǎn)q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.4.(2014安徽,19,13分)如圖,已知兩條拋物線e1:y2=2p1x(p10)和e2:y2=2p2x(p20),過(guò)原點(diǎn)o的兩條直線l1和l2,l1與e1,e2分別交于a1,a2兩點(diǎn),l2與e1,e2分別交于b1,b2兩點(diǎn).(1)證明:a1b1a2b2;(2)過(guò)o作直線l(異于l1,l2)與e1,e2分別交于c1,c2兩點(diǎn).記a1b1c1與a2b2c2的面積分別為s1與s2,求的值.5.(2015課標(biāo),20,12分)已知橢圓c:9x2+y2=m2(m0),直線l不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸,l與c有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,線段ab的中點(diǎn)為m.(1)證明:直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值;(2)若l過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)線段om與c交于點(diǎn)p,四邊形oapb能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)l的斜率;若不能,說(shuō)明理由.6.(2015浙江沖刺卷四,18)設(shè)橢圓c:+=1(ab0)過(guò)點(diǎn)m(1,1),離心率e=,o為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓c的方程;(2)若直線l是圓o:x2+y2=1的任意一條切線,且直線l與橢圓c相交于a,b兩點(diǎn).求的值;求oab的面積s的最小值.7.(2015湖南,20,13分)已知拋物線c1:x2=4y的焦點(diǎn)f也是橢圓c2:+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn),c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為2.(1)求c2的方程;(2)過(guò)點(diǎn)f的直線l與c1相交于a,b兩點(diǎn),與c2相交于c,d兩點(diǎn),且與同向.(i)若|ac|=|bd|,求直線l的斜率;(ii)設(shè)c1在點(diǎn)a處的切線與x軸的交點(diǎn)為m,證明:直線l繞點(diǎn)f旋轉(zhuǎn)時(shí),mfd總是鈍角三角形.8.(2015浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷一,18)已知橢圓c:+y2=1的上頂點(diǎn)為a(0,1),與x軸不垂直的直線l交橢圓c于不同的兩點(diǎn)m, n(點(diǎn)m,n不同于橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)).(1)當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)(0,-3)時(shí),求amn的面積s的最大值;(2)是否存在不過(guò)原點(diǎn)o的直線l,使得直線om,mn,on的斜率依次成等比數(shù)列?若存在,試求出直線l的斜率;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.b組提升題組1.(2013安徽,18,12分)設(shè)橢圓e:+=1的焦點(diǎn)在x軸上.(1)若橢圓e的焦距為1,求橢圓e的方程;(2)設(shè)f1,f2分別是橢圓e的左,右焦點(diǎn),p為橢圓e上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線f2p交y軸于點(diǎn)q,并且f1pf1q.證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)p在某定直線上.2.(2016金麗衢一聯(lián),19,15分)已知點(diǎn)m(0,)是橢圓c:+=1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn),橢圓c的離心率為.(1)求橢圓c的方程;(2)已知點(diǎn)p(x0,y0)是定點(diǎn),直線l:y=x+m(mr)交橢圓c于不同的兩點(diǎn)a,b,記直線pa,pb的斜率分別為k1,k2.求點(diǎn)p的坐標(biāo),使得k1+k2恒為0.3.(2014課標(biāo),20,12分)已知點(diǎn)a(0,-2),橢圓e:+=1(ab0)的離心率為,f是橢圓e的右焦點(diǎn),直線af的斜率為,o為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求e的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)a的動(dòng)直線l與e相交于p,q兩點(diǎn).當(dāng)opq的面積最大時(shí),求l的方程.4.(2015浙江衢州二中期中,21)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為a,b,右焦點(diǎn)為f,且=1,|=1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)f作直線l1,l2,直線l1與橢圓分別交于點(diǎn)m,n,直線l2與橢圓分別交于點(diǎn)p,q,且l1l2,求四邊形mpnq的面積s的最小值以及此時(shí)直線l1,l2的方程.5.(2015浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷四,18)已知點(diǎn)f是拋物線c1:x2=4y的焦點(diǎn),過(guò)拋物線上一點(diǎn)p作拋物線的切線l,切點(diǎn)p在第一象限,如圖.切線l與橢圓c2:+=1相交于不同的兩點(diǎn)a、b.(1)若|fa|,|fp|,|fb|依次成等差數(shù)列,求直線l的方程;(2)設(shè)定點(diǎn)m,求mab的面積s的最大值.6.(2015浙江沖刺卷六,18)已知橢圓e1:+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線e2:x2=4y的焦點(diǎn)f重合,點(diǎn)m是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且|mf|=.(1)求橢圓e1的方程;(2)過(guò)點(diǎn)f作斜率為k(k0)的直線l交拋物線e2于a,c兩點(diǎn),交橢圓e1于b,d兩點(diǎn),如圖.設(shè)=m,=,當(dāng)m時(shí),求的取值范圍.7.(2015金麗衢一聯(lián),21,15分)已知拋物線:y2=2px的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求p的值;(2)如圖所示,直線l1與拋物線相交于a,b兩點(diǎn),c為拋物線上異于a,b的一點(diǎn),且acx軸,過(guò)b作ac的垂線,垂足為m,過(guò)c作直線l2交直線bm于點(diǎn)n,設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,且k1k2=1.(i)線段|mn|的長(zhǎng)是否為定值?若是定值,請(qǐng)求出定值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由;(ii)求證:a,b,c,n四點(diǎn)共圓.8.(2015浙江沖刺卷三,22,15分)如圖,已知點(diǎn)f為拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn),斜率為1的直線l交拋物線于不同的兩點(diǎn)p,q,其中點(diǎn)p在第一象限.過(guò)點(diǎn)p作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)m,在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)n,使得|nf|=|qf|,直線qn交直線pm于點(diǎn)t.(1)證明:點(diǎn)t的縱坐標(biāo)為定值;(2)連結(jié)ft,fp,記s1=spft,s2=sqft,s3=spqt,當(dāng)=時(shí),求直線l的方程.組基礎(chǔ)題組1.解析(1)設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0),由已知得b=1.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為(c,0),則=2,解得c=,所以a2=b2+c2=4.于是橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)存在.由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)p1(m,n),p2(m,-n),由題意知,點(diǎn)e在x軸上,設(shè)點(diǎn)e(t,0),則圓e的方程為(x-t)2+y2=(m-t)2+n2.由題中橢圓的內(nèi)切圓的定義知,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)e的距離的最小值是|p1e|,設(shè)點(diǎn)m(x,y)是橢圓c上任意一點(diǎn),則|me|2=(x-t)2+y2=x2-2tx+t2+1,當(dāng)x=m時(shí),|me|2最小,所以m=-=.假設(shè)橢圓c存在過(guò)左焦點(diǎn)f的內(nèi)切圓,則(-t)2=(m-t)2+n2.又點(diǎn)p1在橢圓上,所以n2=1-.由得t=-或t=-,當(dāng)t=-時(shí),m=0,解得k21,又k0,k(-1,0)(0,1).(15分)3.解析(1)由題意得解得a2=2.故橢圓c的方程為+y2=1.設(shè)m(xm,0).因?yàn)閙0,所以-1n0,k3.由(1)得om的方程為y=-x.設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為xp.由得=,即xp=.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入l的方程得b=,因此xm=.四邊形oapb為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段ab與線段op互相平分,即xp=2xm.于是=2,解得k1=4-,k2=4+.因?yàn)閗i0,ki3,i=1,2,所以當(dāng)l的斜率為4-或4+時(shí),四邊形oapb為平行四邊形.6.解析(1)e=,a2-b2=c2,a2=3b2,則橢圓c的方程為+=1.又橢圓c過(guò)點(diǎn)m(1,1),將(1,1)代入方程,解得b2=,a2=4,橢圓c的方程為+=1.(5分)(2)當(dāng)圓o的切線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,則圓心o到直線l的距離d=1,1+k2=m2.(6分)將直線l的方程和橢圓c的方程聯(lián)立,得到關(guān)于x的方程x2+3(kx+m)2=4,即(1+3k2)x2+6kmx+3m2-4=0,此時(shí)可設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)-+m2=0.(9分)當(dāng)圓o的切線l的斜率不存在時(shí),驗(yàn)證得=0.綜上可得,=0.(10分)由知aob=90,則有|oa|2+|ob|2=|ab|2,又s=|ab|1=|oa|ob|,從而有|oa|2+|ob|2=|ab|2=|oa|2|ob|2,則|oa|2|ob|2=|oa|2+|ob|22|oa|ob|,即有|oa|ob|2,則s=|oa|ob|1,當(dāng)且僅當(dāng)|oa|=|ob|時(shí),oab的面積s取最小值1.(15分)7.解析(1)由c1:x2=4y知其焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(0,1).因?yàn)閒也是橢圓c2的一個(gè)焦點(diǎn),所以a2-b2=1.又c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為2,c1與c2都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且c1的方程為x2=4y,由此易知c1與c2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以+=1.聯(lián)立得a2=9,b2=8.故c2的方程為+=1.(2)如圖,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4).(i)因與同向,且|ac|=|bd|,所以=,從而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.因?yàn)閤1,x2是這個(gè)方程的兩根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.因?yàn)閤3,x4是這個(gè)方程的兩根,所以x3+x4=-,x3x4=-.將,代入,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直線l的斜率為.(ii)證明:由x2=4y得y=x2,則y=,所以c1在點(diǎn)a處的切線方程為y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即m,所以=.而=(x1,y1-1),于是=-y1+1=+10,因此afm是銳角,從而mfd=180-afm是鈍角.故直線l繞點(diǎn)f旋轉(zhuǎn)時(shí),mfd總是鈍角三角形.8.解析(1)設(shè)直線l的方程為y=kx-3(k0),與+y2=1聯(lián)立消去y,整理得(1+4k2)x2-24kx+32=0.設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),則則|mn|=|x1-x2|=,又點(diǎn)a(0,1)到直線l:y=kx-3的距離為d=,則s=d|mn|=,又由=242k2-128(1+4k2)0,得k22.令=t,則t0,s=.t0,s=,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即k=時(shí),取等號(hào),故amn的面積s的最大值為.(8分)(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k0,m0),與+y2=1聯(lián)立消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),其中x1x20,y1y20,則則komkon=k2+.由komkon=,得k2+=k2,由m0,得k2=,即k=.故存在不過(guò)原點(diǎn)o的直線l,使得直線om,mn,on的斜率依次成等比數(shù)列,直線l的斜率為.(15分)b組提升題組1.解析(1)因?yàn)榻咕酁?,所以2a2-1=,解得a2=.故橢圓e的方程為+=1.(2)證明:設(shè)p(x0,y0),f1(-c,0),f2(c,0),其中c=.由題設(shè)知x0c,則直線f1p的斜率=,直線f2p的斜率=.故直線f2p的方程為y=(x-c).當(dāng)x=0時(shí),y=,即點(diǎn)q的坐標(biāo)為.因此,直線f1q的斜率為=.由于f1pf1q,所以=-1.化簡(jiǎn)得=-(2a2-1).將代入橢圓e的方程,由于點(diǎn)p(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點(diǎn)p在定直線x+y=1上.2.解析(1)由題意,知b=,=,又a2-c2=b2,c=1,a=2,橢圓c的方程為+=1.(2)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),把y=x+m代入橢圓方程化簡(jiǎn)得x2+mx+m2-3=0,由題意知=m2-4(m2-3)=-3m2+120,m20,即k2時(shí),x1,2=.從而|pq|=|x1-x2|=.又點(diǎn)o到直線pq的距離d=,所以opq的面積sopq=d|pq|=.設(shè)=t,則t0,sopq=.因?yàn)閠+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=時(shí)等號(hào)成立,且滿(mǎn)足0,所以,當(dāng)opq的面積最大時(shí),l的方程為y=x-2或y=-x-2.4.解析(1)設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),則由題意知c=1,由=1得(a+c)(a-c)=1,a2=2,b2=1,橢圓方程為+y2=1.(2)若