（計算數(shù)學專業(yè)論文）分數(shù)階對流擴散方程的基本解和數(shù)值方法.pdf

摘要 摘要 分數(shù)階微分方程的特點是含有非整數(shù)階導數(shù)，能非常有效的描述各種各樣 的物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì)，在物理，數(shù)學，機械工程，生物，電子工程，控制理 論和金融等領(lǐng)域發(fā)揮越來越重要的作用。各種分數(shù)階模型與無秩序的動力系統(tǒng) 有著緊密的聯(lián)系。物理學中的反常擴散最初是從隨機游走模型中發(fā)展得來的。 分數(shù)階對流擴散方程是模擬各種反常擴散現(xiàn)象的有力工具。分數(shù)階對流擴散方 程是分數(shù)階動力方程的一部分，方程中可以含有空間和時間的分數(shù)階導數(shù)算子。 本文分別討論時間、空間、空間時間的分數(shù)階對流擴散方程。文中所涉及的空 間分數(shù)階導數(shù)均為慰e s z 空間分數(shù)階導數(shù)，它含有雙側(cè)的鼬e m 鋤n l i o u v i l l e 分數(shù) 階導數(shù)。硒e s z 空間分數(shù)階導數(shù)的一個顯著優(yōu)點是適用于高維空間。 本文主要由下面幾個部分組成。 首先，引言部分介紹了分數(shù)階微積分的發(fā)展歷史和已有的一些重要成果。然 后介紹分數(shù)階微積分的一些預(yù)備知識，給出了分數(shù)階微積分一些基本定義和性 質(zhì)。 其次，第二章從時間分數(shù)階擴散方程出發(fā)，提出一顯式守恒差分近似，進行 穩(wěn)定性與收斂性分析。將得到的結(jié)果推廣到時間分數(shù)階對流擴散方程，對時間 分數(shù)階對流擴散方程的顯式守恒差分近似，用數(shù)學歸納法進行穩(wěn)定性與收斂性 分析，并用質(zhì)點的隨機游走來解釋。實踐證明，隨機游走是解釋許多自然科學學 科中隨機過程的強有力的模型。 第三章考慮黜e s z 空間分數(shù)階對流擴散方程。這一章包含三部分內(nèi)容。首 先考慮初值闖題。利用l a p l a c e 和f 0 u r i e r 變換得到慰髓z 空間分數(shù)階對流擴散方 程初值問題的基本解。用格林函數(shù)表示基本解，并對其進行概率解釋。再利 用鼬e m 柚n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)與g r i i n w a l d l e t i l i k o v 分數(shù)階導數(shù)之間的等價關(guān) 系，構(gòu)造一顯式有限差分近似，這一離散格式可以解釋為一個隨機游走模型，并 且收斂于穩(wěn)定的概率分布。第二部分考慮初邊值問題，基于m e s z 空間分數(shù)階導 數(shù)可以表示為拉普拉斯算子冪次方這一特點，借助于矩陣轉(zhuǎn)換技巧與分數(shù)階行 方法求此方程的數(shù)值解，利用特征函數(shù)的性質(zhì)與l a p l a c e 變換相結(jié)合求出其新的 摘要 解析解，再對這兩種解進行比較。最后，進一步討論了初邊值問題的有限差分近 似，構(gòu)造顯式和隱式兩種差分近似，并進行了誤差分析。 第四章中考慮鼬e s z 空間時間分數(shù)階對流一擴散方程。首先考慮初值問題。利 用l a p l a c e 和f o u r i e r 變換得到融e s z 空間時間分數(shù)階對流擴散方程初值問題的基 本解。用格林函數(shù)表示此基本解，對其進行概率解釋。利用戤e m 觚n l i 叫v i l l e 分 數(shù)階導數(shù)與g m n w a l d l e t i l i k o v 分數(shù)階導數(shù)之問的等價關(guān)系，構(gòu)造一顯式有限差 分近似，這一離散格式可以解釋為一個隨機游走模型。然后討論初邊值問題。構(gòu) 造顯式和隱式兩種有限差分近似，進行了誤差分析。由于分數(shù)階導數(shù)的非局部性 結(jié)構(gòu)，使得計算分數(shù)階微分方程的數(shù)值方法需要比整數(shù)階花費更多的計算時間 和存儲要求。因此，在文中最后部分，我們提出了提高計算精度的硒c h 砌s o n 外 推法和減少計算量的”s h o n m e m o ?！痹瓌t，以此來改進我們的數(shù)值方法。 在每一章中，均給出數(shù)值例子說明所用數(shù)值方法的有效性。 關(guān)鍵詞：分數(shù)階對流擴散方程；基本解；數(shù)值解；隨機游走模型；穩(wěn)定性； 收斂性 a b s n a c t a b s t r a c t m c h 嬲l c t e r i s t i co ff r a c t i o n a lo r d e rd i 能r e n t i a le q u 撕o ni sc o n t a i n i n gt h cn o n i n c e g e ro r d c rd e v a t i v e i tc a ne 髖c t i v e l yd c s c r i b et h em e m o 巧鋤d 昀n s l n i s s i b i i i 秒 o fm a n y 虹n d so fm a t e r i a l ，a n dp l a y sa ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tm i ei np h y s i c s ，m a m e m a t i c s ，m e c h a n i c a le n g i n e e r i n 呂b i o l o g y e l e c 啊c a le n g i n e 鰣n g ，玎t r o lt h e 0 五n a n c e a n do t h e rf i e l d s a l l 虹n d s0 ff h c t i o n a lm o d e l sh a v ec 1 0 s er e l a t i o nw i t hc h a o t i cd y n 鋤一 i c s a n o m a l o u sd i f ! f i u s i o ni np h y s i c sw e r eo r i g i n a l l yd e v e i o p e df 而ms 讎h 弱t i cr a n d o m w a l km o d e l s f r a c t i o n a la d v e c t i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o n si sp o w e r f u lt 0 0 l t os i m u l a t ea l l l 【i n d so fa i l o m a l o u sd i f m s i o n p h e n o r r l e n a 1 m e ya r eas u b to ff r t i o n a ll 【i n e t i ce q u a t i o n sm a ta i i o wf r a c t i o n a id e r i v a t i v e si nb o m l es p a c e 卸dt i m eo p c r a t o r s w 已d i s c u s s t h et i r 鵬，s p a c e ，s p a c e t i m ef r a c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n sr e s p e c t i v e l yi n t l l i sp a p 既t h es p a d a ld 嘶v a i v e sd i s c u s s e dm 她p a p e r 撒a l l 黜e s zs p a c ef r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ，w h i c hi n c l u d em el e f ta n dr i g h t 鼬e m a i l n l i o u v i l l cf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ，i - l l en o t a b l em e r i to fr i e s zs p a c ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v cl i e si ni t sa p p i i c a b i l i 哆t 0h i g h e r d i m e n s i o n a ls p a c e t i l i sm e s i sc o l l s i s t so fm ef o u rc h a p t e r s i i l n o d u c t i o np r e s e n t s l ed e v e l o p m e n t a ll l i s t 0 巧o ff a c t i o n a lc a l c u i u s 粕ds o m e i m p o r t a n tp r e v i o 璐w o r k sa tf i r s t t h e n ，g i v e ss o m ec o n c e m i n g 劬c t i o n a lc a l c u l u st 0 p r e p a r e 出ek n o w i e d g ea n dp r e s e n tb a s i cd e 矗n i t i o n sa n dp r o p e i e so ff f a c 垃o n a lc a l c n - l u s i l la b 夸p e r2 ，s t 娥i n gf 吣mm e i m cf b c t i o n 村d i f m s i o ne q u a t i o n ，w ep r e s e n t 觚e x p l i c i tc o n s e r v a t i v ed i 臟r e n c ea p p r o x i m a t i o n ，觚dg i v em es t a b i l 姆鋤dc o n v e r - g e n c ya n a l y s i s ，t i 圮n ，w ee x t e n dm e0 b t a i n e dr e s u l t st 0m et i m ef a c t i o n a la d v e c t i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o n f 0 rm ee x p l i c i tc o n s e r v a t i v ed i 觸n c ea p p m x i m a t i o no ft i l et i m e f h c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n ，w e 觚a l y g et h cs 協(xié)b i i 時柚dc o n v e 唱e n c yb y u s i n gm a t t l e m a t i c 硝i n d u c t i o n ，a n di n t e 幣r e ti t 越ap 硎c l ef 胡d o mw a r 勰d o m w a i l ( sh a v ep r o v e nt 0b eau s e f u lm o d e li nu n d e r s t a i l d i n gp r o c c s sa c r o s saw i d es p e c n i a b s t r a c t t n l mo fs c i e n t l f i cd i s c i p i i n e s i nc h a p t e r3 ，、ec o n s i d e rt t l e 鼬e s zs p a c ef t a c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a - t i o n i th a l st h r c ec o m p o n e n t s a tf i r s t ，w ec o n s i d e rt h ec 硒eo fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m u s i n gm em c t t l o do ft i l el a p l a c e 鋤df b 嘶e r 婦n s f o 咖s ，w eo b t a i nm ef h n d 鋤e n t a l s o l u t i o no ft h ee q u a t i o nw i t hi n i t i a lc o n d i t i o n t h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o ni sd e p 【e s e n t e d b yg r e e nf u n c t i o n ，鋤dc a l lb ei n t e 唱r e t e dm ep r o b a b i l i t yi n t e 印r e t a t i o n w ec o n s t n l c t a ne x p l i c i tf i n i t ed i 骶r e n c e 印p r o x i m a t i o nf o rt h ee q u a t i o nb yu s i n gt h ee q u i v a l e n c e r _ e l a t i o nb e c w e e nr i e m a n n l i o u v i l l ef i a c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dg 訂i n w a l d l t n i k o v m 矗k e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e t h ed i s c r e t es c h e i n ec a nb e m t e 印r e t e da sad i s c r e t er a n d o mw a l k m o d e l ，觚dt t l er a n d o mw a l km o d e lc o n v e r g e st 0as t a b l ep r o b a b i l i t ) rd i s t r i b u t i o n s e c 0 n d l y w ec o n s i d e rm ec 嬲eo fi n i t i a l b o u n d a 巧p r o b l e m f 0 rt i l e 黜e s zs p a c ef 】限c t i o n a l d e m a t i v ec a i lb ee x p r e s s e db yaf r a c t i o n a lp o w e fo ft l l e 卻i a c i 觚o p e r a t o r ，t l 鹼n u m e r i c a ls o l u t i o n0 f0 u re q u a t i o nc a nb e0 b t a i n e db yr e c l l rt 0m a t d x 吮n s f e rt e c h n i q u e 鋤df r a c t i o n a lm e m o do fl i n e s w r ea l s od e r i v et l l en e w 觚a l 妒cs o l u t i o nb yu t i l i z i n g t h ep r o p e r 哆o fe i g e n f u n c t i o na r 通l a p l a c e 垃a n s f o 艦。f h r d 恁m 的r ew ec o m p a r e 她 a n a i y t i cs o l u t i o na n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n f i n a l l y w ed i s c u s st i l ef i n i t ed i f 琵r e n c e a p p r 0 i m a t i o n si nm ec 淞eo fi n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e m 司1 ee x p l i c i t 鋤di i n p l i c “d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n sa r ep r e s e n t e da n dt t l ee r r o r 粕a l y s i si sa i s og i v e n i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d c rm e 黜e s zs p a c e t i m ef r a c t i o n 甜a d v e c t i o n d i s p e r s i o n e q u a t i o n a ti i r s t ，w ec o n s i d e rt h ec 硒eo fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m w eo b t a i nt i l ef u n d a m e n t a ls o i u t i o nb yu s i n gm em e d0 ft l l el a p l a c ea i l df 0 戚e rt r a n s f o r r i l s t h em n - d a m e n t a ls o l u t i o na l s ob e 咒p r e s e n t e db yg r e e nf u n c t i o n ，硒da l s oc a nb ep r o p o s e dt l e p r o b a b i l 時i n t e r p r e t a t i o n u s i n g 出ee q u i v a l e n c er c l a t i o nb e t w e c nm e m 姐n l i o u v i n e f r 習l c t i o n a id e r i v a t i v e 觚dg m n w a l d k t n i k 0 v m a k cf h c t i o n a ld e r i v a t i v e ，鋤e x p l i c i tt i - n i t ed i f j f ；e r e n c ea p p r o x i m a t i o nf o rt l l ee q u a t i o ni sp r e s e n t e d t h ed i s c r e t es c h e m ec 鋤 b ei n t e 巾r e t e d 勰ad i s c r c t er 鋤d o mw a l km o d e l t h e n ，t l l ec 硒eo fi n i t i a l b o u n d a 巧 p r o b l e ma r ed i s c u s s e d t h ee x p l i c i t 種di m p l i c i t 矗n i t ed i 仟e r e n c ea p p r o x i m a t i o n sa r e p r o p o s e d 柚dt t l ee 瑚o r 觚a l y s i sa r ea l s og i v e n t h en o n i o c a ls t r u c m r eo ff a c t i o n a l d e r i v a t i v e si so n er e a s o n ，w h yn u m e r i c a li n e m o d sf o rf t a c t i o n a ld i f f e r e n t i a ie q 嘲l(fā) i o n s a r em u c hm o r ec o s yi nc o m p u t a t i o n a lt i n l e 如ds t o r a g er e q u i r e m e n t sm a tt h e i ri n 一 a b s t r a c t t e g e ro r d e rc o u n t e 叩a i t s 1 1 l u s ，w ep r o p o s et t l er i c h 砌s o ne x 乜a p o l a t i o nw 置l i c hc 鋤 p r o m o t em ea c c l l r y 柚d s h o n i n e m o 巧p r i n c i p l ew l l i c hr c d u c et t l ec o m p u t a t i o n a l c o s tf j n a l l y t h e s et w om e t h o d sa r eu s e dt 0i m p r o v eo u rn u m e r i c a lm e t h o d s s o m en u m e r i c a le x 鋤p l e sa r cp r c s e n t e di ne a c hc h a p t e r ，w h i c hs h o wm ee 銜- c i e n c y0 f0 u r n u m e r i c a lm e m o d s k e yw o r d s ：觸c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n ；f u n d a m e n t a ls o l u t i o n ；n u - m e r i c a ls o l u t i o n ；r 粕d o mw a 王km o d e l ；s 油i l i t ) r ；c o n v e 唱e n c e v 廈門大學學位論文原創(chuàng)性聲明 茲呈交的學位論文，是本人在導師指導下獨立完成的研究成果。 本人在論文寫作中參考的其他個人或集體的研究成果，均在文中以 明確方式標明。本人依法享有和承擔由此論文產(chǎn)生的權(quán)利和責任。 聲明人( 簽名) ：兩尚譚 抄驢年6 月7 日 i 廈門大學學位論文著作權(quán)使用聲明 本人完全了解廈門大學有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定。廈門大 學有權(quán)保留并向國家主管部門或其指定機構(gòu)送交論文的紙質(zhì)版和電 子版，有權(quán)將學位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進入 學校圖書館被查閱，有權(quán)將學位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢 索，有權(quán)將學位論文的標題和摘要匯編出版。保密的學位論文在解密 后適用本規(guī)定。 本學位論文屬于 l 、保密 ( ) ，在年解密后適用本授權(quán)書。 2 、不保密( ) 作者簽名：沈青謠 日期：2 即年 導師簽名：乙知緲瑪日期： 石月7 日 ， 矽叼年石月7 日 第一章緒論 第一章緒論 1 1引言 分數(shù)微積分是傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分概念的推廣。分數(shù)微積分從它的誕生 之日起到如今的迅猛發(fā)展和廣泛應(yīng)用已有很長的歷史。這段發(fā)展歷史可以分 為三個階段。第一階段是1 6 9 5 1 8 2 2 年的初期階段。最早關(guān)于非整數(shù)階導數(shù)的 記載是在1 6 9 5 年k i b n i z 給h o s p i t a l 的一封信，在這封信中，l e i b n i z 描述了一些非 整數(shù)階導數(shù)的意義，特別涉及l(fā) 2 階導數(shù)的情形。并且l e i b n i z 預(yù)測說”就這個似 非而是的論點，有一天將會是一個非常有用的成果”。關(guān)于非整數(shù)階導數(shù)的問 題，l e i b n i z 在1 6 9 5 年、1 6 9 7 年還分別與b e m 叫l(wèi) l i 和刪l i s 以書信的方式探討過。 在k i b n i z 逝世后的半個多世紀，l a g r 鋤g e 在分數(shù)微積分研究方面做了很大的貢 獻。在1 7 7 2 年，l a 莎鋤g e 把整數(shù)階微分算子的指數(shù)定律，即 殺殺：籌m 以叫 一一= 一m ，i 卜，y d x md 妒d 妒+ 1 一l 推廣到m ，n c 。有關(guān)分數(shù)階導數(shù)的最初的詳細定義是1 8 1 2 年l a p l a c e 在他的 書，t h o r i ea i l a i y t i q u ed e sp r o b a b i l i 晤s ”f l 中的論述。l a p i a c e 在書中花了幾頁的篇 幅用積分，丁( ，) ，叫出定義分數(shù)階導數(shù)。早期的另一種應(yīng)用較廣的分數(shù)階算子的定 義出現(xiàn)在1 8 2 2 年f 0 u f i e r 著的書f 2 j 中 嘉刷= 去仁他m 仁p f c o s ( 加卅萼) 卻， 這里的f 是可正可負的數(shù)。這種定義第次適用于任何充分光滑的函數(shù)，對函 數(shù)的要求沒有特定的局限性。分數(shù)階微積分的早期發(fā)展階段以f 0 u r i e r 所傲的 貢獻為標志。第二階段是指1 8 2 3 1 9 1 6 年。在這階段中，分數(shù)階微積分首次 第一章緒論 在解決應(yīng)用問題中體現(xiàn)它的有用性。1 8 2 3 年a b e l 用這種新的數(shù)學工具一分數(shù) 階微積分去解決一個特定的物理問題- t a u t o c h r o n ep r o b l e m 【3 4 】中出現(xiàn)的一個積 分方程。a b e i 用分數(shù)階算子去解決實際問題對分數(shù)階微積分的發(fā)展產(chǎn)生了重 大的影響，它掀起了一些著名學者研究分數(shù)階微積分的熱潮。較為突出的是 數(shù)學家l i o u v i l l e ，他在這階段寫了一系列關(guān)于分數(shù)階微積分的文章，并且給出 了兩種不同的分數(shù)階算子的定義。1 8 4 7 年r i e m a i l n 在他的一篇文章中歸納出了 另一種分數(shù)階算子的定義。1 8 6 9 年s o n i n 在他的文章【5 1 中以柯西積分公式為出 發(fā)點得出了任意指數(shù)階的微積分定義。在不久之后的1 8 7 2 年l e t n i k o v 【6 】又拓展 了s o n i n 的這一思想。此后，l a u r e n t 在他的文章f 7 】中以標準的圍道積分方法代 替s o n i n 和l e t n i k o v 定義中的閉回路，形成了如今廣泛應(yīng)用的鼬e m a n n l i o u v i l l e 分 數(shù)階微積分的定義。幾乎是與此同時，g 蹦n w a l d 【8 】和l e t n i k o v 【9 】分別提出另一種 分數(shù)階導數(shù)的定義，即現(xiàn)在被廣泛采用的g r 豇n w a l ( h 七m i k o v 分數(shù)階導數(shù)的定 義。在【9 】中，l e t n i k o v 給出了一個重要的結(jié)論，那就是在特定條件下g 蹦n w a l d l e m i k o v 定義與鼬e m 卸n l i o u v i l l e 定義是等價的。由于可以用一個有限和的公 式逼近分數(shù)階導數(shù)，g 塒n w a i d l e t n i k o v 定義常用于數(shù)值計算方面。自從應(yīng)用 于a b e l st a u t o c h r o n ep r o b l e m 開始，在這段近一個世紀的時期里，分數(shù)階微積分 已越來越多地應(yīng)用于純數(shù)學科學以外的其他科學領(lǐng)域中。第三階段是從1 9 1 7 年 到現(xiàn)在的現(xiàn)代分數(shù)階計算的發(fā)展階段。w e y l 在他1 9 1 7 年出版的文章【l o 】中 將磁e m 卸n l i o u v i i l e 分數(shù)階積分定義中的積分下限改為c = 一，這也就是我們通 常所指的w 色y 1 分數(shù)階積分。1 9 2 7 年m a r c h a u d 【ll 】把g 嘲1 w a l d l e t n i k o v 定義加以發(fā) 展，形成現(xiàn)在的m a r c h 繃d 分數(shù)階導數(shù)的定義，并且說明了這個定義在特定條件 下與r i e m 姐n u o u v i i i e 定義及g r 髓n w a l d l e t l l i k o v 定義是等價的。關(guān)于分數(shù)階微積 分的映射性質(zhì)，必須提h a r d y 和l i t t l e w o o d 兩人所做的貢獻，詳見文獻【1 2 l3 1 。在文 獻【1 3 1 中，他們把這些映射性質(zhì)拓展到l i p s c h i t z i 鋤空間中，這不僅對分數(shù)階微積 分而且也對泛函分析和函數(shù)理論都產(chǎn)生了重大的影響。1 9 3 1 年w _ a t 觚a b e 【1 4 】提出 了r i e m a i l n “o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)的l e i b n i z s 公式。自從1 9 3 8 年起，慰e s z 發(fā)表了一 2 第一章緒論 系列的文章，主要涉及如下形式的積分 叩緲= 麗志麗仁等出，恐口 。，口l 3 5 ， 這也就是我們現(xiàn)在所說的恥e s z 位勢算子。它實際上是左右m e m 鋤n l i o u v i l l e 分 數(shù)階積分之和。二十世紀，有很多數(shù)學家投身于分數(shù)階微積分方面的研究工作， 因而這時期出現(xiàn)了很多相關(guān)的文章。其中影響力較大的是數(shù)學家c a p u t 0 ，他在文 章【1 5 】中首先次使用c a p u t o 定義的分數(shù)階導數(shù)： 掰艫南小叫。1 ( 丟) 邢m c a p u 的分數(shù)階導數(shù)與r i e m 鋤n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)有著緊密的聯(lián)系，但它 比r i e m a i l n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)應(yīng)用得更頻繁。原因是用c a p u t o 分數(shù)階導數(shù) 時的分數(shù)階微分方程可以指定整數(shù)階的初值條件，如 ) ，( 七j ( o ) = 鞏，七= o ，l ，萬一l ， 而這點比r i e m a n n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)優(yōu)越。到了2 0 世紀中葉以后，分數(shù)階微 積分在各個領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用和快速的發(fā)展。1 9 7 4 年r o s s 在美國組織 召開了分數(shù)階計算與應(yīng)用的首屆國際會議，并以k t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s 系 列叢書形式發(fā)表了第一部關(guān)于分數(shù)階算子理論與應(yīng)用的會議文集【1 6 1 。同年第 一本關(guān)于分數(shù)階微積分的書【1 7 】也在此時問世了。此后，涌現(xiàn)出一大批研究分 數(shù)階徼積分理論及應(yīng)用的著作，其中最為突出的是m i l i e 痢r 0 s s f l 8 】，s a r n k 0 等 人【1 9 】及p o d l u b n y 【2 0 1 。1 9 9 8 年，f r a c t i o n a lc a l c u l u s a p p l i e da m a l y s i s 首期學術(shù)雜 志正式發(fā)行，主要發(fā)表基于分數(shù)階計算的數(shù)學方法，及分數(shù)階方程在應(yīng) 用科學( 物理、化學、金融、生物化學、水文、生態(tài)環(huán)境等) 方面的模擬過 程。2 0 0 4 年，一場題為f r a c t i o n a ld i f j 陪f e n t i a t i o n 柚di t sa p p l i c a t i o n s 的大型國際會議 在b o r d e 繃x 召開，至少1 0 4 位學者、專家在會上做了報告。目前分數(shù)階微積分或 微分方程的研究已成為當前國際上的一個熱點研究課題。近三百年以來，分數(shù) 階微積分或分數(shù)階演算這一重要的純數(shù)學分支已漸成體系。 3 第一章緒論 由于分數(shù)階積分和導數(shù)是擬微分算子，具有非局部性，從而為描述具有記憶 與遺傳性質(zhì)的材料，及由反常擴散控制的復(fù)雜系統(tǒng)的動力傳送過程提供了極有 價值的方法。在最近幾十年，許多研究者指出并證實了分數(shù)階模型比整數(shù)階模 型更適合于模擬具有這些性質(zhì)的材料和反常動力傳送過程，故如何求解分數(shù)階 方程必然成為一個緊迫而重要的研究課題，吸引了大量研究者的興趣【2 l - 2 6 】。 目前，求解分數(shù)階微分方程的基本解的主要方法有積分變換法，分離變量法 和算子方法。1 9 8 6 年，w y s s 【明討論了時間分數(shù)階擴散方程，給出了含有f 0 x 函數(shù) 形式的解析解。隨后s c h n e i d e r 和w y s s 【2 8 j 在1 9 8 9 年將這一結(jié)果推廣到時間分數(shù)階 擴散一波動方程，同樣利用f 0 x 函數(shù)得到相應(yīng)的g r e e n 函數(shù)。m a i n a r d “2 9 1 在1 9 9 6 年 考慮了一維空間變量的情形，采用l a p l a c e 變換以w r i 曲t 函數(shù)形式給出無窮區(qū) 域上的c a u c h y 問題和s i g n a l l i n g 問題的基本解。1 9 9 7 年，楊光俊【3 0 】利用l a p l a c e 變 換和m e l l i n 變換給出了與分數(shù)階常微分方程初值問題對應(yīng)的分數(shù)階積分方 程的解析解。2 0 0 1 年m a i n 礬i 等【3 1 1 討論了時間空間都是分數(shù)階的擴散波 動方程，借助于l a p l a c e 、f 0 u r i e r 、m e l l j n 變換，在復(fù)平面上按m e i l i n b a r i l e s 積 分得到g r e e n 函數(shù)的一般表達式，并指出此基本解是包含時間變量f 的空間 概率密度函數(shù)，并給出了物理學上的解釋。h u a n g 和l i u 在2 0 0 5 年把時間空 間分數(shù)階擴散方程推廣到時間、時間空間分數(shù)階對流擴散方程，利用積 分變換得到方程的基本解【3 2 t 3 3 1 。g 吲i 和j a f 撕【蚓在2 0 0 5 年利用分離變量法考 慮了一維非齊次和二維齊次時間分數(shù)階擴散波動方程在齊次混合邊值問 題下的解析解。陳景華在其文章【3 5 l 中也用分離變量法求解了時間分數(shù)階 電報方程分別在d i r i c h l e t ，n e u m a j l n 和r o b i n 等三種非齊次邊界條件下的解析 解。2 0 0 0 年，e l i z a r r a 均z 和s t a r 【3 6 】提出用分數(shù)階差商算子和有理函數(shù)法求解 含黜e m 鋤n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)的齊次常微分方程c a u c h y 問題。 上面所述的求解析解的方法雖然可行，但是通常含有形式復(fù)雜且難以計 算的特殊函數(shù)。另外，解析解還難以推廣到一般的問題。于是，尋求有效的 數(shù)值方法成為越來越多研究者關(guān)注的課題。1 9 8 6 年，l u b i c h 【3 7 】提出了一些高 4 第一章緒論 階逼近格式來求解分數(shù)階常微分方程，但由于格式中的系數(shù)難于計算，且其 方法在理論上沒得到證明，故沒能得到很好的利用。1 9 9 9 年，p o d l u b q 【2 0 】介 紹了一些有效的數(shù)值方法求解分數(shù)階常微分方程，但是沒有給出這些數(shù) 值解法的理論分析與誤差估計。1 9 9 7 年，d i e l e l m 提出了用外推法【3 8 】解分數(shù) 階常微分方程。接著，d i e t i l e l m 等人提出了解分數(shù)階常微分方程的預(yù)估一校 正方法【3 9 1 。2 0 0 6 年，y a n g 和l i u 在文獻【刪中也用預(yù)估一校正方法求解了分數(shù) 階r e l a x a t i o n o s c i l l a t i o n 方程。d i e t l e l m 教授等人在2 0 0 4 年時又針對解分數(shù)階常 微分方程提出了分數(shù)階a d a m s 方法【4 1 1 。2 0 0 5 年，m e s 岫等人【4 2 】考慮了含多項 分數(shù)階導數(shù)的非線性常微分方程的數(shù)值解，分別用梯形求積公式與矩形法 則比較了近似分數(shù)階積分的誤差。2 0 0 7 年，l i n 和l i u 在文獻【4 3 】中對非線性分 數(shù)階常微分方程提出了高階方法，并給出了該數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性證 明。此外，m o m 卸i 和a 1 k h a l e d 【4 4 】用a d o m i a n 分解法求解非線性的分數(shù)階常微分 方程組和含多項分數(shù)階導數(shù)的線性常微分方程。r a y 和b e r a 【4 5 1 也用a d o m i 觚分 解法求解分數(shù)階b a g l e y t o r v i k 方程。以上列舉的是有關(guān)分數(shù)階常微分方程數(shù) 值解法方面的工作。而分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解法的研究工作起步相對較 晚。從上世紀末開始，g o r e n f l o 教授等人發(fā)表了一系列文章i 刪o 】，借助于一 定條件下黜e m 鋤n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)與g 哺n w a l d k t i l i k o y 分數(shù)階導數(shù)的等價 性，用移位的g 哺n w a l d k t i l i k o v 技巧逼近尉e m a n n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)( 即用移 位的g 蹦n w a l d k t i l i k o v 分數(shù)階導數(shù)級數(shù)表達式中有限項級數(shù)和來近似斑e m 柚n l i o u v i l l e 分數(shù)階導數(shù)) ，得到時間，空間，時間空間分數(shù)階擴散方程的有限差分 離散近似格式，進而把相應(yīng)的離散格式解釋成時間、空間、時間空間上的離散 隨機游走模型。2 0 0 5 年，m o m a i l i 【5 i 】用a d o m i 鋤分解法求解空間時問分數(shù)階電報 方程。同年，k a 1 1 ( 1 l a l e d 和m o m a u l i 【5 2 1 還是利用a d o m i 卸分解法數(shù)值求解分數(shù)階 擴散波動方程。2 0 0 2 年，l i u 等人在海水浸入地下水層的研究項目中，首次提出 分數(shù)階行方法f 5 ”5 1 ，這是一項開創(chuàng)性的工作。他們提出了分數(shù)階行方法( m e t l l o d o f l i n e s ) ，將分數(shù)階偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程系統(tǒng)來求解，他們的主要思想 5 第一章緒論 是采用自動邊階( 1 5 階) 變步長的向后差分公式。這個方法已得到普遍認可和 廣泛應(yīng)用與解空間分數(shù)階偏微分方程。 2 0 0 4 年，m e e r s c h a e n 和t a d j e r 觚f 5 6 】給出了變系數(shù)的空間分數(shù)階對流擴散方 程的有限差分格式，并給出了誤差分析。2 0 0 6 年，t a d i e 啪等人【5 7 】考慮了變系數(shù) 空間分數(shù)階擴散方程借助于移位g 哺n w a l d l e m i k o v 技巧和c r a r i l ( 。n i c h 0 1 s o n 方 法得到關(guān)于空間步長一階、時間步長二階收斂的無條件穩(wěn)定的數(shù)值離散格式， 進一步對空間變量采用外推技巧使得關(guān)于空間步長的收斂階也達到二階。同 年，r a w a s h d e h 【5 8 】借助于多項式樣條函數(shù)，利用配置法給出了一類分數(shù)階積微 分方程的數(shù)值解，但沒有給出數(shù)值分析。z h u a n g 和l i u 【5 9 】考慮了時間分數(shù)階擴 散方程的隱式差分近似，采用數(shù)學歸納法對差分格式進行穩(wěn)定性與收斂性分 析。對于高維的情況，m e e r s c h a e r t 等人在2 0 0 6 年考慮了二維變系數(shù)分數(shù)階擴散 方程的有限差分逼近【刪，提出了交替方向法，給出了詳細的穩(wěn)定性和收斂性 分析。2 0 0 8 年，c h e n 和l i u 【6 l 】討論了二維的分數(shù)階對流擴散方程，提出交替方 向e u l e r 格式，采用矩陣特征值的方法討論了格式的穩(wěn)定性，并用慰c h a r d s o n 外推 法得到二階精度?！皍 在她的博士論文【6 2 】中討論了二維和三維的分數(shù)階對流擴 散方程，提出了幾種修正的交替方向法，也用r i c h 刪s o n 外推法提高收斂階。除 了以上所提的數(shù)值方法外，2 0 0 4 年，r o o p f 6 3 】和f i x 等人【“】采用有限元方法求解 分數(shù)階微分方程。2 0 0 7 年，z l l a n g 【6 5 】在其博士論文中也利用有限元方法解分數(shù)階 偏微分方程從而得到高階逼近精度。同年，l i n 和x u 在文章f 鯽中提出了用譜方法 求解時間分數(shù)階擴散方程。 然而，對于分數(shù)階微分方程，數(shù)值算法研究起步不久，理論分析和對算法 的改進方面目前還比較有限。分數(shù)階算子本身的非局部性這一特殊結(jié)構(gòu)，使 得分數(shù)階微分方程比整數(shù)階需要花費更多的計算時間和存儲要求。目前關(guān) 于對算法的改進主要有以下三種。第一種是由p 0 d l u b n y 在【2 0 】中首先提出的所 謂f i x e dm e m o r yp r i n c i p i e ( 也稱”s h o f t m e m o 巧砸n c i p l e ”) 。其基本思想是用一 個長度為l 的f i x e dm e m o r y 防一厶卅來代替對廠0 ) 的分數(shù)階導數(shù)定義中的整個區(qū) 6 第一章緒論 間f o ，卅的積分。文獻【6 7 】指出只有當積分區(qū)間很大時，f i x e dm e m o 叮州n c i p l e 在計 算上才能顯出它的優(yōu)勢，否則6 x e dm e m o r y 長度幾乎得取得與整個積分區(qū)間一 樣大。第二種是由f o r d 和s i m p s o n 在f 6 7 】中提出的n e s t e dm e s h e s ”。其基本思想是 先固定一個f i x e dm e m o r yl e n g t hl o ，把給定的積分區(qū)間 o ，吲分成非等距的子 區(qū)間 0 ，x 】= 【0 ，x 一q u 一c 吧，x 一儼。1 腳u u 陋一吐，x 一腳u 一厶別 這里c ，留是只要滿肘 o ，定義 1參 口覃比( x ) = 口昕a “2 高o 一 ) 弘1 “( 考) 硝 口 為口階的左側(cè)r i e m a n n l i o u v i l l e 分數(shù)階積分。 9 第一章緒論 定義1 2 ：( 右側(cè)m e m a i l n “o u v i l l e ( r l ) 分數(shù)階積分) 設(shè)“是定義在( 口，6 ) ( 矗，6 有 限或) 上的可積函數(shù)，口 o ，定義 群州巧叫壚高( 專叫a 一蚶) 西 為a 階的右側(cè)r i e m a i l n - l i o u v i l