（應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）非線性脈沖微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性.pdf

獨(dú)創(chuàng)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成 果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表 或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得( 注：如沒(méi)有其他需要特別聲 明的，本欄可空) 或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì) 本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名： 呂琿彳 導(dǎo)師簽字磕毒手 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解堂撞有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有權(quán)保留并向 國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤(pán)，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)堂 控可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印 或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書(shū)) 學(xué)位論文作者簽名： 占鬻咩 簽字同期：2 0 d 7 年妨f 蜩 導(dǎo)師簽字： 限t 簪 簽字日期：2 0 0 7 年f 碉p 伺 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 非線性脈沖微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性 呂翠華 ( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南，山東，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展。人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到脈沖微分系統(tǒng)在現(xiàn)代科技各領(lǐng) 域中的重要性及其廣泛應(yīng)用譬如，在航天技術(shù)領(lǐng)域中航天器的減震裝置衛(wèi)星軌 道的轉(zhuǎn)換技術(shù)；醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遺傳和流行病學(xué)的研究；經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中利率控 制工業(yè)管理，此外還可應(yīng)用于混沌控制、機(jī)密通訊、光學(xué)控制等因此脈沖微分 系統(tǒng)的定性研究引起了國(guó)內(nèi)外許多專(zhuān)家學(xué)者的重視，并取得了很大進(jìn)展但到目前 為止，利用比較方法來(lái)研究脈沖微分系統(tǒng)定性理論的成果并不多見(jiàn)在這些成果中 用向量l y 印u n o v 函數(shù)得出比較結(jié)果時(shí)，總是要求比較系統(tǒng)的右端函數(shù)在r g 中滿(mǎn) 足擬單調(diào)不減的性質(zhì)，這一條件對(duì)于一個(gè)已經(jīng)具有某些穩(wěn)定性質(zhì)的比較系統(tǒng)來(lái)說(shuō)要 求較高，因而向量l y 印u n o v 函數(shù)方法有其局限性為了克服這一局限性，本文將 采用錐值變分l y 印u n o v 函數(shù)方法來(lái)研究非線性脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng) f 工7= f ( f z ) ，“， ? 1 ，= k = ( z ) ，= k ， ( 1 ) i t f 學(xué)) ：z 。， ：1 2 ， 的穩(wěn)定性和有界性理論 在第一章中，我們首先介紹了本文前兩章的背景和這一問(wèn)題的研究現(xiàn)狀然后 通過(guò)引入一種新的方法錐值變分l y a p u n o v 函數(shù)方法，同時(shí)結(jié)合比較原則，最終 在比較定理的基礎(chǔ)上研究了脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)( 1 ) 關(guān)于兩個(gè)澳4 度的穩(wěn)定性質(zhì)，得到 了( o ，1 ) 一穩(wěn)定，( o ， ) 一實(shí)際穩(wěn)定和( o ， ) 一最終穩(wěn)定等若干結(jié)果最后舉例說(shuō) 明定理的應(yīng)用性 在第二章中，我們首先給出了一個(gè)脈沖微分系統(tǒng)周期解的存在性定理，為了 應(yīng)用該定理，本章又使用錐值變分l y 印u n o v 函數(shù)方法建立了非線性脈沖攝動(dòng)微分 系統(tǒng)( o ， 卜有界性質(zhì)的判別準(zhǔn)則最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了判別脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng) ( o ， ) 一有界性理論的有效性 另外，本文還利用錐值l y 印u n o v 函數(shù)方法研究了脈沖積分微分系統(tǒng) 1 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 i 一= ，( ，z ，? ) ，t “， z i ：“= 如0 ) ， = “， ( 4 ) 【z ( 手) = 知， 女= 1 ，2 ， 的嚴(yán)格穩(wěn)定性理論 在第三章中，我們首先介紹了脈沖積分一微分系統(tǒng)的應(yīng)用背景。在第二節(jié)中 給出了脈沖積分一微分系統(tǒng)( 4 ) 關(guān)于兩個(gè)測(cè)度的嚴(yán)格穩(wěn)定性定義，最后采用錐值 l y 印u n o v 函數(shù)與r a z u m i k h m 技巧相結(jié)合的思想得到了系統(tǒng)( 4 ) ( _ l o ，h ) 一嚴(yán)格穩(wěn)定 性的若干直接結(jié)果 關(guān)鍵詞；脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)，錐值變分l y 印u n o v 函數(shù)，( o ， ) 一穩(wěn)定性， 脈沖積分一微分系統(tǒng)， ( ， ) 一嚴(yán)格一致穩(wěn)定 分類(lèi)號(hào)：0 1 7 5 2 l 2 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 t h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o rn o n l i n e a ri m p u l s i v e d i 艇r e i l t i a ls y s t e m s l v c u i h u a s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t w i t ht h er 印i dd e v e l o p n l e n to f8 c i e n c ea n dt e 曲n o l o g y i p e o p kg r a d u a l l yr e a l k et h e i m p o r t a i l c eo ft h ei m p i d s i v ed i 伍盯e n t i a ls y s t e 吣，w h i c hi s 印p l i e dw i d e l yi ne a c h 丘e l do f m o d e r nt e c h n o l q g y ，s u c h 夠t h ee q u i p m e n t sf o rr e d u c i n gq u a k ea i i dt r a l l s l a “n gt e c h n 0 1 一 o g ya b o u ts a t e l u t e0 r b i ti n 艙r o s p a c et e c h n o l o g y t h es t u d yo fn e u r a ln e t ，g e n e t i c sa n d e p i d e m i c si nt h em e d i c a l6 e d ，c o n t r o l l i n gi n t e r e s tr a t ea l l di n d u s t r ym a n a g e m 朗ti nt h e e c o n o m i c a l 右e l d b e s i d e sr t h es y s t e mc a na l s ob ea p p l i e dt oc h a o sc o n t r o l ，c o n 丘d e n t i a lc o 卜 r e s p o n d e n c e ，叩t i c a lc o n t r o ia n ds oo n s ot h eq u a l i t a t i v es t u d yo ft h ei m p u k i v ed i 任e r e n t i a ls y s t e n la t t r a c t sm a n ye x p e r t s 粕ds c h o i a r si na n da b r o a dw h oh d v em a d eg r e a t p r o g r e s s b u ts 0f a r ，t h ea c h i e v e m e n t so fq u a l i t a t i v et h e o r ya b o u tr e s e a r c h i n gt h ei m p u l s i v e 山如r c l l t i a ls y s t c l nw i t hc o m p a r a t i v cl i i c n l o dl l a v 咖 c c ns c e nw i d e l yn i r t h e m l o r e ，i n t h e s ea c h i e v e m e n t sp e o p l ea l w a y sr e q u i r et h a tt h er i g h tf u n c t i 伽i nt h ec o m p a r i s o ns y s t e m s a t j s 丘e st h er e q u i r e m e n to fq u a s i m o n o t o n en o n d e c r e 鵲i n gp f o p e r t yo nr 罕w h e nt h e yg e t t h ec o m p a r a t i v eo u t c o m et h r o u g hv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n b u tt h i sc o n d i t i o ni sh i g h c o m p a r i n gt oac o m p a r b o ns y s t e mw h i c hh 齬h a ds o m es c a b l ep r o p e r t y t h e r e f o r et l l i s i u d i c a t e st h a tt h em e t h o do fv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o ni sr e s t r i c t i v e i no r d e rt oo v e r c o m e t l l i sl l m i t a t i o n ，w e ，l la d o p tt h em e t h o do fc o n e _ v a l u e dv a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u i l c t i o ni n t l i 沁p a p e r ，i nw h i c hw es t u d yt h es t a b i l i t ya n dt h eb o u n d e d n e s so f t h en o l l l i n e a rp e r t u r b e ( 1 d i 骱r p n t i a ls y s f o mw j t hi m p u l s i wp 脅t s i 一= ，( ：z ) ，t 沁 z b 。= 圪( z ) ，忙“， ( 1 ) 【z ( j ) = z o ， k = l ，2 ， i nt h e 丘r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da b o u tt h ep r o c e e d i n gt w oc h a p t e r sa n dt h ec u f r e n ts i t u a t i o no fs t u d i e si nt l l i s 丘e l d a n dt h e nw ei n t r o d u o ean e w m e m o d c o n e v a l u e dv a r i a t i o na ll y a p u n a vf u n c t i o n ，c o m b i n i n gw i t hc o m p a r i s o np r i n c i p l ea tt h es a r n et i m e a tl 蠲t ，o nt h eb a o fo o m p a r i s o nt h e o r e m ，w es t u d yt h es t a _ b i l i t yj nc c r m so ft w um e a s u r 緇f b rt h cp e r u r b c ( 1d i 丹b r e n i a js y s 脅謝曲j m p u j s j v ee f 山東師范大學(xué)硬士學(xué)位論文 f e c t s c o r r e s p o n d i n g l y w ea l s oo b t a i nt h ep r a c t i c “s t a b i l i t ya n du l t i m a t e8 t a b i l i t y f i n a u y w ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e mt h r o u g ha n 姍p l e i n 也es 。c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c ea i le ) ( i s t i n gt h e o r e ma b o u tt h ep e r b ds 0 1 u - t i o n o ft m p u l s i v ed i t f e r e n t i 缸s y s t 咖i no r d e rt 0a p p l yt l l l st h e o r e m ，w ee s t a b l l s ht h e r r i t e r i at 0d e c i d et h a tt h en o n l i n c a rp e r t l l r b e ( 1d i r e n t i ds y s t e mw i t hi n l p u l s i v e 砟 f e c t si s ( ， ) 一b o h n d e du s i n gt h em e t h o do fc o n e v a l u e dv a r i a t j o n a ll y a p u n o yf u n c - t i o n f i n a l l y t a n 麟踟p l ei sg i v e nt od e c i d et h e ( o ， ) 一b o u n d e d n e s so ft h ep e r t u r b e d d i 療e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s i v ee 任e c t s i na d d i t i o n ，w es t u d y 乞h es t r i c ts t a b i l i t yt h e o r yo ft h ei m p u l s i v ei n t e g r 加d i 療色r e n t i a l s y s t e m ， l z 7 = ，( t ，z ，t z ) ，t “， z l = k = ( z ) ，t = “， ( 4 ) 【z ( t 吉) = 地 k = l ，2 ， u s i n gt h em e t h o do fc o n e v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ea p p l k db a c k g r o u n da b o u tt h ei m p u l s i v e i n f r g r ( 卜d i f b r e n t i a js y s t ( 4 ) ：a n dt h e n 百v eas t r i r ts t a b i e ( 王e 丘n “i o nj nt p r m so ff w o m p a s i i m sf o rc h ei m p t l l 8 i v ei n c e g r o _ d i 竹毒r e n c i a ls y s f p mf i n a l i 孔w eo b t a i ns o m ed i r e c to u t c o m 郫a b o u t ( o ， ) 一s t r i c ts t a b 蹦妒o ft h es y s t 啪( 4 ) b ym a k i n gu 靶o f n e - v a j u e d l y a p u n o vf u n c t i o na n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed i 仃e r e l l t 瑚s y s t 哪w i t hi m p u l s i v ee t f e c t 5 ， c o n e v a l u e d v a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o n ， ( ， ) 一s t a b m y i m p u l s i v ei n t e g r o - d i 髓r e n t i a ls y s t e m ， 【 o ”一s t r i c t l yu n i f o n n l ys t a b k c l a s s m c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 4 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1 1引言 脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時(shí)突變現(xiàn)象，普遍存在于現(xiàn)代科技各領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題中， 其數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng)脈沖微分系統(tǒng)比相應(yīng)的不帶脈沖的微分系 統(tǒng)更能深刻精確地描述某些事物的變化規(guī)律，比如，在自然科學(xué)中的航天技術(shù)、信 息技術(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生態(tài)平衡、電路信號(hào)等，在社會(huì)科學(xué)中的利率控制、工業(yè)管理 等領(lǐng)域中都充分體現(xiàn)了這一點(diǎn)鑒于脈沖微分系統(tǒng)在現(xiàn)代諸多領(lǐng)域中有著重要的理 論意義和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，自九十年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多專(zhuān)家學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行定性 研究并取得了很大進(jìn)展l l - 然而，在實(shí)際建立脈沖微分系統(tǒng)的過(guò)程中，不可避免地要出現(xiàn)某些無(wú)法估計(jì)的 微小干擾力，這些干擾力在建立系統(tǒng)時(shí)并未把它們計(jì)算在內(nèi)，但卻可以隨時(shí)發(fā)生作 用，這也就引起了人們對(duì)脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)的廣泛關(guān)注目前在研究脈沖攝動(dòng)微分 系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì)時(shí)，人們主要利用的是變分l y a p u n o v 函數(shù)方法，并得到了不少結(jié) 果【”1 在這些結(jié)果中，用向量l y a p u n o v 函數(shù)得出比較定理時(shí)，總足要求比較系 統(tǒng)的右端函數(shù)在r 型中滿(mǎn)足擬單調(diào)不減的性質(zhì)，這一條件對(duì)于一個(gè)已經(jīng)具有某些穩(wěn) 定性質(zhì)的比較系統(tǒng)來(lái)說(shuō)要求較高為了解決這一問(wèn)題。本文引入錐值l y a p u no 、函 數(shù)l “目我們認(rèn)為在引入錐值l y a p u n o v 函數(shù)的基礎(chǔ)上，只要靈活地選擇一個(gè)適當(dāng) 的錐來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)錐r 垡，就可以減弱對(duì)該比較系統(tǒng)的限制，從而也就使得這一問(wèn)題 迎刃而解 基于以上思想，本章將變分l y a p u n o v 函數(shù)方法和錐值l y a p u n o v 函數(shù)方法有 機(jī)地結(jié)合。得到了一種新的研究攝動(dòng)微分系統(tǒng)的方法錐值變分l y a p u n o v 函數(shù)方 法，然后結(jié)合比較原則，對(duì)非線性脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實(shí)際穩(wěn)定性、最終 穩(wěn)定性分別進(jìn)行了討論 文章第二部分，首先提出了一種與傳統(tǒng)的變分l y a p u n o v 函數(shù)思想有所區(qū)別的 新思想一錐值變分l y 印u n o v 函數(shù)思想然后利用該思想論證得出了一個(gè)新的比較 定理，以及脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)的解與比較系統(tǒng)的最大解之問(wèn)的關(guān)系同時(shí)，在定理 的幾個(gè)推論中，通過(guò)取定比較定理中的相關(guān)函數(shù)，將脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)的解與非攝 動(dòng)微分系統(tǒng)的解通過(guò)比較系統(tǒng)的最大解聯(lián)系起來(lái)為方便證明，第三部分首先引入 了一種新的穩(wěn)定性定義一( _ i l o ， o ) 一穩(wěn)定性，然后在比較定理的基礎(chǔ)上，探討出判 定脈沖攝動(dòng)微分系統(tǒng)足否具有相應(yīng)的( h ，t ) 一穩(wěn)定性質(zhì)的一些準(zhǔn)則另外，本章還 5 山東師范大學(xué)頊?zhǔn)繉W(xué)位論文 舉例說(shuō)明定理的實(shí)用性本章第四部分，第五部分采用同樣的方法分別討論了脈沖 攝動(dòng)微分系統(tǒng)的實(shí)際穩(wěn)定性質(zhì)和最終穩(wěn)定性質(zhì) 1 2預(yù)備知識(shí) 本章及第二章主要研究如下脈沖微分系統(tǒng) i 一 = ，( t ，z ) ，t “， z i ：“= 圪扛) ，t = “， ( 1 ) 【z ( t 寺) = z o ， = 1 ，2 ， i = f ( t ，) ， 掣l = “= 疋( 可) ，= k ， ( 2 ) i 口( 亭) 一知， k = 1 2 ， 其中，( ，z ) = f ( z ) + r ( ，z ) ，( z ) = 厶( z ) + 饑( z ) ，r ( ，z ) 與仉( 。) 均為攝動(dòng)項(xiàng)， 且滿(mǎn)足h l ： ( i ) o 如 ，i 2 + “ 一，k 旦翟“= + o c ； ( 哪，q 幾胛且“) ，露c d f 艫，礦】，( ，o ) = o ，擯( o ) = o ，堆滿(mǎn)足一定 的條件以保證系統(tǒng)( 1 ) 的解整體存在唯一且關(guān)于初值具有連續(xù)依賴(lài)性“，記為 z ( ) = z ( ，o ，王o ) ； ( i i i ) f e 【r + 只“，只“1 ， e 1 【r “，兄”】，f ( o ) = o ，幾( o ) = o ，p “滿(mǎn)足一定的 條件以保證系統(tǒng)( 2 ) 的解整體存在唯一( i j ，記為9 ( ) = v ( ，t o z o ) ； ( j v ) 一般地，系統(tǒng)( 1 ) ，( 2 ) 的解為具有第一類(lèi)問(wèn)斷點(diǎn)且在間斷點(diǎn)處左連續(xù)的分段 連續(xù)函數(shù)，即： z ( ) = z ( “) 且z ( t ) = ( t ) 一z ( 女) ；，( ) = y ( f t ) 且f ( ) = 掣( c 毒) 一妒( “) 定義1 2 1 稱(chēng)p cr ”( ，) 足一個(gè)錐，若滿(mǎn)足 ( i ) a pcp a 三o ；( i i ) p + pcp ；( i i i ) p = ；( i v ) p n ( 一p ) = o ；( v ) p 【0 ，其中 ，j d o 分別表示p 的閉包和內(nèi)部 在錐p 上引入序關(guān)系。設(shè)z ，秒月，? 骨掣一z 尸；工 蘿諱掣一? p 0 對(duì) 任意函數(shù)，”：r + 一r ，n u 幸爭(zhēng)u ( ) su ( ) ，t 且 若p = 妒r r 。：毋( z ) o ，p ) 滿(mǎn)足定義1 2 1 ，則稱(chēng)之為p 的伴隨錐 $ a p 靜對(duì)某個(gè)毋昂，使得咖( z ) = 0 ，其中曰= 尸。一 o ，a p 表示p 的邊 界 6 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 定義1 2 2 稱(chēng)函數(shù)f ：r ”一r 關(guān)于錐p 足擬單調(diào)不減的。 使得當(dāng)z ”及妒白一z ) = o 時(shí)，有妒( f ( ) 一f ( z ) ) 20 特別地，取p = f 掣，則我們可得：z 且q = 們，對(duì)某個(gè)i 有e 悖) 一e ( 。) o ，即為向量函數(shù)的一般擬單調(diào)性定義 下面闡述錐值變分l y 印u n o v 函數(shù)方法的主要思想 引理1 2 1 【i 】假設(shè) 若存在妒昂 l f 時(shí) ( 4 1 ) f ：r + 艫一即，對(duì)所有的k ，f 在( “劃胛上連續(xù)。并且在其上具有連 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)囂； ( a 2 ) 對(duì)每一個(gè)z 胛，= l ，2 ，當(dāng)( t ，y ) 一( “，z ) 時(shí)，只籌具有有限極限； ( 如) “：艫一艫連續(xù)可微， 令y ( ) = ( t ，o ，z o ) 是系統(tǒng)( 2 ) 的在【t o ，+ o 。) 上的解，則 ( 1 ) 舞化幻，印) 存在且是初值問(wèn)題 l ( f ) = 冗( ，( ，o j o ) ) z ，t “， z = 游( ( “) ) 互 = “，女= 】，2 ，( ) 【z ( t 吉) ：j ，k ：1 ，2 的解，并使得蔫( t 幻，知) 為單位矩陣； ( 2 ) 舞( t ，o z o ) 存在且是( + ) 的解并滿(mǎn)足 舞訓(xùn)一畿化瑚枷孫 對(duì)所有的k ，當(dāng)一( f ，k + 1 1 時(shí)，在引理1 2 1 的條件下，籍( ，s ，( s ) ) ，皂( t ，一，( s ) ) 存在并連續(xù) 若令c ，( s ) = 可( t ，5 ，衛(wèi)( s ) ) ，o s t ， 對(duì)所有的女，當(dāng)5 ( i 】時(shí)，( s ) 左連續(xù)，此時(shí) u 7 d ) = 皇掣+ 璺掣，( ，計(jì)圭g ( t 一，( 1 2 1 ) 兩邊對(duì)s 從幻到積分得 ( s ) d s = o ( ，最z ) 出， j 幻j 0 而同時(shí)有 b 郵3 = p 如+ f ：u e 如+ + 亡? i 啪洶+ b s 洶 = c 廠0 1 ) 一c ，( f o ) + c ，0 2 ) 一c 廠( f f ) + + ( 廠( n ) 一c ，( 0 1 ) + c ，( f ) 一c ，( ：) = 口( ) 一，( 幻) 一u ( “) ， 7 山東師范大學(xué)硬士學(xué)位論文 從而有【，( ) = u ( t o ) + 丘g ( ， z ) 如+ u ( “) 由u ( s ) 的取法知 z ( z ) = p ( o + g ( f ，s ，z ) d s + c ，( “) ( 1 2 2 ) 。叼 o k 若令u ( s ) = i i9 0 ，5 ，z ( s ) ) 0 2 ，osss ， 對(duì)所有的k ，當(dāng)5 ( 圯t k + l 】時(shí)，有 u ，( s ) = 2 口( t ，s ，z ( s ) ) g ( t ，s ， 兩邊對(duì)s 從t o 到t 積分同樣可得 ，o ) = c ，( f d ) + 2 挈( ，8 ，z ( s ) ) g ( ， z ) d 5 +【，( “) ， o o 0 t 即 “ oz ( ) 0 2 = | i 甜( t ) 0 2 十2 掣( t ，s ，z ( s ) ) g o ，s ，z ) d s + c ，( t ) ( 12 3 ) o 幻 t o o ，使得當(dāng) 9 山東師范大學(xué)硬士學(xué)位論文 o ( c 亭，勘) o 和t = t ( f o ，e ) o ， 使得當(dāng)b ( f 手，如) o ，使得當(dāng)( f 亭，z o ) j 時(shí)，有 ( ，z ( ) ) o ，有 m ( c ，5 + ) 一m ( t ，8 ) = y 0 + ，掣( ，8 + ，z ( s + ) ) ) 一y ( s ，掣( t ，s ：z ( s ) ) ) = y 0 + ，y ( ，s + ，z 扣+ ) ) ) y 0 + ，y ( t ，s + ，z ( 5 ) + ，0 ，z ( s ) ) ) ) + y ( s + ，可( ，8 + ，z 0 ) + ，( s ，z ( s ) ) ) ) 一y 扣，掣( t ，s ，z ( s ) ) ) 由于對(duì)每個(gè)( ，s ) ，y ( t ，z ) 及( f ，s ，。) 在錐p 上關(guān)于。均滿(mǎn)足局部l i p s c h i t z 條件 從而有 d + m ( t ，s ) 9 ( t ，s ，m ( ，) ，s “，t o sst 另一方面，當(dāng)s = “時(shí)， m ( f ，毒) = ，( 主，f 8 ， ，。( ) ) ) = 礦( c ，y ( c ， ，z ( “) + 矗( z ( “) ) ) ) 1 ，f ，( y ( “，y ( t ，“，z ( “) ) ) ) = 妒k ( 小( ，“) ) 從而當(dāng)s ( o ，t l 】時(shí)，由( 126 ) ，( 1 2 7 ) 及比較定理( 【l l 】定理23 ) 知 m ( ，s ) r ( s ，o ，u o ) ，5 假設(shè)s ( 女一1 劃時(shí)，有 m ( ，s ) r ( ，5 ，f 女一h r ( ：+ - l ，f o ，螄) ) ，s ， 又由仇單調(diào)不減及m ( ，“) r ( ，“r ( ，c + _ l ，o u o ) ) 知 ( 1 2 6 ) ( 12 7 ) m ( ，王) 乖k ( 7 n ( t “) ) 妒 ( r ( f ，“一l ，r ( f ，0 l ，o ，u o ) ) ) = r ( ，毒，f o ，u o ) ( 12 8 ) 從而當(dāng)5 阻，i + 1 1 時(shí)，由( 1 2 6 ) 式，( 1 2 8 ) 式及比較定理f i l l 】，定理2 3 ) 同理可 得 m ( ，s ) r ( f s ，缸，r ( f ，毒，t o ，u o ) ) ，s t ， 由數(shù)學(xué)歸納法知 m ( ，j ) sr ( ，s ，o ，t 0 ) ，o s ， 山東師范大學(xué)硬士學(xué)位論文 其中 r ( ，5 ，幻，n o ) ， r ( ，s ，l ，r ( ， ，o ，u o ) ) ， r ( ，s ，圯r ( t ， ，t o ，t 1 0 ) ) ， t o s t l ， l o ，使得當(dāng)q o ) 占時(shí)，有q ( u ( ) ) o ，e ，使得當(dāng) o ( t ，z ) o ，妒k ，使得當(dāng)q o ( ) a 對(duì)，有 q ( 叫) s 妒( q o ( 塒) ) ， ( 1 32 ) 對(duì)任意的( ：o e o o r + ，存在d t = 6 l ( f o ，e ) m i n f a ，妒一1 ( 6 ( ) ) ，舶 ，使得當(dāng) q o ( u o ) o ，使得當(dāng) o ( t o ，z o ) d 2 時(shí)，有 o ( o ，( ) ) 巧l ，t t o ( 1 34 ) 取6 = ( f o ，) m i n ( ，) 0 ，而 ，使得n ( o ，d ) 6 1 當(dāng) o ( o ，z o ) 6 時(shí)，由( 1 3 1 ) 式及條 件( v ) 得 ( o ，z o ) s 毋( o ，加( o ，2 0 ) ) ( o j ) p ， q o ( y ( t o ，z o ) ) 口( o o ， 0 ( o ，z o ) ) n ( o ，6 ) 吖 a 從而由( v ) 及( 1 3 2 ) 式得 6 ( ( c o ，z o ) ) q ( v ( o ，z o ) ) 妒( q o ( y ( o ，z o ) ) ) 妒( d 1 ) 6 “) ， 1 3 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 即h ( f 0 ，2 d ) 下面證明：當(dāng) o ( o ，z o ) 6 時(shí)，有 ( ，z ( ) ) ，t o 若不然，則存在系統(tǒng)( 1 ) 的初值滿(mǎn)足 0 ( o ，z o ) o o ，使得 ( z ( ) ) f( 1 3 5 ) 下面分兩種情況進(jìn)行討論， 情況l ：若o t t l 令礦= i n f 0 ： ( ，z ( t ) ) 2 ( ) ，則 ( t z ( ) = e 且 ( ，z ( t ) ) e n t 【c o ，4 ) 從而當(dāng)f t o ，糾時(shí)，( t ，z ( t ) ) es ( ，p ) 取t 1 0 = y ( 幻，( 圮t o ，卻) ) ，則由條件( i v ) 及推論12 1 知 y ( 亡，z 0 ，t o ，z o ) ) r o o t o ，y ( t o ，( 礦，t o ，2 0 ) ) ) ，t 【t o ，r 】 ( 1 3 6 ) 所以由條件( v ) 得 6 ( ) = 6 ( ，i ( r ，z 0 + ) ) ) s0 ( v ( r ，z ( r ) ) ) q ( 7 0 ( ，o o ，y ( o ，翦( ，幻，z o ) ) ) ) ( 1 3 7 ) 另一方面，由條件( v ) 及( 1 3 4 ) 式知 q 【l ( y ( o ，0 + ，o ，蜘) ) ) sd ( 抽，丸o ( o ，”( r ，o ，o ) ) ) r ( o ，占1 ) 因此由( 1 33 ) 式得 q ( 相“+ ，幻y ( 如，f ( r ，幻：跏) ) ) ) “f ) ， 很顯然該式與( 1 ，3 ，7 ) 式足矛盾的 情況2 ：若存在某個(gè)m ，使得“ “+ l _ 則 f ，( ，( r ) ) 且 ( f ，z ( f ) ) f ，r i o ，州 由于，l ( “z ( ) e m i n p o ，a ) ，則由條件( v i ) 知，存在f o ( 叫使得 ( ，i ( 一z ( o ) ) p 且 ( t ，z ( t ) ) p ，【c 0 o j 類(lèi)似于情況l ，由q 0 ( y ( o ，( o ，t o ，。o ) ) ) 冬o ( t o ，_ f 1 0 ( o ，9 ( o ，t o ，z o ) ) ) d ( o ，j 1 ) 可得 6 ( f ) s “ ( o ，z ( f o ) ) ) q ( y ( o ，z ( o ) ) ) q ( r o ( o o ，y ( f o ，斗( f 0 ：o ，o ) ) ) ) 0 ，使得當(dāng) 0 ( o ，知) 南時(shí)，有 7 ( ，z ( t ) ) o 使得當(dāng)q o ( “o ) o ，存在如= 如( o o ，6 1 ) ，使 得當(dāng) o ( t o ，z o ) 如時(shí)，有 o ( o o ，( ，o ，z o ) ) n 。( 6 1 ) ，t o o ( 1 39 ) 取6 = 6 ( o ) m i n 南，6 2 ，下面只需證明：當(dāng) 0 ( 幻，z o ) o ，使得當(dāng) o ( ，z ) 舶時(shí)，有 ( f ，r ) ( 0 8 ，善) ) 且( 盧口) 礦 ( 1 3 1 0 ) 對(duì)任意的c ：o e o ，存在也= 鞏( e ) m i n a ，妒 由于系統(tǒng)( 3 ) 足( 0 0 ，0 ) 一致穩(wěn)定的，從而 1 ( 6 ( f ) ) ，冊(cè) ，使得當(dāng)。o ( “o ) 6 1 時(shí)，有 q ( u ( f ) ) o 存在如= 如( c ) ，使得當(dāng) o ( o ，z o ) 6 2 時(shí)，有 ( o ，( ，o ，z 。) ) n _ 饑) ，o ( 1 3 1 2 ) 取6 = 6 ( ) m i n 伽，如) ，使得n ( 6 ) 5 l 當(dāng) 0 ( f o ，。o ) o ，使得當(dāng)b ( 幻，知) d l 時(shí)，有 ( t ，z 0 ) ) o ，對(duì)任意的e ：o r o ，使得對(duì)于任意的幻肌，當(dāng)q o ( “o ) o ，使 得當(dāng)_ 1 1 0 ( t o ，。o ) 如時(shí)，有 o ( o ，可( ，t o ，z 。) ) n 一1 ( 而) ，t2o o 取6 h l i n m ，如) ，當(dāng)( f o ，。o ) 6 時(shí)，類(lèi)似于定理1 3 1 中的討論得 厶( ，l ( ，工( t ) ) ) sq ( y ( ，z ( ) ) ) sq ( r 0 0 ，o ，y ( o ，( ) ) ) ) 6 ( ( ) ，t o + r ， 即h ( ，z ( ) ) e ，o + t 所以系統(tǒng)( 1 ) 足( o ， ) 一一致吸引的 綜上所述，系統(tǒng)( 1 ) 足( ，f 0 ，7 t ) 一一致漸近穩(wěn)定的 以上足根據(jù)比較定理結(jié)合比較系統(tǒng)( 3 ) 的穩(wěn)定性質(zhì)，最終得到了系統(tǒng)( 1 ) 相應(yīng) 的穩(wěn)定性質(zhì)，下面我們?cè)俳o出幾個(gè)不需要比較系統(tǒng)就能得到系統(tǒng)( 1 ) 穩(wěn)定性質(zhì)的若 干結(jié)果 推論1 3 2 在定理i3 1 中，若g ( ，s ，“) ；o ，機(jī)( “) = “，= l ，2 ，即條件 ( i v ) 改為 ( i v + ) d + v 0 ( ，s z ) ) so ，s “，0 ，z ) s ( ，p ) ， y ( s ，可( ，s ，+ ( z ) ) ) sy 0 ，v ( ，s ，z ) ) ，s = “，0 ，z ) s ( ，p ) ，七= l ，2 ， 則由系統(tǒng)( 2 ) 的( o ，i o ) 一穩(wěn)定性質(zhì)可推得系統(tǒng)( 1 ) 相應(yīng)的( o ：，t ) 一穩(wěn)定性質(zhì) 證明l o 首先證明：由系統(tǒng)( 2 ) 的( o ，元0 ) 一穩(wěn)定性質(zhì)可推得系統(tǒng)( 1 ) 足( 0 ， ) 一 穩(wěn)定的 類(lèi)似于定理i 3 1 ，同樣可由條件( i ) ( i i ) 得出( 1 3 1 ) 式和( 1 3 2 ) 式 對(duì)任意的e ：o f o ， 使得當(dāng)b ( o ，( t ) ) o ，使得當(dāng) ( o ，。o ) 6 l 時(shí)，有 b ( o o ，( t ) ) 己t t o ( 1 3 1 4 ) 取6 = 6 ( o ，e ) ，使得口( 2 0 ，6 ) 母一1 ( b ( e ) ) 且d ( t o ，6 ) ，則當(dāng) o ( t o z o ) 6 時(shí)，由( i i ) ，( v ) 類(lèi)似于定理1 3 1 得 ( o o ，z o ) e ，t t o 下面證明：當(dāng)_ 1 1 0 ( 2 0 ，z o ) 6 時(shí)，有 ( t ，z ( ) ) ( ，t 2 幻 若不然，則存在系統(tǒng)( i 的初值滿(mǎn)足 o ( 瓴跏) t o ，使得 ( c z ( ) ) 2 f 下面分兩種情況進(jìn)行討論； 情況l ：若o t o l t 則類(lèi)似于定理1 3 1 可得 ( ，z ( ) ) s ( p ) ，【o ，】 則由條件( i v + ) 及推論l2 2 得 ，( f ，。( ) ) s 礦( o ，y ( f ) ) ， o 州( 1 3 1 5 ) 從而由條件( i i ) ( v ) 及( 1 31 3 ) 式，( 1 3 1 5 ) 式得 6 ( e ) = 6 ( “，f o 。) ) ) 口( y ( r ，f ( f ) ) ) sq ( v ( o o ，9 0 ) ) ) 曼妒( 0 0 ，h ( o o ，9 0 ) ) ) ) “驢。( 6 ( f ) ”= 6 ( f ) 顯然這足一個(gè)矛盾 情況2 ：若存在 ，+ ，使得“ i + j ，則類(lèi)似于定理l ，3 1 可知，存在 一( i ，c 1 ，使得 cs ( f o ，z ( o ) ) p 且 ( t ，z ( ) ) p t 【o ，0 j ， 類(lèi)似于情況l ，由條件( 沁+ ) 及推論1 2 2 可得 礦( f z ( f ) ) sy ( f o ，y ( f ) ) ，f p o f o j ， 從而 6 “) = 6 ( ( 一，z ( o ) ) ) s 口( 礦( o ，z ( o ) ) ) 0 ( 礦( o o ，掣( o ) ) ) 妒( n ( o ，m ( o ，p ( o ) ) ) ) o ，使得當(dāng) o ( o o ，。o ) 而時(shí)，有 ( c ，z ( j ) o a 2 o 對(duì)任意的e ：o o ，丁= 玎如，f ) o ，使得當(dāng) 0 ，z o ) 酊 時(shí)，有 o ( 2 0 ，掣( ) ) 乇f2c o + r 取6 = 6 ( o ) m i n 6 0 ，酊) ，下面只需證明；當(dāng) o ( o ，z o ) 6 時(shí)，有 ( ，工( ) ) ，t2 幻+ t ( 1 31 6 ) 若不然，則存在序列 t ( “) ) ，小) o + l 使得e ( ( m ，z (