（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）二維可壓流體euler方程的幾類流動(dòng)結(jié)構(gòu).pdf

原創(chuàng)性聲明 4 i r l f liifi r li l l l i ij rll ll l l lllll y 17 4 15 7 0 本人聲明；所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作除了文中特別 加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已發(fā)表和撰寫過的研究成果參與 同一工作的其他同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了說明并表示了謝 啻 j 簽名： 越咻 本論文使用授權(quán)說明 本人完全了解上海大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留淪 文及送交論文復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi) 容 ( 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 簽名；逸五塑導(dǎo)師簽名：她日期：竺( 。訂 上海大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位論文 二維可壓流體e u l e r 方程的 幾類流動(dòng)結(jié)構(gòu) 作老：賴耕 導(dǎo)師：盛萬成 專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué) 上海大學(xué)理學(xué)院 二零一零年五月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e d t os h a n g h a iu n i v e r s i t y 南rt h ed e g r e e ，1 _ 、 一 o tu o c t o ri nb c l e n c e s o m e t y p e so ff l o wp a t t e r n so f e u l e re q u a ti o n sf o r 11，1 c o r n p r e s s lb l en o wi nt w od i m e n s i o n s p h d c a n d i d a t e ：l a ig e n g s u p e r v i s o r ：s h e n gw a n c h e n g m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s c h o o lo fs c i e n c e s ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y m a y ，2 0 1 0 2 0 1 0 上海大學(xué)博士學(xué)位論文 摘要 本文主要研究二維可壓流體e u l e r 方程的幾類流動(dòng)結(jié)構(gòu)，它包括：簡單波，v o r l n e u m a n n 反射結(jié)構(gòu)，壓力d e l t a 波和臨界跨聲沖擊波 本文的第二章研究了二維等熵?zé)o旋定常簡單波二維等熵?zé)o旋定常簡單波是這 樣一種類型的流動(dòng)，它的流動(dòng)區(qū)域是被一族直特征所覆蓋，沿著每條直特征線u ，t ， 從而p ，p ，c 均為常數(shù)一個(gè)重要的性質(zhì)是：與常狀態(tài)相臨區(qū)域內(nèi)的非常狀態(tài)流動(dòng)總 是簡單波根據(jù)波的傳播方向我們得到了二維等熵?zé)o旋定常e u l e r 方程幾類g o u r s a t 問題解的一階導(dǎo)數(shù)先驗(yàn)估計(jì)利用這些先驗(yàn)估計(jì)我們構(gòu)造了疏散簡單波和疏散簡單 波相互作用、疏散簡單波在聲速線上的反射、壓縮簡單波和壓縮簡單波相互作用逆 問題的全局解 本文第三章研究了二維等熵?zé)o旋擬定常簡單波類似于二維等熵?zé)o旋定常簡單 波，二維等熵?zé)o旋擬定常簡單波的流動(dòng)區(qū)域也是被一族直特征所覆蓋，沿著每條直 特征亂，v ，c 從而p ，p 均為常數(shù)并且，與常狀態(tài)相臨區(qū)域內(nèi)的非常狀態(tài)流動(dòng)總是 簡單波；幾何上，如果把簡單波及其像表示在同一坐標(biāo)平面下，那么它的像可以由 一單參數(shù)速度圖曲線：= u ( s ) ，7 1 = v ( s ) 和一族以該曲線上的點(diǎn)為圓心c ( s ) 為半徑 的聲速圓來表示，其中c ( s ) 滿足方程c ，( s ) 2 = ( 2 ) 2 ( ( s ) 2 + v t ( s ) 2 ) 每一條直特征 線均和相應(yīng)狀態(tài)的聲速圓相切，并且它的方向和速度圖曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線方向垂 直我們還構(gòu)造了繞一彎曲部擬流線的簡單波結(jié)構(gòu)以及兩個(gè)疏散簡單波相互作用的 全局解 為了解決y o nn e u m a n n 三波點(diǎn)悖論，c o l e l l a 和h e n d e r s o n ( j f l u i dm e c h ，2 1 3 ， 1 9 9 0 ，7 1 9 4 ) 在數(shù)值模擬弱沖擊波反射問題時(shí)提出了一種新的反射結(jié)構(gòu)，他們稱之為 v o l ln e u m a n n 反射( v n r ) 他們所提出的這種反射結(jié)構(gòu)中入射沖擊波和m a c h 桿在三 波點(diǎn)處是光滑連接的，三波點(diǎn)實(shí)際上不存在而是退化為一個(gè)很小的彎曲的區(qū)域，流 動(dòng)在該區(qū)域是壓縮的理論上的一個(gè)問題是：這種反射結(jié)構(gòu)是否是數(shù)學(xué)上可能的流 動(dòng)結(jié)構(gòu)我們在第四章證明對(duì)于e u l e r 方程該流動(dòng)結(jié)構(gòu)是不存在的 本文第五章在研究c h a p l y g i n 氣體e u l e r 方程的二維r i e m a n n 問題的時(shí)候提出 了一類新的基本波：壓力d e l t a 波這類d e l t a 波在一維流動(dòng)中不會(huì)出現(xiàn)，但在二維 r i e m a n n 問題的解中會(huì)出現(xiàn)壓力d e l t a 波是關(guān)于壓強(qiáng)p 的d i r a c d e l t a 函數(shù)，這種 間斷和零壓流模型的d e l t a 波不同之處在于：零壓流模型的d e l t a 波是由于輸運(yùn)現(xiàn) 象而造成的質(zhì)量集中通過將二維擬定常c h a p l y g i n 氣體e u l e r 方程的形式做一些 改變，我們能夠在分布的意義定義這類d e l t a 波解根據(jù)弱解的定義，我們導(dǎo)出了 三壟更堡亟簽些壟墨墮叢耋亟一絲塑 壓力d e l t a 波的廣義r a n k i n e - h u g o n i o t 關(guān)系 在用數(shù) 剛好為 2 0 1 0 上海大學(xué)博士學(xué)位論文 a b s t r a c t i l l i nt h i s p a p e r ，w ea r em a i n l yc o n c e r n e dw i t hs o m et y p e so ff l o wp a t t e r n so fe u l e r e q u a t i o n sf o rc o m p r e s s i b l ef l o wi nt w o - d i m e n s i o n s t h e s ef l o wp a t t e r n sa r es i m p l ew a v e s ， v o nn e u m a n nr e f l e c t i o nc o n f i g u r a t i o n ，p r e s s u r ed e l t a w a v e sa n dc r i t i c a lt r a n s o n i cs h o c k t h es e c o n dc h a p t e rc o n s i d e rt w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r - r o t a t i o n a ls t e a d ys i m p l e w a v e s t h et w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r - r o t a t i o n a ls t e a d ys i m p l ew a v ei sat y p eo ff l o w w h o s ef l o wr e g i o ni sc o v e r e db yao n ep a r a m e t r i cf a m i l yo fs t r a i g h tc h a r a c t e r i s t i c s ，a l o n g e a c ho fw h i c h ，ua n dc o n s e q u e n t l yp ，p ，cr e m a i nc o n s t a n t as i g n i f i c a n tp r o p e r t yi s ： an o n c o n s t a n ts t a t eo ff l o wa d j a c e n tt oac o n s t a n ts t a t ei sa l w a y sas i m p l ew a v e o n t h eb a s i so ft h ed i r e c t i o no fw a v ep r o p a g a t i o n ，w eo b t a i nt h ep r i o rf i r s t o r d e rd e r i v a t i v e e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n st os o m et y p e so fg o u r s a tp r o b l e m s b yu s i n gt h e s ee s t i m a t e st h e g l o b a ls o l u t i o n st ot h ep r o b l e m so ft w or a r e f a c t i o ns i m p l ew a v e si n t e r a c t i o n ，r a r e f a c t i o n s i m p l ew a v er e f l e c t i o no ns o n i cc u r v e ，a n dt h ei n v e r s ep r o b l e mo ft w oc o r n p r e s s i o ns i m p l e w a v e si n t e r a c t i o na r ec o n s t r u c t e d t i l et h i r dc h a p t e rs t u d yt w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r r o t a t i o n a lp s e u d o - s t e a d ys i r e p i ew a v e s s i m i l a rt ot h et w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r r o t a t i o n a l s t e a d ys i m p l ew a v e ， at w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r - r o t a ti o n a l p s e u d o - s t e a d ys i m p l ew a v ef l o wr e g i o ni sa s o c o v e r e db yao n e p a r a m e t r i cf a m i l yo fs t r a i g h t c h a r a c t e r i s t i c s ，a l o n ge a c ho fw h i c h 亂，影， ca n dc o n s e q u e n t l yp ，pr e m a i nc o n s t a n t ；a n dan o n - c o n s t a n ts t a t eo ff l o wa d j a c e n tt oa c o n s t a n ts t a t ei sa l w a y sa s i m p l ew a v e g e o m e t r i c a l l y , i fas i m p l ew a v ea n di t si m a g e sa r e r e p r e s e n t e di nt h es a m ec o o r d i n a t e ，t h ei m a g e so ft h es i m p l ew a v ec a nb er e p r e s e n t e db y ah o d o g r a p hc u r v e = 讓( s ) ，叩= y ( s ) e q u i p p e dw i t hs o n i cc i r c l e sc e n t e r e da t ( 亂( 8 ) ，釘( s ) ) w i t hr a d i u sc ( s ) ，c ( s ) s a t i s f yc ，( s ) 2 = ( 孚) 2 ( 讓7 ( s ) 2 + ( s ) 2 ) e a c hs t r a i g h tc h a r a c t e r i s t i c i st a n g e n tt ot h ec o r r e s p o n d i n gs o n i cc i r c l ea n di t sd i r e c t i o ni sp e r p e n d i c u l a rt ot h ed i r e c - t i o no ft h eh o d o g r a p hc u r v ea tt h ec o r r e s p o n d i n gp o i n t w ea l s oc o n s t r u c ts i m p l ew a v e f l o wc o n s t r u c t i o na l o n gap s e u d o - s t r e a ml i n ew i t hab e n dp a r ta n dt h eg l o b a ls o l u t i o n st o t w or a r e f a c t i o ns i m p l ew a v e si n t e r a c t i o n i no r d e rt or e s o l v ev o nn e u m a n nt r i p l ep o i n tp a r a d o x ，an e wr e f l e c t i o n ，c a l l e dy o n n e u m a n nr e f l e c t i o n ( v n r ) ，w a sp r o p o s e db yc o l e l l aa n dh e n d e r s o n ( j f l u i dm e c h ，2 1 3 ， 1 9 9 0 ，7 1 9 4 ) i ni n v e s t i g a t i n gn u m e r i c a l l yt h ew e a ks h o c kr e f l e c t i o n i nt h i ss h o c kr e f l e c t i o n f l o wp a t t e r n ，t h e r ei so nd i s c o n t i n u i t yi nt h e s l o pb e t w e e nt h ei n c i d e n ts h o c ka n dt h em a c h i v 二維可壓流體e u l e r 方程的幾類流動(dòng)結(jié)構(gòu) -一一一 s t e m a n dt h et r i p l ep o i n ti sn o te x i s tb u td e g e n e r a t et oac u r v e db a n do fr e g i o n ，t h ef l o w i n t h i sr e g i o ni sc o m p r e s s e d at h e o r e t i t a lp r o b l e ma b o u tt h ev o nn e u m a n nr e f l e c t i o n i s i ft h er e f l e c t i o nc o n f i g u r a t i o ni sam a t h e m a t i c a l l yp o s s i b l ef l o wp a t t e r n i nt h ef o u r t h c h a p t e rw ep r o v et h a tt h i sf l o wp a t t e r ni si m p o s s i b l ef o re u l e re q u a t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e rw ep r e s e n ti ni n v e s t i g a ti n gt w o - d i m e n s i o n a lr i e m a n np r o b l e m s f o re u l e re q u a t i o n sf o rac h a p l y g i ng a san e wt y p eo fw a v e ：p r e s s u r ed e l t aw a v e s ，w h i c h i sa b s e n ti no n es p a c ed i m e n s i o n ，b u ta p p e a ri nt h es o l u t i o n st ot w o - d i m e n s i o n a lr i e m a n n p r o b l e m s t h i st y p eo fd e l t aw a v ei sad i r a ct y p ec o n c e n t r a t i o ni nt h ep r e s s u r ev a r i a b l e 目錄 摘要i a b s t r a c t i i i 第一章緒論3 1 1氣體運(yùn)動(dòng)的e u l e r 方程 3 1 2 弱解和r a n k i n e - h u g o n i o t 關(guān)系 4 1 3二維r i e m a n n 問題5 1 4 幾個(gè)典型的r i e m a n n 問題1 2 1 4 1 4 rr i e m a n n 問題1 2 1 4 2 沖擊波反射問題1 3 1 5c h a p l y g i n 氣體模型1 8 第二章二維等熵?zé)o旋定常簡單波2 1 2 1r i e m a n n 不變量2 1 2 2 特征分解2 3 2 3 簡單波的相互作用2 4 第三章二維等熵?zé)o旋擬定常簡單波 2 9 3 1 廣義特征分析2 9 3 壘簡單波解3 1 3 3 簡單波的幾何結(jié)構(gòu)。3 3 3 4c h a p l y g i n 氣體e u l e r 方程二維r i e m a n n 問題中的簡單波結(jié)構(gòu)3 7 3 4 1 特征分解3 7 3 4 2簡單波中的貫穿特征線3 8 3 4 3 4 jr i e m a n n 問題中的簡單波結(jié)構(gòu)4 0 3 4 4 簡單波的相互作用4 3 第四章沖擊波反射現(xiàn)象中的y o nn e u m a n n 反射結(jié)構(gòu)4 6 4 1 位勢流模型的一類不可能的v o i ln e u m a n n 反射結(jié)構(gòu)4 6 4 2e u l e r 方程組的一類不可能的v o nn e u m a n n 反射結(jié)構(gòu)5 0 】 2三壟! 堡亟堡里坐生燮叢耋亟塹絲煎 第五章二維c h a p l y g i n 氣體的壓力d e l t a 波 5 9 5 1 q 7 r 的情形5 9 5 2 q ：7 r 的情形6 2 5 3 壓力d e l t a 波6 6 5 4 區(qū)域a c 內(nèi)的流動(dòng)6 8 第六章臨界跨聲沖擊波 7 4 參考文獻(xiàn) 7 7 博士期間的主要工作8 3 致謝8 4 第一章緒論 非線性雙曲守恒律方程組是一個(gè)具有廣泛實(shí)際和理論意義的領(lǐng)域，近幾十年吸 引了眾多的研究者1 9 8 6 年，美圍國家科學(xué)基金委員會(huì)組織了許多著名數(shù)學(xué)家討 論當(dāng)前數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢，出版了一本小冊子m a t h e m a t i c a l , i e n c e s - au n i f y i n ga n d d y n a m i cr e s o u c e ，其中提出了六個(gè)具有代表性的研究方向，非線性雙l 拄 守恒律 方程組則是其中的第三個(gè)本文主要研究氣體動(dòng)力學(xué)的e u l e r 方程組 1 1氣體運(yùn)動(dòng)的e u l e r 方程 氣體的運(yùn)動(dòng)可以由如下e u l e r 方程來描述 風(fēng)+ v ( p u ) = 0 ， ( p u ) t + v ( p uou ) 十v p = o ， ( p e ) t + v ( p u e + u p ) = 0 ， p = p ( p ，8 ) ，e = e ( p ，s ) ， ( 質(zhì)量守恒) ( 動(dòng)量守1 亙) ( 能量守恒) ( 1 l 1 ) ( 狀態(tài)方程) 其中p ，u = ( i t i ，釓2 ，u 3 ) ，p ，s ，e 和e = 畢+ e 分別代表密度，速度，壓強(qiáng)，比( 單位 質(zhì)量氣體的) 熵，比內(nèi)能和比總能對(duì)于多方氣體，氣體的狀態(tài)方程具有如下形式 p ( p ，s ) = ( 7 1 ) e x p c v l ( s 一8 0 ) ，e = ：笠 ，( 1 1 2 ) 、。- 、，- 。- ，一1 a ( s ) 其中丁= l i p 代表比容，絕熱常數(shù)1 是介于1 到5 1 3 之問的常數(shù)，中等溫度下空氣 可以看成是, - = 1 4 的多方氣體 e u l e r 方程組的最大特點(diǎn)在于解會(huì)產(chǎn)生間斷( 即使初始數(shù)據(jù)非常光滑解都可能 在有限的時(shí)間內(nèi)發(fā)生間斷) ，沖擊波就是一種壓縮性的間斷沖擊波在很多地方都會(huì) 出現(xiàn)，如：超聲速飛行的飛行物前面，炸彈的爆炸等1 8 5 8 年，r i e m a n n 抓住了 間斷這一特點(diǎn)研究了一維e u l e r 方程在給定的初值為兩段常數(shù)的c a u c h y 問題，此 后人們稱此類問題為r i e m a n n 問題r i e m a n n 利用”r i e m a n n 不變量”獨(dú)立發(fā)展了 簡單波理論，并詳細(xì)建立了沖擊波理論盡管r i e m a n n 做出了錯(cuò)誤的假設(shè)，認(rèn)為穿 過沖擊波的躍變是絕熱的，但他開創(chuàng)了廣義解的先河，他的思想為非線性雙曲守恒 律的發(fā)展奠定了基石之后，r a n k i n e 于1 8 6 9 年指出穿過沖擊波的躍變是非絕熱 的h u g o n i o t 于1 8 7 8 年首先指出沖擊波上的絕熱過渡將違背能量守恒原理，事實(shí)上 3 4 三絲要墨亟整曼堅(jiān)! 望查堡塑叢耋鎏望笪煎 h u 舯n l o ti i f u y lt 能量守恒意味著穿過沖擊波時(shí)熵要發(fā)生變化r a n k i n e 和t t u g o n i o t 在那段時(shí)間獨(dú)立的導(dǎo)出了穿過沖擊波陣面時(shí)兩邊的氣體所滿足的三個(gè)關(guān)系式，即： 融n k i n e h u g o n i o t 關(guān)系1 9 1 0 年，r a y l e i g h 指出穿過沖擊波陣面熵要增加由此， 一維r i e m a n ni = - i 題得到了徹底的解決，它的解由沖擊波( s ) ，中心疏散波( r ) 和接 觸問斷( j ) 三類基本波構(gòu)成，如圖1 4 所示從上世紀(jì)四五十年代開始一維非線性 雙曲守恒律的數(shù)學(xué)理論得到了飛速的發(fā)展，關(guān)于一維的內(nèi)容讀者可以參考著作( m f 8 1 ，【l s l ，【2 0 l ，1 6 7 i ) s j 一一 0 圖1 1 一維r i e m a n n 問題的一個(gè)解 1 2弱解和r a n k i n e - h u g o n i o t 關(guān)系 物理上常見的非線性雙曲守恒律方程組通?？梢詫懗扇缦滦问?u t 十d i v t l ( u ) = 0 ， ( 1 2 1 ) 其中t r + ，z r d ，d 1 ，u = u ( t ，z ) 艫，n 1 ，( u ) = ( 力( u ) ) n d 是佗d 的矩 陣 定義1 1 如果可測向量函數(shù)釷= ( 缸1 ，礦) ：qcr 十r d _ 艫滿足 1 讓l 2 d c ( q ) ， 2 f ( u ) l k ( q ) ， 3 對(duì)所有的咖鉀( q ) 都成立 以也+ ，j ( t ) 。g r 8 d z 出現(xiàn)= 。，歹= 1 ，佗， 2 0 1 0 上海大學(xué)博士學(xué)垡笙整一 ! _一_-_j一 一 一 一 一一 則稱釷在分布的意義下滿足雙曲守恒律組( 1 2 1 ) ，或稱u 是( 1 2 1 ) 的一個(gè)弱解 對(duì)于c a u c h y 問題 卜川沁t f ( u ) = n 0 2 2 ) i 亂( o ，z ) = u o ( x ) ， 它的弱解可以按如下方式定義 定義1 2 如果可測向量函數(shù)釓= ( 缸1 ，玨n ) ：f o ，t lx 一r n 是( 1 2 1 ) 的一個(gè) 弱解，且 1 u ( o ，z ) = u o ( x ) ， 2 映射hu ( t ，) 是l o ，t 】到l k ( ) 的連續(xù)映射， 則稱u 是柯西問題( 1 2 2 ) 的一個(gè)弱解 定理1 3 ( r a n k i n e h u g o n i o t 關(guān)系) 假設(shè)s 是( t ，茁) 空問的一個(gè)d 維的超曲面， 雙曲守恒律組r 1 2 1 j 的一個(gè)弱解i t 在s 的兩邊有直到s 的光滑性，但穿過s 發(fā)生 間斷那么，在s 上u 滿足如下間斷關(guān)系 妒，f ( 銘) ) 吲s = 0 ， ( 1 2 3 ) 其中秒為s 的單位法向量，【1 代表物理量在s 兩端的跳躍 1 3二維r i e m a n n 問題 e u l e r 方程的二維r i e m a n n 問題是指給定如下初始數(shù)據(jù) 當(dāng)望= t a n 0 時(shí)，( ，秒，p ，j d ) ( o ，z ，y ) = ( u o ，v o ，如，p o ) ( o ) ( 1 3 1 ) z 的c a u c h y 問題我們通常關(guān)心初始值為四片常數(shù)的情況，即： ( u ，口，p ，p ) ( o ，z ，秒) = ( 亂t ，仇，鼽，店) ， ( z ，y ) 第i 象限 1 = 1 ，2 ，3 ，4 ，( 1 3 2 ) 二維r i e m a n n 問題允許考慮所謂的自相似流動(dòng)，即流動(dòng)僅依賴于自相似變量 ：x l t 和叩= x 2 t 因此，在自相似變換下二維e u l e r 方程變?yōu)槿缦滦问?戌一叩砌+ ( j d 仳) f + ( j m ) 7 = 0 ， ( 肚) 毒一叩( 舢) 叩+ ( p u 2 + 力蕁+ ( 肚鈔) ，72o ， ( 1 3 3 ) ( 舢) e 一叩( ) ，+ ( 肚”) f 十( p v 2 十p ) 叩= 0 ， ( p e ) 專一叩( p e ) 叼+ ( p u b + 卸) f + ( p v e + 叩) 叩= 0 ， 6 一一三絲! 堡亟堡堡竺! 竺塑堡必塑! ! 塑 一 r i e m a n n 初值( 1 ：；1 ) 變?yōu)椋寒?dāng)詈2 t a n 口且2 + 叼2 _ + 。時(shí) ( u ，口，p ，p ) ( ，叼) 一( u o ，v o ，p o ，p o ) ( 口) 通過引入擬流速( 【，y ) ：( u 一，秒一叩) ，方程組( 1 3 3 ) 可以寫成如下形式 ( 1 3 4 ) 2 0 1 0 上海大學(xué)博士學(xué)位論文 7 那么存在一個(gè)區(qū)域，使得流動(dòng)在該區(qū)域?yàn)閿M亞聲的( m v 西1 2 時(shí)( 1 3 2 3 ) 為橢圓 型的；當(dāng)e 2 lv 1 2 時(shí)( 1 3 2 3 ) 為雙曲型的 二維流動(dòng)的一個(gè)研究難點(diǎn)和熱點(diǎn)是跨聲流問題通常情況下分隔擬超聲流動(dòng)區(qū) 域和擬亞聲流動(dòng)區(qū)域的曲線有兩類：一類為聲速線，另外一類為跨聲沖擊波對(duì)于 圖1 3 ( i ) ：k e l d y s h 型問題；( i i ) ：t r i c o m i 型問題 一些常見的問題聲速線兩邊的流動(dòng)為等熵?zé)o旋的，所以這些問題可以用位勢流模型 來研究聲速線附近的流動(dòng)令f ( ，7 ) = u 2 + v 2 一c 2 ，那么，由擬b e r n o u l l i 定律知 f 一2 妒一巖c 2 + 常數(shù)0 s 2 5 ) 由( 1 3 2 5 ) 可得 v f = 一2 ( 仉y ) 一型手圭半v c ( l a 2 6 ) l o 三絲旦堡鎏一e u l e r 堡墮叢耋亟墊壟塑 于是，由前面特征分析的結(jié)果和( 1 3 2 6 ) 可知；l 掃( 尬) 時(shí)有兩個(gè)可能：對(duì)應(yīng)于( 2 ) 的具有較小壓力值p 2 的弱反射和對(duì) 應(yīng)于( 2 ，) 的具有較大壓力值磚的強(qiáng)反射有意思的是，在試驗(yàn)中只觀測到弱正規(guī)反 射正規(guī)反射整體解的唯一性很早就引起了r o l ln e u m a n n 等人的注意( 6 0 1 ) ，這一問 題的數(shù)學(xué)理論仍是一個(gè)公開性的難題在文章( 1 6 3 ) 中，作者得到了一個(gè)o ( m i ) 的 一個(gè)顯示表達(dá)式，使得當(dāng)o w 萬( 肼1 ) 時(shí)，強(qiáng)反射的反射沖擊波波后的狀態(tài)( 2 ，) 在反 射點(diǎn)r 處為擬亞聲的，弱反射的反射沖擊波波后的狀態(tài)( 2 ) 在反射點(diǎn)r 處為擬超聲 的當(dāng)西( 尬) 護(hù) - 6 ( m , ) 時(shí)，兩種反射的反射沖擊波波后的狀態(tài)在反射點(diǎn)處均為 擬亞聲的關(guān)于臨界值口( 壇) 的選取，即正規(guī)反射到非正規(guī)反射的過渡r r 篤朋 一直是一個(gè)懸而未決的問題 2 0 1 0 上海大學(xué)博士學(xué)位論文 圖1 9 其中實(shí)線為曲線p = 號(hào)一百( 尬) ，虛線為曲線口= 吾一萬( 尬) 此處，入射沖擊波強(qiáng)度壇用器來表 征圖中顯示了兩條曲線之間有一段非常窄區(qū)域該數(shù)值算例出自【6 3 l 入射7 申擊波強(qiáng)度不變且坡角變小時(shí)情況下就可能會(huì)出現(xiàn)m a c h 反射m a c h 反 射可以描述如下：一部分氣體流過入射沖擊波( i ) 和反射沖擊波( r ) 兩個(gè)波陣面，另 一部分氣體流過一個(gè)沖擊波陣面m a c h 波陣面( m ) ；這兩部分氣體穿過沖擊波陣面 后，被一接觸間斷線( j ) 隔開，如圖1 1 0 a 所示圖1 1 0 b 給出了用( 口，p ) 極線來構(gòu) 造三波點(diǎn)丁附近的m a t h 反射結(jié)構(gòu)，通過狀態(tài)( o ) ：( e o r ，p o ) 作沖擊波極線a o ，同樣過 a o 上的狀態(tài)( 1 ) ：( 鱷，p 1 ) 作另一沖擊波極線a 1 因?yàn)闋顟B(tài)( 3 ) 是通過m a c h 沖擊波與 狀態(tài)( 0 ) 相連接的，所以點(diǎn)( 3 ) 落在a o 上另一方面，狀態(tài)( 2 ) 是從狀態(tài)( 1 ) 通過 一沖擊波達(dá)到的，因此點(diǎn)( 2 ) 必須在a l 上又因?yàn)闋顟B(tài)( 2 ) 和( 3 ) 具有相同的壓力 和擬流速方向，所以a o 和a l 的交點(diǎn)就得到( 2 ，3 ) ( o ) ，。 廠 t 么 m f i 芝 ( 2 3 ) 回 i l ) i ( 0 ) 圖1 1 0 ( a ) ：擬定常簡單m a c h 反射t ：三波點(diǎn)；x ：三波點(diǎn)的軌跡與斜邊的夾角 ( b ) ：利用( p ，p ) 沖擊 波極線所表示的m a c h 反射 上面所描述的m a c h 反射結(jié)構(gòu)是一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型，有許多現(xiàn)象與它極其符 1 6 三壟旦：焦鎏簽些杰堡墮凸耋鎏夢笪塑 合但也存在著許多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與三沖擊波理論不一致的情況，例如：當(dāng)入射沖擊波 的強(qiáng)度非常弱的情況下在實(shí)驗(yàn)中觀測到一些反射現(xiàn)象非常像m a c h 反射，如圖1 1 1 所示，但是y o nn e u m a n n 三沖擊波理論在三波點(diǎn)( 假?zèng)]反射為m a e h 反射情況下) 附 近沒有解，如圖1 1 2 所示這種明顯的理論和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不一致最早由v o i in e u m a n n ， s e e g e r ，s m i t h 等人在廣泛的計(jì)算比較中發(fā)現(xiàn)，后來稱之為y o nn e u m a n n 三波點(diǎn)悖 論 圖1 1 1 一個(gè)長的非常像m a c h 反射的反射結(jié)構(gòu) n 佩1sp o s i b l c 、! ? 、 、一二 - _ j 纛 。鼉淼 m i - j 、 a ij a 。 黜 ( 1 ) ( o ) e 圖1 1 2c l a d 當(dāng)( 磊，p 彬+ x ) 落在左圖的曲線1 和2 之同時(shí)，過( o ) ：( 蒔，v o ) 的i i p 擊波極線a o 和過a o 上 的狀態(tài)( 1 ) ：( 卯，p 1 ) 的沖擊波極線a l 沒有交點(diǎn) 為了試圖解決這個(gè)悖論，g u d e r l e y 在1 9 4 7 年提出了一種修正的m a c h 反射結(jié) 構(gòu)他是在三波點(diǎn)處添加個(gè)中心簡單波( r ) 來對(duì)m a c h 反射結(jié)構(gòu)加以修正的，如圖 1 1 3 所示通過狀態(tài)( o ) ：( 鱷，p o ) 作沖擊波極線a o ，同樣過a o 上的狀態(tài)( 1 ) ：( 以，p 1 ) 作另一沖擊波極線a 1 過a 1 上的狀態(tài)( 3 ) 作簡單波線( 注意：反射沖擊波在t 點(diǎn) 的波后的狀態(tài)( 3 ) 必須為擬聲速的，這是由于如果( 3 ) 的狀態(tài)為擬超聲的那么與超聲 沖擊波的同類特征沿著特征方向是指向沖擊波相矛盾) 由于狀態(tài)( 4 ) 是從狀態(tài)( 3 ) 2 0 1 0 上海大學(xué)撙士學(xué)位論文 1 7 通過一個(gè)中心簡單波達(dá)到的，所以狀態(tài)( 4 ) 落在過狀態(tài)( 3 ) 作簡單波線上 另一方 n 南 。p a 0 ( m 1 ) 時(shí)的位勢流模型正規(guī)反射問題整體解的存在性；( 【6 】， 7 1 ) 研究了 非定?？缏曅_動(dòng)方程( u t s d ) 的正規(guī)反射問題；【5 9 1 研究了c h a p l y g i n 氣體模型 的正規(guī)反射問題；( 1 1 2 ，1 1 3 ) 研究了m a c h 反射結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性；【4 0 】證明了對(duì)于e u l e r 方程v o i in e u m a n n 反射結(jié)構(gòu)是不存在的 1 5c h a p l y g i n 氣體模型 c h a p l y g i n 氣體是最早是由c h a p l y g i n ( 1 9 1 ) 引入的，隨后錢學(xué)森( 1 7 2 ) ，v o nk a r m a n ( 7 3 1