（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）抽象空間中的不動(dòng)點(diǎn)問題.pdf

摘要 本文主要研究b a n a c h 空間和超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)問題。在b a n a c h 空間中，研究了漸近偽壓縮映象的迭代收斂問題；在超凸度量空間中，研 究了具有有限凸性的子集上的不動(dòng)點(diǎn)定理。這些定理推廣了文獻(xiàn)中的相 關(guān)結(jié)果 關(guān)鍵詞：漸近偽壓縮映象；漸近非擴(kuò)張映象；修改的i s h i k a w a 迭代序 列；超凸度量空間；具有有限凸性；不動(dòng)點(diǎn) a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nb a n a c hs p a c e sa n dh y p e r c o n v e xs p a c e s i nt h eb a n a c hs p a c e ，t h ei t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m so ff i x e d p o i n t sa r es t u d i e d f o ra s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g s ；i nt h eh y p e r c o n - v e xs p a c e ，w ee s t a b l i s hs o m er e s u l t si nt h es u b s e t sh a v i n gf i n i t ec o n v e x i t yp r o p e r t y t h e s er e s u l t se x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h er e c e n tf i t e r a t u r e k e y w o r d s ：a s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g ；a s y m p t o t i c a l l yn o n - e x p a n s i v em a p p i n g ；m o d i f i e di s h i k a w ai t e r a t i v es e q u e n c e ；h y p e r c o n v e xs p a c e ；f i n i t e c o n v e x i t yp r o p e r t y ；f i x e dp o i n t s 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)位論文相關(guān)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作 所取得的成果。除已特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含任 何他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果。與我一同工作的同志對(duì)本研究 所做的貢獻(xiàn)均己在論文中作了明確的說(shuō)明。 本人授權(quán)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)擁有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即：學(xué) 校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱，可以將學(xué)位論文編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢 索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 保密的學(xué)位論文在解密后也遵守此規(guī)定。 作者簽名：里笙墨 硼年f 月哆日 第一章序言 不動(dòng)點(diǎn)問題的研究具有重要意義和價(jià)值，許多物理現(xiàn)象的研究都轉(zhuǎn)化 為對(duì)各種方程的研究，而許多方程解的存在性和唯一性都可以轉(zhuǎn)化為對(duì) 抽象空間中的映象的不動(dòng)點(diǎn)的研究。 不同的物理背景產(chǎn)生的方程既有聯(lián)系又有區(qū)別，所得到的映象的性質(zhì) 也有不同，在具體的物理背景下去探討相應(yīng)的映象的性質(zhì)，運(yùn)用泛函分析 的方法和算子半群理論來(lái)解決這些物理問題有著重要的實(shí)際意義不動(dòng) 點(diǎn)定理的研究有許多經(jīng)典的方法，如b a n a c h 壓縮映象原理；緊映照的不 動(dòng)點(diǎn)定理；保序算子的不動(dòng)點(diǎn)定理等等。 這些經(jīng)典的不動(dòng)點(diǎn)方法解決了許多物理模型的解的存在性和唯一性， 促進(jìn)了物理問題的解決，也發(fā)展了不動(dòng)點(diǎn)問題的理論。 在抽象空間中探討不動(dòng)點(diǎn)問題，可以促進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)問題的研究和發(fā)展， 豐富不動(dòng)點(diǎn)問題的理論。 在h i l b e r t 和一致凸b a n a c h 空間中，b r o w d e r 2 】，g o e b e l 和k i r k 9 】，r h o a d e s 2 1 ，s c h u 2 3 ，x u 和r o a c h 3 0 等一些學(xué)者廣泛的研究了非擴(kuò)張映象，漸 近非擴(kuò)張映象和漸近偽壓縮映象等一些映象的迭代收斂問題。 在2 0 0 6 年，王和劉 2 8 】在一般的實(shí)b a n a c h 空間中研究了t 的修改的 i s h i k a w a 迭代序列，并得到了i s h i k a w a 迭代序列強(qiáng)收斂的充要條件。在本 文中，我們進(jìn)一步在一般的實(shí)b a n a c h 空間中研究漸近偽壓縮映象的收斂 問題，并給出了一些一般的結(jié)果。在我們的定理中，我們?nèi)サ袅恕? 8 的 t h e o r e m1 中的假設(shè)：( 1 ) 風(fēng)q n ；( 2 ) ( 亡) t ，本文中的定理推進(jìn)了 2 8 】中 的結(jié)果，并且我們的方法和 2 8 】中的也不相同。 在1 9 5 6 年，a r o n s z a j n 和p a n i t c h p a k d i 【1 】引入了超凸度量空間的概念 在1 9 7 9 年，s i n e 2 4 】和s o a r d i 2 6 】各自獨(dú)立證明了超凸度量空間中的非擴(kuò) 張映象的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，之后許多學(xué)者開始關(guān)注和研究超凸度量空間，并得 到了許多重要結(jié)果，讀者可參考文后的文獻(xiàn)。 最近，k h a m s i 【1 2 】在超凸度量空間中建立了k n a s t e r k u r a t o w s k i - m a z u r k - i e w i c zt h e o r e m ( 簡(jiǎn)稱k k mt h e o r e m ) p a r k i s 一 1 9 】應(yīng)用k h a m s i 定理，推廣了 k h a m s i 建立的超凸度量空間的緊容許集上的單值連續(xù)映象的結(jié)果。在2 0 0 7 年，d u n ga n dt a n 【6 把上述結(jié)果推廣到超凸度量空間的緊容許集上的多值 1 第一章序言 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 連續(xù)映象。 在本文中，我們應(yīng)用 1 8 】中的重合定理，建立了兩個(gè)超凸度量空間中 的一些結(jié)果，并給出了超凸度量空間中的一般的集合上的多值連續(xù)映象 的不動(dòng)點(diǎn)定理。本文的定理了推廣了文獻(xiàn) 6 ，f 1 2 】和 19 中的結(jié)果。 2 第二章b a n a c h 空間中的i s h i k a w a 迭代序列 2 1引言 在本文中，我們假定e 是實(shí)b a n a c h 空間，口是e 的對(duì)偶空間，( ，) 是e 與驢間的配對(duì)，j 是正規(guī)對(duì)偶映象： j ( x ) = ，e + ：( z ，f ) = j i x lj j i f l l ，j i x l l = j i f l l ，z e 定義1 設(shè)d 是e 的非空子集，t ：d ( t ) ce _ e ， ( i ) t 稱作是漸近非擴(kuò)張的，如果存在一實(shí)數(shù)列_ ) c 1 ，) ，恕k = 1 ， 使得 l i p z p i | k i i x 一i i ，( 2 1 1 ) v z ，y d ( 丁) ，佗= 1 ，2 ， ( i i ) t 稱作是漸近偽壓縮的，如果存在一實(shí)數(shù)列 ) c 1 ，。o ) 一l i m 。k n = 1 ， 且vz ，yf t d ( t ) ，jj ( x y ) j ( x 一可) ，使得 ( t x p 秒，j ( x 一! ，) ) k n l l x 一可f f 2 ，( 2 1 2 ) n = 1 ，2 ， ( i i i ) t 稱作是一致l - l i p s c h i t z i a n 的，如果存在常數(shù)l 1 ，使得 i i t n x p 可l i l l l x 一i i ，( 2 1 3 ) v 2 ，y d ( t ) ，恐= 1 ，2 ， ( i v ) t 稱作是漸近半壓縮的，如果存在一實(shí)數(shù)列_ k ) c 1 ，) ，恕k = 1 ， 及存在嚴(yán)格增加函數(shù)：【o ，o o ) _ 0 , o o ) ，矽( o ) = 0 ，使得v n21 ，v z d ( t ) ， v q f ( t ) ( 其中f ( t ) 為t 的不動(dòng)點(diǎn)集) ，芻j ( x y ) j ( x 一爹) ，滿足 ( p z 一口，j ( x g ) ) k n l l x 一口j j 2 一咖( 1 l x q 1 1 ) ( 2 1 4 ) 3 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章b a n a c h 空間中的i s h i k a w a 迭代序列 2 1 引言 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = 注記1 如果t 是具實(shí)數(shù)列 憊n ) c 【1 ，) ，l i mk n = 1 的漸近非擴(kuò)張映象，則 t 是一致l - l i p s c h i t z i a n 的，其中l(wèi) = s u p k n ) o 。，且t 也是漸近偽壓縮映 n 之l 象。 定義2 設(shè)d 是e 的非空凸子集，?。篸 _ d ，z o d ， q n ) ， 風(fēng)) 是 0 ，1 】中 的兩個(gè)數(shù)列。則由下式定義的序列 z n ) ： 1 2 ( 1 一q n ) z n + q n p ( 佗o ) ， ( 2 1 5 ) iy n = ( 1 一風(fēng)) z n + 風(fēng)p z n 稱作t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列。 引理2 1 1 例設(shè)e 是實(shí)b a n a c h 空間，歹：e _ 2 e + 是正規(guī)對(duì)偶映象。則對(duì) 任意x ，y e ， l | z + 1 1 2 i i z i l 2 + 2 ( ，j ( x + 可) ) ， v j ( x + y ) z ( x + 薌) 引理2 1 2 膽刀設(shè)_ q n ，_ 尻) 是兩個(gè)非負(fù)數(shù)列滿足：q 1 q n + 風(fēng)，風(fēng) 則l i mq n 存在 引理2 1 3 設(shè)西： 0 ，0 0 ) _ 【0 ，) 是嚴(yán)格增加函數(shù)，西( o ) = 0 【o l n ， 風(fēng)) ， ) 是三個(gè)非負(fù)數(shù)列滿足： q n 2 + 1 2 一風(fēng)垂( q 葉1 ) + q 三，風(fēng)= o o ， 。o ( 2 1 6 ) 則l i mq n = 0 證明由( 2 1 6 ) 我們有，q n 2 + 1 ( 1 + ) 三由此得， o 。 由 0 ，使得q n 量，vn n o 我們可假 設(shè)佗o = 0 ，則 圣( a n + 1 ) 圣( 蕓) 0 ， v 仇0 由( 2 1 6 ) 式， a 3 一風(fēng)西( 號(hào)) + c n = o 。 n = o 對(duì)vk 成立，令k o 。，得曼反 o o , 這與曼風(fēng)= o 。因此 n = 0 n = o l i mq n = 0 口 2 2 主要結(jié)果 定理2 2 1 設(shè)e 是實(shí)b a n a c h 空間，d 是e 的非空閉凸子集假設(shè)以下條 件成立： ( h 1 ) 設(shè)t ：d _ d 是具實(shí)數(shù)列 k ) c 1 ，) ，l i mk n = 1 的一致l l i p s c h i t z i a n n + o 。 漸近偽壓縮映象，且f ( t ) 0 ，q f ( t ) ( h 2 ) 設(shè) q n ) ，【風(fēng)) 是 0 ，1 中的兩個(gè)數(shù)列滿足 ( i ) a n = o o ； n - - o ( i i ) q 竹2 ，q 竹風(fēng) 0 且存在n o ，使得x n 。= q 由( 2 1 5 ) 式并歸納得， z t l = q ， v 佗n o 所以( 2 2 2 ) 式成立。 情形3 若k 0 且vn n ( 非負(fù)整數(shù)集) ，z n q 定義 g t = 禮n ；i i x n + 1 一q l i 舌) ，t ( 0 ，k ) ， g k = 他n ；l l z n 十1 一q l i = k ) 注意到當(dāng)n _ o o 時(shí)，x 竹_ q f ( t ) ，得對(duì)任意t ( 0 ，網(wǎng)，存在? 2 0 n ， 使得當(dāng)n n o 時(shí)， i i z n q l i 0 盟k + 1 ( o ，k ) 在這種情形下，r t g t 州，則 妒( 1 l x n + 一q 1 1 ) = g ( t 饑+ 1 ) = 一m i n + ，k m l l x m + x - q 卜璺氣警鏟型 k n l l z n + 1 - q l l 一堅(jiān)氣筍 迦亡1 = k 由佗g k = n 蠔( o ，k ) g t ，我i f 3 有 ( i | z n + 1 一g i i ) = 矽( n + 1 ) = 一l i m k 一9 ( s ) = 。l i mm i n k m l l z m + 。- q l l 一坐挈等型) k n l l x 。, + x - q i i 墜氣掣 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章b a n a c h 空間中的i s h i k a w a 迭代序列2 2 主要結(jié)果 因此( 2 2 2 ) 式成立，( 2 ) 得證。 口 定理2 2 2 設(shè)e 是實(shí)b a n a c h 空間，d 是e 的非空閉凸子集。假設(shè)以下條 件成立： ( h 1 ) 設(shè)?。篸 d 是具實(shí)數(shù)列 ) c 1 ，。o ) ，l i m k n = 1 的漸近非擴(kuò)張映象， 且f ( t ) 諺，q f ( 丁) 設(shè)定理2 2 1 中的條件( h 2 ) 和條件( h 3 ) 成立則定理2 2 1 中的結(jié)論成立 證明由t 是具實(shí)數(shù)列 k ) c 【1 ，) ，1 i mk n = 1 的漸近非擴(kuò)張映象，知 7 l _ o 。 t ：d _ d 是一致l - l i p s c h i t z i a n 漸近偽壓縮映象，其中l(wèi) = s u p k n ) 于是 n 1 定理2 2 2 的結(jié)論可由定理2 2 1 推出 口 1 0 3 1引言 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理 度量空間( z ，d ) 稱作是超凸度量空間，如果對(duì)z 中任意 z a ：o t j ) 和 任意非負(fù)實(shí)數(shù) ：q j ) ，當(dāng)滿足d ( x n ，即) + 印，vq ，盧，時(shí)，有 n b ( x 口，) d ， 其中b ( x ，r ) 是z 中以z 為心，r 為半徑的閉球。 設(shè)a 是z 中的任意非空有界集，定義a 的凸殼c o a 為： c o a = n 0 ， 口 a f t ( a ) = f l b ( x a ，r a + ) o t 由引理3 1 1 知，如果a 是超凸度量空間中的容許子集，則肛) 也是 容許集。 我們需要下面的重合定理 引理3 1 2 口彰設(shè)日是超凸度量空間，xch ，z 是拓?fù)淇臻g，且t c ( h ，z ) ，q ：x 哪z 是多值映射，及k 是z 中的非空緊子集假設(shè)以下條 件成立： ( i ) 對(duì)任意zex ，q ( z ) 是開集； ( i i ) t ( h ) nk cq ( x ) ； ( i i i ) 對(duì)任意n 歹( x ) ，存在緊超凸子集l ch ，ncl n ，使得t ( l n ) kc q ( l nnx ) 則存在m 廠( x ) 和x 0 c o m ，使得t ( x o ) n mq ( z ) ，即t ( c o m ) n n 茁m q ( x ) d 若h = z ，t = 1 日，則我們有下面的引理。 引理3 1 3 設(shè)z 是超凸度量空間，xcz ，q ：x z 是多值映射，及k 是 z 中的非空緊子集假設(shè)以下條件成立： ( i ) 對(duì)任意x x ，q ( z ) 是開集； ( i i ) kcq ( x ) ； ( i i i ) 對(duì)任意n ，( x ) ，存在緊超凸子集l ncz ，ncl n ，使得l n kc q ( l nn x ) 則存在m 蘆( x ) ，使得c o mnn x mq ( x ) 諺 12 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理 3 2 主要結(jié)果 3 2 主要結(jié)果 下面給出在超凸度量空間的一般的子集上取值為容許集的多值連續(xù) 映象的結(jié)果 定理3 2 1 設(shè)日和z 是兩個(gè)超凸度量空間，x 4 ( 日) ，映射t ：x z 是 p r o p e r ，m a 映射，k 是t ( x ) 中的非空緊子集，且t ：x 卻z 是取值為容許 集的連續(xù)映象 ( h 1 ) ：假設(shè)對(duì)任意n 廠( x ) ，存在緊超凸子集l ncx ，ncl n ，使得對(duì)任意 童t ( l n ) k ，有 d ( 玩r ( z ) ) 0 ，t ( b ( x o ，6 ) ) d b ( t ( x o ) ，j ) 則或者存在x o t - 1 ( k ) ，使得t ( x o ) t ( z o ) ；或者存在x o t - 1 ( k ) nb d ( x ) ， 使得 0 d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) ) d ( 可) ，r ( z o ) ) ，vy x 證明假設(shè)對(duì)任意z t - 1 ( k ) ，存在y x ，使得d ( 亡( 可) ，t ( z ) ) c 亡) q ( z ) ，及序列 z n c 13 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理3 2 主要結(jié)果 x ，使得蜘= 芒( z n ) _ y o ( n _ ) ，z n = t - 1 ( ) 。由y ：= ；禮= 1 ，2 ，) u 珈) 是緊集，得亡- 1 ( y ) 也是緊集，則存在子列，仍記為 z n ) ，使得 x 竹_ x 0 ( t t _ 。o ) 由此d ( 亡( z ) ，t ( x n ) ) d ( t ( x n ) ，t ( x 竹) ) ，v 禮1 ，由t 和t 的 連續(xù)性，得到d ( 亡( z ) ，t ( x o ) ) d ( t ( x o ) ，t ( x o ) ) 于是y o = t ( x o ) 丟( x ) q ( z ) ， 所以q ( z ) 是開集。 ( i i i ) 由條件( h 1 ) ，對(duì)任意n 廠( x ) ，存在緊超凸子集l ncx ，ncl n ，使 得( 3 2 1 ) 式成立，于是t ( l n ) kcq ( l ) 因此映射q 滿足引理3 1 2 的所有條件，則存在m 廠( x ) ，使得 t ( c o m ) nn z mq ( x ) 仍。假設(shè)m = x l ，x 2 ，z n ) 任取雪t ( c o m ) nn 茁mq ( z ) ，則存在圣c o m ，使得雪= 亡( 奎) ，且 d ( ( z ) ，t ( 岔) ) 0 使得d ( 童) ，t ( 童) ) 一留 0 ，及d ( ( 承) ，t ( 童) ) d ( 亡( 岔) ，t ( 童) ) 一叼，i = 1 ，2 ，扎則亡( 甄) ：= 肌( t ( 孟) ，t ( 孟) ) 一叼( t ( 岔) ) ，i = 1 ，2 ，禮。于是( m ) c 注意到t ( 岔) 是容許集，由引理3 1 1 知也是容許集，又映射t 是m a 映射，所以雪= ( 面) t ( c o m ) c ，于是d ( 亡( 圣) ，t ( 圣) ) d ( 亡( 孟) ，t ( 面) ) 一叩，矛 盾。 所以，存在如t - x ( k ) ，使得 d ( t ( z o ) ，t ( z o ) ) d ( 亡( 可) ，t ( z o ) ) ，vy x ， 因此( 3 2 2 ) 式成立。 下面證明在條件( h 1 ) 和( h 2 ) 下，我們有： ( i ) 如果d ( t ( x o ) ，t ( 知) ) = 0 ，則由t ( z o ) 的閉性，知t ( x o ) t ( x o ) ( i i ) 如果d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) 0 ，貝00 d ( 亡( z o ) ，t ( z o ) ) d ( 亡( ) ，t ( z o ) ) ，vy x 在這種情形下，我們證明z o s d ( x ) 假設(shè)i n t x ，令d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) = 6 ，選取口，使得0 仃 6 ，及 b ( x o ，巧) cx 1 4 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理 3 2 主要結(jié)果 于是，對(duì)y b ( x o ，盯) ， 盯 5 = d ( t ( x o ) ，t ( x o ) ) d ( 亡( 可) ，t ( z o ) ) ( 3 2 4 ) 則存在z o t ( 銣) ，使得d ( t ( x o ) ，z o ) 6 + 號(hào)因?yàn)閦 是超凸度量空間，知 b ( 亡( z o ) ，盯) nb ( z o ，6 一號(hào)) 0 選取y o b ( t ( x o ) ，盯) nb ( z o ，6 一號(hào)) ，貝! jy o b ( t ( x o ) ，仃) ，及d ( z o ，y o ) 6 一羞， 所以 d ( y o ，t ( x o ) ) d ( y o ，z o ) 6 一苦 6 = d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) ， ( 3 2 5 ) 注意到b ( t ( x o ) ，盯) ct ( b ( x o ，盯) ) ，得到( 3 2 4 ) 式和( 3 2 5 ) 式矛盾。因此x o b d ( x ) ，于是黝t - 1 ( k ) nb d ( x ) n 定理3 2 2 設(shè)z 是超凸度量空間，k 是z 中的非空緊子集，e 是z 中 的具有有限凸性的閉子集，且t ：e 呻z 是取值為容許值的連續(xù)映象。 假設(shè)對(duì)任意n 廠( e ) ，存在緊超凸子集l ncx ，ncl n ，使得對(duì)任意 x en ( l n k ) ，下式成立 d ( y ，7 ( z ) ) d ( x ，t ( z ) ) ，對(duì)某個(gè)y l n f i e ( 3 2 6 ) 則或者存在x o k ，使得z o t ( x o ) ，即z o 是t 的不動(dòng)點(diǎn)；或者存在 x o knb d ( e ) ，使得 0 d ( x o ，t ( z o ) ) d ( y ，t ( z o ) ) ，vy e 證明假設(shè)對(duì)任意z k ，存在y e ，使得d ( y ，t ( z ) ) 0 ，及d ( x ，t ( 圣) ) d ( 矛，t ( 童) ) 一叼，i = 1 ，2 ，佗。貝i jx i ：= 人6 ，t ) ) 一7 ( t ( 矛) ) ，i = 1 ，2 ，佗。于是mc 注意到t ( 岔) 是容許集，由引理3 1 1 知，也是容許的，則岔c o mc = 舭( 童，t ( 童) ) 一叼( t ( 圣) ) ，矛盾。 所以，存在黝k ，使得 d ( x o ，t ( x o ) ) sd ( y ，t ( 黝) ) ，vy e 如果d ( x o ，t ( z o ) ) = 0 ，則由t ( 黝) 的閉性知如t ( x o ) 。 如果d ( z o ，t ( x o ) ) 0 ，貝00 d ( z o ，t ( z o ) ) d ( y ，t ( x o ) ) ，vy e 在這種情形下，我們證明z o s d ( e ) 。 假設(shè)x 0 i n t e ，令d ( z o ，t ( 黝) ) = 巧，選取盯，使得0 盯 j ，及b ( 黝，o r ) c 于是，對(duì)y b ( z o ，礦) ， o r 6 = d ( x o ，t ( z o ) ) d ( u ，t ( 黝) ) ( 3 2 9 ) 則存在y o t ( z o ) ，使得d ( x o ，y o ) 6 + 考。因?yàn)閦 是超凸度量空間，知 b ( x o ，仃) nb ( y o ，6 一暑) d 1 6 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理3 2 主要結(jié)果 選取z o b ( x o ，仃) ob ( y o ，6 一號(hào)) ，則z o b ( x o ，盯) ，及d ( y o ，徇) 巧一薹，所 以 d ( z o ，丁( z o ) ) d ( z o ，y o ) 6 一曇 6 = d ( x o ，t ( z o ) ) ， ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 9 ) 式和( 3 2 1 0 ) 式矛盾。因此x o b d ( e ) ，于是x 0 k nb d ( e ) n 注記2 如果z 是超凸度量空間，k a ( z ) 是緊的，令l = e = k ，假設(shè) t ：e z 取值為容許集的連續(xù)映象，則l k = 0 ，注意到定理3 2 2 中 定義的映射q 仍然滿足引理3 1 3 中的性質(zhì)( i i i ) ，因此q 滿足引理3 1 3 中 的所有條件，于是定理3 2 2 的結(jié)論成立。在這種情形下，定理3 2 2 即為 6 】中的t h e o r e m 2 ，因此定理3 2 2 推廣了 1 9 】中的t h e o r e m 4 ， 1 2 中的一個(gè) l e m m a ，及【6 中的t h e o r e m 2 由定理3 2 1 ，我們有下面的結(jié)果。 定理3 2 3 在定理3 2 j 的假設(shè)條件下，存在x o x ，滿足t ( x o ) ? ( z o ) ，如 果對(duì)亡( z ) gt ( x ) 的所有x t - 1 ( k ) nb d ( x ) ，下面條件中的一個(gè)成立： ( i ) 存在y x ，使得 d ( ( 可) ，丁( z ) ) d ( z ) ，t ( z ) ) ； ( i i ) t ( x ) nt ( x ) 仍； ( i i i ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 t ( x ) n 兒( ( 霉) ，t ( z ) ) ( t ( z ) ) 國(guó)； ( i v ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 t ( x ) nb ( z ，o d ( 亡( z ) ，t ( z ) ) ) on 1 一口) d o o ) ，t ) ) ( t ( z ) ) 0 證明( i ) 如果對(duì)任意z t - a ( k ) ，t ( x ) gt ( z ) ，則由定理3 2 1 得，存在x o 亡- 1 ( k ) ns d ( z ) ，使得 0 d ( 亡( z o ) ，t ( z o ) ) d ( t ( 可) ，t ( x o ) ) vy x ， 這與條件( i ) 矛盾。 1 7 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理3 2 主要結(jié)果 ( i i ) 如果t ( x ) nt ( x ) 0 ，則存在y o t ( x ) nt ( z ) ，及存在x o x ，使得 y o = t ( x o ) ，且d ( t ( x o ) ，t ( z ) ) = 0 。由d ( 亡( z ) ，t ( z ) ) 0 ，知條件( i ) 成立 ( i i i ) 選取y o t ( x ) n 比( t ( z ) ，t ( z ) ) ( t ( z ) ) ，則存在x 0 x ，使得y o = ( 如) ，且 d ( t ( x o ) ，t ( z ) ) a d ( t ( x ) ，t ( z ) ) d ( 亡( z ) ，t ( z ) ) ， 于是，由( i i i ) 可以推出( i ) ( i v ) 易知條件( i v ) 可以推出條件( i i i ) 口 和定理3 2 3 的證明類似，我們可得下面的不動(dòng)點(diǎn)定理。 定理3 2 4 在定理了2 2 的假設(shè)條件下，t 有不動(dòng)點(diǎn)，如果對(duì)xgt ( x ) 的所 有z knb d ( e ) ，下面條件中的一個(gè)成立： ( i ) 存在y e ，使得 d ( y ，t ( z ) ) d ( x ，t ( z ) ) ； ( i i ) ent ( x ) 仍； ( i i i ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 e n 虬d ( z ，t ( 霉) ) ( t ( z ) ) 0 ； ( i v ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 enb ( z ，a d ( x ，t ( z ) ) ) nn 1 一n ) d ( z ，t ( 。) ) ( t ) ) 0 注記3 定理3 2 4 推廣了f 1 9 】中的t h e o r e m 5 ， 1 2 中的t h e o r e m 6 ，及 6 】中 的c o r o l l a r y l 下面舉一個(gè)例子說(shuō)明我們的主要結(jié)果。 例3 2 5 設(shè)z = 酞1 ，k = 【一；，3 】u 【1 8 ，2 0 cz ，e = 【一1 ，o o ) cz ，t ：e 川z ，且 對(duì)任意z e ，t ( z ) = 壺，甭3 + 2 】 則z 是超凸度量空間，k 是z 中的非空緊子集，e 是z 中的具有有限凸 性的閉子集，且t ：e z 是取值為容許值的連續(xù)映象 1 8 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超凸度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理 3 2 主要結(jié)果 我們斷言t 滿足對(duì)任意ne 廠( e ) ，存在緊超凸子集l cz ，ncl ，使 得對(duì)任意x en ( l n k ) ，下式成立 d ( y ，丁( z ) ) d ( x ，t ( z ) ) 對(duì)某個(gè)y l n ne ( 3 2 1 1 ) 事實(shí)上，對(duì)任意n 9 v ( e ) ，令l = 一1 ，6 】，其中2 0 b 莉3 + 2 ，任取y ( 3 ，x ) cl nne ，則 d ( y ，t ( z ) ) 2y 一( 壺+ 2 ) z 一( 燾+ 2 ) = d ( z ，t ( z ) ) - 因此，p 2 ，1 1 ) 式成立。 因?yàn)閗nb d ( e ) = 一1 ) ，一1gt ( 一1 ) ，且t ( 一1 ) ne 仍，由定理了2 2 和 定理3 2 4 中的一砂知，存在z o k ，使得x o 是t 的不動(dòng)點(diǎn)，事實(shí)上 f ( t ) = 【1 ，、7 ck 注記彳在上面的例子中，z = r 1 ，kg4 ( z ) 如果k 4 ( z ) 是緊的，令 l = e = k ，假設(shè)t ：e 川z 是取值為容許值的連續(xù)映象，則對(duì)任意 n ，( e ) ，ncl ，且l k = 仍，于是有由定理3 2 2 后的注記2 知，存 在x oek ，使得 d ( x o ，t ( x o ) ) d ( y ，t ( z o ) ) ，vy e 參考文獻(xiàn) 【1 】n a r o n s z a j n ，p p a n i t c h p a k d i ，e x t e n s i o no fu n i f o r m l yc o n t i n u o u st r a n s f o r m a - t i o n sa n dh y p e r c o n v e xm e t r i cs p a c e s ，p a c i f i cj m a t h 6 ( 19 5 6 ) 4 0 5 4 3 9 2 】f e b r o w d e r ，n o n e x p a n s i v en o n l i n e a ro p e r a t o r si nb a n a c hs p a c e s ，p r o c n a t l a c a d s c i u s a ，5 4 ( 1 9 6 5 ) ，1 0 4 1 1 0 4 4 3 】s h i h - s e nc h a n g ，o nc h i d u m e so p e nq u e s t i o n sa n da p p r o x i m a t es o l u t i o no f m u l t i v a l u e ds t r o n g l ya c c r e t i v em a p p i n ge q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l 2 1 6 ( 1 9 9 7 ) ，9 4 1 1 1 【4 】r u t hf c u r t a i n ，h a n sz w a r t ，a ni n t r o d u c t i o nt oi n f i n i t e d i m e n s i o n a ll i n e a r s y s t e m st h e o r y , s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 1 【5 】k l a u sd e i m l i n g ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，s p r i n g e r v e r l a g ，c 1 9 8 5 6 】l a d u n g ，d h t a n ，s o m ea p p l i c a t i o n so ft h ek k m m a p p i n gp r i n c i p l ei n h y p e r c o n v e xm e t r i cs p a c e s ，n o n l i n e a ra n a l 6 6 ( 2 0 0 7 ) 1 7 0 1 7 8 7 】k l a u s - j o c h e ne n g e l ，r a i n e rn a g e l ，o n e - p a r a m e t e rs e m i g r o u p sf o rl i n e a re v o - l u t i o ne q u a t i o n s ，s p r i n g e r ，c 2 0 0 0 【8 】l e e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e r n t i a le q u a t i o n s ，a m sp u b l i s h i n g ，p r o v i d e n c e ，1 9 9 8 【9 】k g o e b e la n dw a k i r k ，af i x e dp o i n tt h e o r e mf o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n - s i v em a p p i n g s ，p r o c a m e r m a t h s o c 3 5 ( 1 ) ( 1 9 7 2 ) ，1 7 1 1 7 4 【1 0 郭大鈞，非線性泛函分析，山東科學(xué)技術(shù)出版社，2 0 0 1 1 1 】e i n a rh i l l e ，r a l p hs p h i l l i p s ，f u n c t i o n a la n a l y s i sa n ds e m i - g r o u p s ，n e wy o r k ， a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 4 8 1 2 m a k h a m s i ，k k ma n dk yf a nt h e o r e m si nh y p e r c o n v e xm e t r i cs p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l 2 0 4 ( 1 9 9 6 ) 2 9 8 3 0 6 1 3 】m a k h a m s i ，w a k i r k ，c a r l o sm a r t i n e zy a f i e z ，f i x e dp o i n ta n ds e l e c t i o n t h e o r e m si nh y p e r c o n v e xs p a c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 8 ( 2 0 0 0 ) ，3 2 7 5 3 2 8 3 2 0 參考文獻(xiàn) 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 參考文獻(xiàn) 1 4 】j h k i m ，s p a