清北學(xué)堂 2014年寒假高二理科精英班導(dǎo)學(xué)1-聯(lián)盟自主招生 數(shù)學(xué)（復(fù)數(shù) 向量 幾何）

2014年寒假 高二理科精英班 導(dǎo)學(xué) （第 一 次） 資料 說明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點(diǎn)。 同時(shí) 還 附上部分知識點(diǎn) 的詳細(xì)解讀。本 班型導(dǎo)學(xué)共由 2 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第 一次導(dǎo)學(xué)，后面的第二 次導(dǎo)學(xué) ， 將于 2013 年 12 月 25 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會發(fā)布 相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請關(guān)注。 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學(xué)競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-2 2013-12-15發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁 目錄 一、各自招聯(lián)盟題目知識模塊考查比例 . 2 1“華約”聯(lián)盟 . 2 2“北約”聯(lián)盟 . 2 3 卓越聯(lián)盟 . 2 4 三大聯(lián)盟題目對比 . 3 二、自招知識補(bǔ)充，題目解析 . 4 1. 復(fù)數(shù) . 4 2. 平面向量 . 5 3. 平面幾何 . 6 4. 立體幾何 . 9 5. 解析幾何 . 12 6. 數(shù)論 . 15 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 一、各自招聯(lián)盟題目知識模塊考查比例 1“華約”聯(lián)盟 由“華約”近幾年的試題考點(diǎn)分布圖可以看出，非超綱部分的考查重點(diǎn)主要集中在解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)、解三角形、函數(shù)和數(shù)列這幾個(gè)知識模塊；難度上要略大于高考，基本都達(dá)到高考壓軸題的水平。應(yīng)對策略：做一定數(shù)量的壓軸題目，多總結(jié)、積累解題的思路。 超綱部分 接近 1/4，主要集中在初等數(shù)論、數(shù)列知識的延伸和平面幾何等模塊。本部分是自招 筆試 準(zhǔn)備的重點(diǎn)和難點(diǎn)，首先需要先掌握基本的概念和定理，如數(shù)論中關(guān)于數(shù)的整除的 一些性質(zhì)，數(shù)列中求通項(xiàng)的特征方程法，平面幾何中的相交弦定理等等； 然后做一些真題和模擬題進(jìn)行鞏固和提高。 2“北約”聯(lián)盟 “華約”題目中，非超綱部分的考查重點(diǎn)在三角函數(shù)和變換部分，還有函數(shù)和數(shù)列；與高考相比，對解析幾何的考查要少一些。超綱部分占到一半左右， 考查重點(diǎn) 是在簡單數(shù)論、平面幾何和組合問題這幾個(gè)模塊。 體現(xiàn)在題目的難度上就是，“北約”的題目比“華約”要更難一些， 典型的送分題很少， 不少題目都是可以用純粹考試技巧的方式作出正確答案；從知識點(diǎn)分布上說，并沒有覆蓋全部重點(diǎn)知識，考察的都是北約較為看重的幾點(diǎn)，如代數(shù)恒等變形等問題。題目無需復(fù)雜計(jì)算，如果思維方法正確，只需幾分鐘 即可解決。 3 卓越聯(lián)盟 卓越聯(lián)盟題目 的 考查重點(diǎn)在解析幾何、數(shù)列、函數(shù)和立體幾何部分，命題風(fēng)格全面趨近高考，超綱部分僅約 20%；卓越一貫講究對高中知識的全面覆蓋，偶爾結(jié)合一些高級觀點(diǎn)，對競賽的解題思想和技巧基本不要求。 2011 2013 華約自招數(shù)學(xué)考點(diǎn)分布圖（紅色字體為 超綱部分） 2011 2013 卓越聯(lián)盟自招數(shù)學(xué)考點(diǎn)分布圖（紅色字體 為超綱部分） 2012、 2013 北約自招 數(shù)學(xué)考點(diǎn)分布圖（紅色 字體 為超綱部分） 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 4 三大聯(lián)盟題目對比 從超 綱部分的比重來看，“北約”最多，“華約”次之，卓越最少，這從 題目的難度上也有所體現(xiàn)；從知識點(diǎn)的分布上看， 卓越聯(lián)盟 和高考最為接近，“北約” 與高考差距最遠(yuǎn)，“華約”介于兩者之間 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 二、自招知識補(bǔ)充，題目解析 1. 復(fù)數(shù) 【知識補(bǔ)充】 復(fù)數(shù)在自招中所占比例比高考試卷略高，難度也稍大，重點(diǎn)考查：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、方程問題、復(fù)數(shù)與軌跡、單位根等。 例 1： （ 2011華約改編）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1z 且 152z z，則 z . 解析： 由 15|2z z得 2 5| | 1 | |2zz ，已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù) 的 方程 ， 解得 |z 12 （舍去），2. 例 2： （ 2006 復(fù)旦）設(shè) 12,ZZ為一對共軛復(fù)數(shù)，如果 12 6ZZ，且 122ZZ為實(shí)數(shù)，則12ZZ . 解析： 設(shè) 1Z a bi ， 2Z a bi ，由 12 26Z Z bi ，得到 62b ； 由 12 2 22 2Z a biZ a b abi 為實(shí)數(shù)得到22 12aa b a，整理得到 223ab ，由此即可求得 1Z的模。 例 3： （ 2007復(fù)旦）設(shè) 00( 0)ZZ 為復(fù)平面上一定點(diǎn)， 1Z 為復(fù)平面上的動點(diǎn)，其軌跡方程為1 0 1Z Z Z， Z 為復(fù)平面上另一個(gè)動點(diǎn)，滿足 1 1ZZ .則 Z 在復(fù)平面上的軌跡形狀是 . A. 一條直線 B. 以01Z 為圓心，01Z 為半徑的圓 C. 焦距為012Z 的雙曲線 D. 以上均不對 解析： 設(shè) 0 0 0Z a bi， 1 1 1Z a bi ， Z a bi ，由 1 0 1Z Z Z和 1 1ZZ 可得到方程組： 2 2 2 2 21 0 1 0 1 11111( ) ( )10a a b b a ba a b ba b a b 消去 11,ab可以得到關(guān)于 ,ab的方程： 22 0022002 ( )bb aaab ab 所以可知 Z 在復(fù)平面上的軌跡為圓。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 2. 平面向量 例 1： （ 2011卓越）向量 ,ab均為非零向量， ( 2 )a b a， ( 2 )b a b，則 ,ab的夾角為 解析： 設(shè) (1,0)a ， ( , )b xy ，由題意得到方程組： 21 2 0( 2) 0xx x y 從而得到 ,xy的值，求得 ,ab的夾角。 例 2： （ 2010 華約）設(shè)向量 ,ab滿足 1ab， ab m ，則 ()a tb t R的最小值為 . 解析： a tb 與 ()ta b t R的最小值必然相等，求 ta b 的最小值即可； 設(shè) (1,0)a ，則可以取 2( , 1 )b m m，則 2( , 1 )ta b t m m ，顯然當(dāng) tm 時(shí)，ta b 取得最小值 21 m . 例 3： （ 2012華約）向量 ae ， 1e ，若 tR ， a te a e ，則（ ） A. ae B. ()a a e C. ()e a e D. ( ) ( )a e a e 解析： 設(shè) (1,0)e ， ( , )a x y ，由 a te a e 得到 2 2 2 2( ) ( 1)x t y x y 2 2 2 1 0 ( )t tx x t R 由此得到方程的判別式 0 2( 2 ) 4 ( 2 1) 0xx 1x 所以 ( 1, )ay ，可得到 ()e a e. 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 3. 平面幾何 【知識補(bǔ)充】 1）角平分線定理 如圖 3-1，在 ABC 中， AD 為 A 的角平分線，則有 AB ACAD CD . 2）切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 如圖 3-2 所示， PA 為圓的切線， PC 為圓的割線，則有 2PA PB PC. 3）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。如圖 3-3所示，則有 PA PB PC PD . 圖 3-2 圖 -1 圖 3-3 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 例 1： （ 2011卓越）如圖 3-4， ABC 內(nèi)接于 O ，過 BC 中點(diǎn) D 作平行于 AC 的直線 l ， l 交AB于 E，交 O 于 G， F，交 O 在 A 點(diǎn)處的切線于 P，若 3PE ， 2ED ， 3EF ，則PA= . 解析： 由弦切角定理知 PAB C EDB PEA BED PE AEBE DE PE DE BE AE 由相交弦定理得到 GE EF BE AE 2PE DEGE EF 1PG PE GE 由切割線定理得到 2 6PA PG PF 例 2： （ 2012卓越）如圖 3-5 所示， AB 為 O 的直徑，弦 CD垂直 AB 于點(diǎn) M ， E 是 CD 延長線上一點(diǎn)， 10AB ，8CD ， 34ED OM ， EF 為 O 的切線， F 是切點(diǎn)，BF 與 CD 相交于點(diǎn) G. （ ）求線段 EG 的長； （ ）連接 DF，判斷 DF 是否平行于 AB，并證明你的結(jié)論。 解析： （ ）如圖 3-6 所示，連接 AF、 OF、 OE； 由弦切角定理得到 E F B F A B B G M E G F EFG 為等腰三角形 EG EF 410MDAB 34OMDE 73OE43EF EG （ ）若 DF 平行于 AB，則 90FDC FDE 則 FC 為圓的直徑，長度為 10. 由 （ ）中可得 8CD ， 42FD ； 2 2 29 6 1 0 0C D F D F C ，與勾股定理矛盾，故假設(shè)不成立，即 DF 與 AB 不平行。 圖 3-4 圖 3-6 圖 3-5 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 例 3： 在 ABC 中， D 為 BC 的中點(diǎn)， DM 平分 ADB 交 AB 于 M ， DN 平分 ADC 交 AC于 N ，則 BM CN 與 MN 的大小關(guān)系是 A BM CN MN B BM CN MN C BM CN MN D不能確定 解析一： 由角平分線定理得到 AM AD AD ANBM BD CD CNMN BC 設(shè) AD 與 MN 交于點(diǎn) E ，則 E 點(diǎn)平分 MN 且2MN ME EN DE BM CN 與 2DE 的大小關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為 AB AC 與 2AD 的大小關(guān)系（平行線截割定理）而利用平行四邊形容易證明在 ABC 中，中線 AD 小于2AB AC 解析二： 在 AD 上截取 DO DB DC，則有 BM OM ， CN ON 則 B M C N M O N O M N (三角形兩邊之和大于第三邊 ) 由解析一知道 /MN BC ，若 O 點(diǎn)在 MN ,則 O 為 MN 中點(diǎn)，且 MND 為直角三角形，則有 M O O N O D B D D C 而實(shí)際上 BD MO ，故假設(shè)不成立， O 點(diǎn)不可能在 MN 上，故得到 BM CN MN。 例 4： 如圖 3-9，在銳角 ABC 中， AB 邊上的高 CE 和AC 邊上的高 BD 交于點(diǎn) H，以 DE 為直徑作圓與 AC 的另一個(gè)交點(diǎn)為 G，已知 25BC ， 20BD ， 7BE ，則AG 的邊長為 . 解析： 2520BCBD 4tan 3ACB 257BCBE 24ta n 7ABC 4tan324tan7ACBABC 4tan 3A 18AE 連接 GE，因?yàn)?DE 為直徑，所以 AED 為直角三角形，由此可求得 AG 的值。 圖 3-7 圖 3-8 圖 3-9 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 4. 立體幾何 例 1： （ 2012華約）已知三棱錐 S ABC 的底面 ABC 為正三角形，點(diǎn) A 在側(cè)面 SBC 上的射影H 是 SBC 的垂心，二面角 H AB C為 30，且 2SA ，則此三棱錐的體積為 . 解析： 如圖 4-1 所示，延長 SH 與 BC 交于點(diǎn) D，連接 AD；作 SO AD，延長 CO 交 AB 于點(diǎn) F；延長 BH 交 SC 于點(diǎn) E，連接 AH 和 AE； 因?yàn)?AH SBC AH SC，且 H 為 SBC 的垂心，所以 BE SC ，所以 SC 面 ABE ，所以 SC AB . 因?yàn)?AH BC ， SD BC ，所以 BC 面 SAD ，所以 BC SO ， BC AD . 又 SO AD ，所以 SO 面 ABC ，即點(diǎn) O 為 S 在底面的射影。 因?yàn)?SC AB ， SO AB ，所以 AB 面 SCF ，所以 AB CF . 由 BC AD ， AB CF ，知道點(diǎn) O 為 ABC 的中心，所以 2SA SB SC . 設(shè) ABC 的邊長為 a ，則 234ABCSa ，在 Rt SOC 中可求得 243aSO； 得到 2213 43 4 3S A B C aVa 因?yàn)槎娼?H AB C為 30，且 SC 面 ABE ，所以 23c o s 3 0 8A B E A B CS S a . 得到 21 1 323 3 8S A B C A B EV S C S a . 由 2221 3 1 3423 4 3 3 8S A B C aV a a 求得 3a ，代入可得到 34S ABCV . 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 例 2： （ 2012卓越）如圖 4-1，在四棱錐 P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形， /AD BC ， AB BC ，側(cè)面 PAB 底面 ABCD ， 1PA AD AB ， 2BC . （ ）證明平面 PBC 平面 PDC ； （ ）若 120PAB ，求二面角 B PD C的正切值。 解析： 如圖 4-2，以 A 為原點(diǎn)， AB 為 x 軸， AD 為 y 軸，過 A點(diǎn)垂直于平面 ABCD 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系；則(1,0,0)B ， (1,2,0)C ， (0,1,0)D . （ ）點(diǎn) P 在 xOz 平面上，且 1AP ，設(shè) PAB ，則點(diǎn)(cos ,0,sin )P ； 設(shè)面 PBC 的一個(gè)法向量 1 (1, , )n x y ，由 1 0n BC和1 0n PB得到 1 1 cos(1, 0, )sinn 同理，得到平面 PCD 的一個(gè)法向量為 2 1 cos( 1,1, )sinn 因?yàn)?12 1 c o s 1 c o s1 ( 1 ) 0 1 0s i n s i nnn 所以 12nn ，所以 面 PBC 面 PCD . （ ）設(shè) 二面角 B PD C ；因?yàn)?120PAB ，1AP ，所以點(diǎn) 13( ,0, )22P ； 可求得平面 BPD 的一個(gè)法向量 3 (1,1, 3)n ， 面 PCD 的一個(gè)法向量4 3( 1,1, )3n ； 所以 343( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , )1053c o s353( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , )3nn ，所以105cos 35 ， 46tan 3 . 例 3： 如圖 4-4，已知二面角 l的平面角為 45 , 在半平面 內(nèi)有一個(gè)半圓 O , 其直徑 AB 在 l 上 , M 是這個(gè)半圓 O 上任一點(diǎn) (除 A 、 B 外 ), 直線 AM 、 BM 與另一個(gè)半平面 所成的 角分別為 1 、 2 . 試證明 2212cos cos 為定值 . 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-1 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁 解析： 如圖 4-5， 過 M 作 MH ， H 為垂足，在 內(nèi)，作 MK AB ， K 為垂足， 連接 ,KH AH BH ，則 12,M A H M B H . ,MH AB, MH AB . ,M K M H M M K平面 MH ，MH 平面 MHK ， AB 平面 MHK . HK 平面 MHK ， AB HK . MKH 是二面角 l的平面角 . MKH 45 . 22MH MK . 在 Rt AMB 中， 2 2 2,A M A K A B B M B K A B M K A K B K . 在 Rt MHA 和 Rt MHB 中，12s in , s inM H M HA M M B. 2212sin sin 22MH MHAM MB 2222M K M KA K A B B K A B22A K B K A K B KA K A B B K A B2BK AKAB 122ABAB 2212c o s c o s 2 ( 2212 3sin sin ) 2 圖 4-5 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁 5. 解析幾何 例 1：（ 2013華約） 設(shè) 0k ，在直線 y kx 與 y kx 上分別取點(diǎn) ,AAAx y 與 ,BBB x y ，使 0ABxx 且 21OA OB k ，其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)記 AB 中點(diǎn) M 的軌跡為 C 求 C 的方程； 若拋物線 2 2x py （ 0p ）與 C 在兩點(diǎn)相切，證明：兩個(gè)切點(diǎn)分別在兩條定直線上，并求在這兩切點(diǎn)處的切線方程 解析： （ 1） M 為 AB 中點(diǎn) ，設(shè)其坐標(biāo)為 (, )xy ，則 222ABA B A Bxxxy y kx kxy 因?yàn)?2 2 2 21 1 1 ( 1 )A B A BO A O B k k x k x k x x 由于 0ABxx 可得 1ABxx 所以 2 2 2 22( 2 ) ( ) ( ) ( ) 4 4A B A B A Bx y x x x x x xk 整理得 C 的方程 為 222 1yx k 可知曲線 C 為雙曲線。 （ 2）聯(lián)立方程組 222212yxkx py 得到 22 2 1 0y pyk ， （ 0, 0kp） 由雙曲線與拋物線相切得到二次方程的判別式 2 2440p k 所以 1kp 由方程 22 2 1 0p y py 得到兩切點(diǎn)坐標(biāo)為 1( 2, )p。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁 由此可知當(dāng) p 的值發(fā)生變化時(shí)，兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，故可得 兩個(gè)切點(diǎn)分別在兩條定直線 2x 和 2x 上。 拋物線 2 2x py 在兩切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值分別為 2p和 2p，可求得兩切線方程為 21( 2 )yxpp ， 21( 2 )yxpp 例 2：（ 2013卓越） 設(shè)橢圓 222 124xy aa 的離心率為 33，斜率為 k 的直線 l 過點(diǎn) 0,1E ，且與橢圓相交于 C 、 D 兩點(diǎn) （ 1） 求橢圓方程； （ 2）若直線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) G ，且 GC DE ，求 k 的值； （ 3）設(shè) A 為橢圓的下頂點(diǎn)， ACk 、 ADk 分別為直線 AC 、 AD 的斜率，證明對任意的 k ，恒有 2AC ADkk 解析： （ 1）由已知得離心率 22 33abe a， 2b ，從而 6a 所以橢圓的方程為 22164xy （ 2）直線 l 的方程為 1y kx，設(shè) 11Cx y， ， 22Dx y， ， 由方程組 221641xyy kx ，消去 y 得 222 3 6 9 0k x kx 于是12 2623kxx k ，由直線 l 與 x 軸交于點(diǎn) G ，知 0k ， 1 0Gk， 又 GC DE ，可得 1 1 2 21 1x y x yk ， ，故121xxk 所以26123kkk ，解得 63k （ 3）因?yàn)?02A ， ，得 112AC yk x ， 222AD yk x ，又 12 2923xx k ， 于是 AC ADkk 121222yyxx 121233kx kxxx 2 1 2 1 21239k x x k x xxx 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁 222218 923923kkkk 2 例 3： （ 2011卓越） 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 12( 1,0), (1,0)FF ,且橢圓與直線 3yx 相切 . （ 1） 求橢圓的方程 ； （ 2） 過 1F 作兩條互相垂直的直線 12,ll,與橢圓分別交于 ,PQ及 ,MN,求四邊形 PMQN 面積的最大值與最小值 . 解析： （ 1） 設(shè)橢圓方程為 22 1( 0)xy abab ,因?yàn)樗c直線 3yx 只有一個(gè)公共點(diǎn) , 所以方程組 22221,3.xyabyx 只有一解 ,整理得 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 3 3 0a b x a x a a b . 所以 2 2 2 2 2 2 2( 2 3 ) 4 ( ( 3 ) 0 ,a a b a a b 得 223ab . ； 又因?yàn)榻裹c(diǎn)為12( 1,0), (1,0)FF ,所以 221,ab聯(lián)立上式解得 222, 1ab； 所以橢圓方程為 2 2 12x y. （ 2） 若 PQ 斜率不存在 (或?yàn)?0)時(shí) ,則 12 2 2 1| | | | 2 222P M Q NP Q M NS 四 邊 形. 若 PQ 斜率存在時(shí) ,設(shè)為 ( 0)kk ,則 MN 為 1k .； 所以直線 PQ 方程為 y kx k.設(shè) PQ 與橢 圓 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ； 聯(lián)立方程 2 2 1,2.x yy kx k 化 簡 得2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k x k . 則 221 2 1 24 2 2,2 1 2 1kkx x x x 所以 2 4 2 2 2212 22( 1 ) 16 4( 2 1 ) ( 2 1 ) 1| | 1 | | 2 22 1 2 1k k k k kP Q k x x kk 同理可得 221| | 2 2 2kMN k 所以 22 2 4 22 2 4 2 4 21| | | | ( 1 ) 2 1 1 24 4 4 4 ( )2 ( 2 ) ( 2 1 ) 2 5 2 2 2 5 2P M Q N kP Q M N k k kS k k k k k k 四 邊 形 242 221 1 14 ( ) 4 ( )12 4 1 0 4 24 4 1 0kkkk k 因?yàn)?2222144 4 1 0 2 4 1 0 1 8kkkk （當(dāng)且僅當(dāng) 2 1k 時(shí)取等號） 所以 ,2 211( 0 , ,1 184 4 1 0k k 也所以2 21 1 1 64 ( ) , 2 1294 4 1 0k k 所以綜上所述 ， PMQNS四 邊 形 的面積的最小值為 169 ,最大值為 2. 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁 6. 數(shù)論 【知識補(bǔ)充】 1） 整除的概念 設(shè) ,ab是給定的整數(shù)， 0b ，若存在整數(shù) c ，使得 a bc ，則稱 b 整除 a ，記作 |ba，并稱b 為 a 的一個(gè)約數(shù)，稱 a 是 b 的一個(gè)倍數(shù)；如果不存在上述 c ，則稱 b 不能整除 a 。 整除有以下性質(zhì)： 若 |bc且 |ca，則 |ba（傳遞性質(zhì)）； 若 |ba且 |bc，則 |( )b a c ； 若 |ba，則 0a 或 ab ，因此若 |ba且 |ab，則 ba ； ,ab互質(zhì)，若 |ac且 |bc，則 |abc ； p 是質(zhì)數(shù)，若 12| np aa a ，則 p 能整除 12,na a a 中的某一個(gè)；特別的，若 p 是質(zhì)數(shù)且 | npa，則 |pa； （帶余除法）設(shè) ,ab為整數(shù)， 0b ，則存在整數(shù) q 和 r ，使得 a bq r，其中 0 rb ，并且 q 和 r 由上述條件唯一確定；整數(shù) q 稱為 a 被 b 除得的商，整數(shù) r 稱為 a 被 b 除得的余數(shù)； r 共有 b 種可能取值： 0,1, , 1b 。若 0r ，即為 a 被 b 整除的情況。 n 個(gè)連續(xù)整數(shù)中，有且只有一個(gè)是 n 的倍數(shù)； 任何 n 個(gè)連續(xù)整數(shù)之積，一定是 !n 的倍數(shù)，特別的，三個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積，能被 6 整除； 2） 奇數(shù)、偶數(shù)有如下性質(zhì)： 奇數(shù) 奇數(shù) =偶數(shù)，偶數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù) 偶數(shù) =奇數(shù)，偶數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù) 奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)； 奇數(shù)的平方都可以表示成 81m 的形式，偶數(shù)的平方可以表示成 8m 或 84m 的形式； 任何一個(gè)正整數(shù) n ，都可以寫成 2mnl 的形式，其中 m 為非負(fù)整數(shù)， l 為奇數(shù)； 若有限個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)；若有限個(gè)整數(shù)之積