2019屆高三數(shù)學(xué) 備考沖刺140分 問題42 實(shí)際應(yīng)用中的統(tǒng)計(jì)解答題（含解析）.doc

問題42實(shí)際應(yīng)用中的統(tǒng)計(jì)解答題一、考情分析概率統(tǒng)計(jì)在高考中扮演著很重要的角色,概率統(tǒng)計(jì)解答題是全國卷及多數(shù)省市高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容,內(nèi)容主要涉及古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、頻率分布直方圖、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的實(shí)際應(yīng)用等.回顧近幾年的高考試題,可以看出概率統(tǒng)計(jì)解答題,大多緊密結(jié)合社會實(shí)際,以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題,注重知識的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用,作為考查實(shí)踐能力的重要載體,命題者要求考生會收集、整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息,建立數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題.該類問題閱讀量一般比較大,但難度多為中等或中等偏易.二、經(jīng)驗(yàn)分享(1)明確頻率分布直方圖的意義，即圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1. 利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)對于統(tǒng)計(jì)圖表類題目，最重要的是認(rèn)真觀察圖表，從中提煉有用的信息和數(shù)據(jù)(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定(3)解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x0.(4)判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)：r0時，正相關(guān)；r0時，正相關(guān)； 0時，負(fù)相關(guān)(5) 回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法主要解決：確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式； 根據(jù)一組觀測值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢； 求出線性回歸方程線性回歸分析問題的類型及解題方法求線性回歸方程利用公式，求出回歸系數(shù)，或待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù).(6)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)(7)比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法通過計(jì)算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大通過計(jì)算|adbc|的大小判斷：|adbc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大(8)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測值k.比較k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷三、知識拓展四、題型分析(一) 期望與方差的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望反應(yīng)的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反應(yīng)隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度.現(xiàn)代實(shí)際生活中，越來越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差這思想來對事件發(fā)生大小的可能性進(jìn)行評估，通過計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否等很多問題都與這兩個特征兩量有關(guān).(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想,則先求隨機(jī)變量的期望,當(dāng)時,不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好,需要用來比較這兩個隨機(jī)變量的方差,確定它們的偏離程度.(2)若我們希望比較穩(wěn)定性,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或接近.【例1】例3.7（2018新課標(biāo)I卷理20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立 （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用 （i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【分析】 利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，再求最大值點(diǎn)，注意；(2)先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結(jié)果.【解析】 （1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的最大值點(diǎn)為.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【點(diǎn)評】隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定【小試牛刀】【廣東省江門市2019屆第一次模擬】甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪元，每單提成元；乙公司無底薪，單以內(nèi)（含單）的部分每單提成元，大于單的部分每單提成元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表（1）若將大于單的工作日稱為“繁忙日”，根據(jù)以上頻數(shù)表能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“繁忙日”與公司有關(guān)？（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘，你會推薦小王去哪家？為什么？參考公式和數(shù)據(jù)：【解析】（1）依題意得，公司與“繁忙日”列聯(lián)表 ,，所以，能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“繁忙日”與公司有關(guān) .（2）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時， .所以，的所有可能取值為、，的分布列為： .依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為 ,所以甲公司送餐員日平均工資為（元）,因?yàn)?，故從更高收入角度考慮推薦小王去乙公司應(yīng)聘；因?yàn)橐夜颈燃坠痉泵?，故從工作閑適角度考慮推薦小王去甲公司應(yīng)聘(二)正態(tài)分布的應(yīng)用 正態(tài)分布隨處可見，處處顯現(xiàn)著他神秘的身影.對于某一件事或者某個要達(dá)到的目標(biāo)，很多很多的個體發(fā)揮出來的水平大致上服從正態(tài)分布.也就是說，對于大量個體的發(fā)揮統(tǒng)計(jì)，常常能看到正態(tài)分布“冥冥之中”束縛著整體的狀態(tài).對于某個單獨(dú)的單位，一般來說，對于“發(fā)揮出來的水平”這件事，也往往有波動的效果，不管是機(jī)器、工具還是我們?nèi)吮旧恚河械臅r候，超水平發(fā)揮了；有的時候正常發(fā)揮；有的時候又會發(fā)揮失常.這種東西應(yīng)該也可以抽象為圍繞期望水平的正態(tài)分布.而對于若干數(shù)據(jù)，包括發(fā)揮水平、排位情況，但是沒有整體數(shù)據(jù)的時候，如果能推測是正態(tài)分布的情形，就可以近似計(jì)算出分布函數(shù)來，然后去估計(jì)其他的分布情況.這是反向推導(dǎo)的過程.生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述.例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長度等指標(biāo)；同一種生物體的身長、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點(diǎn)沿某一方向的偏差；某個地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等.【例2】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個零件,并測量其尺寸（單位：）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查（）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得,其中為抽取的第個零件的尺寸,用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,【分析】 (1)先確定,再利用求期望；（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是否合理,可通過一天內(nèi)抽取的個零件中,尺寸落之外概率的大小判斷,（ii）剔除異常數(shù)據(jù),在利用公式求和.【解析】 （1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為,落在之外的概率為,由題可知,所以.（2）（i）尺寸落在之外的概率為,由正態(tài)分布知尺寸落之外為小概率事件,因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理（ii）,因?yàn)?所以需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查因此剔除,剔除數(shù)據(jù)之后：.所以.【點(diǎn)評】正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中相對較獨(dú)立的一個考點(diǎn),且已經(jīng)從冷點(diǎn)轉(zhuǎn)化為熱點(diǎn),求解此類問題,一般從入手,對于應(yīng)用問題,要注意從較大的閱讀量中提取有用的信息.以下兩類問題是正態(tài)分布中的基本問題：(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱,及曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的,進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于(,),(2,2),(3,3)中的哪一個.【小試牛刀】【山東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬】某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，結(jié)果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組：第一組45，50)，第二組50，55)，第六組70，75)，得到如下圖(1)所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻率作為總體的概率(I)求頻率分布直方圖中的值；(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在55，65)的人數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(III)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布，其中若，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由【解析】解：()由圖（2）知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為，則，在上有13人，該組的頻率為0.13，則，所以，即c=0.07.()用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重在的概率為0.0710=0.7，隨機(jī)抽取3人，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則，所以，X的概率分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)=30.7=2.1()由N(60,25)得由圖（2）知.所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的. (三) 用樣本估計(jì)總體頻率分布直方圖是高考考查的熱點(diǎn)，考查頻率很高，題型有選擇題、填空題，也有解答題，難度為低中檔用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用在計(jì)數(shù)和計(jì)算時一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時，寬窄要一致通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計(jì)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤【例3】2018年9月的臺風(fēng)“山竹”對我國多個省市的財(cái)產(chǎn)造成重大損害，據(jù)統(tǒng)計(jì)直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的損失數(shù)據(jù)分成五組：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個農(nóng)戶的損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這戶損失超過元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個農(nóng)戶的平均損失；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值【解析】（1）記每個農(nóng)戶的平均損失為元，則 ；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）20005015（戶），損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.000032000503（戶），隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計(jì)算P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列為； X012P數(shù)學(xué)期望為E（X）0+1+2【點(diǎn)評】用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計(jì)總體則是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀【小試牛刀】中國農(nóng)業(yè)銀行開始為全國農(nóng)行ATM機(jī)安裝刷臉取款系統(tǒng).某農(nóng)行營業(yè)點(diǎn)為調(diào)查居民對刷臉取款知識的了解情況,制作了刷臉取款知識有獎?wù){(diào)查問卷,發(fā)放給2018年度該行的所有客戶,并從參與調(diào)查且年齡(單位:歲)在25,55內(nèi)的客戶中隨機(jī)抽取100名給予物質(zhì)獎勵,再從中選出一名客戶參加幸運(yùn)大抽獎.調(diào)查結(jié)果按年齡分成6組,制作成如下的頻數(shù)分布表和女客戶的年齡莖葉圖,其中abc=245.年齡/歲25,30)30,35)35,40)40,45)45,50)50,55頻數(shù)/人5abc1525女客戶的年齡莖葉圖幸運(yùn)大抽獎方案如下:客戶最多有兩次抽獎機(jī)會,每次抽獎的中獎率均為,第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束.若中獎,則通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎.規(guī)定:拋出的硬幣,若反面朝上,則客戶獲得5000元獎金,不進(jìn)行第二次抽獎;若正面朝上,客戶需進(jìn)行第二次抽獎,且在第二次抽獎中,如果中獎,則獲得獎金10000元,如果未中獎,則所獲得的獎金為0元.(1)求a,b,c的值,若分別從男、女客戶中隨機(jī)選取1人,求這2人的年齡均在40,45)內(nèi)的概率;(2)若參加幸運(yùn)大抽獎的客戶所獲獎金(單位:元)用X表示,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).【解析】(1)由頻數(shù)分布表知,a+b+c=100-45=55.因?yàn)閍bc=245,所以a=55=10,b=55=20,c=55=25,由莖葉圖可知年齡在25,30)內(nèi)的女客戶有2人,年齡在30,35)內(nèi)的女客戶有4人,年齡在35,40)內(nèi)的女客戶有8人,年齡在40,45)內(nèi)的女客戶有10人,年齡在45,50)內(nèi)的女客戶有6人,年齡在50,55內(nèi)的女客戶有10人,故年齡在40,45)內(nèi)的男客戶有15人,在100名客戶中,男客戶有60人,女客戶有40人,所以從男客戶中隨機(jī)選取1人,年齡恰在40,45)內(nèi)的概率P1=,從女客戶中隨機(jī)選取1人,年齡恰在40,45)內(nèi)的概率P2=,則分別從男、女客戶中隨機(jī)選取1人,這2人的年齡均在40,45)內(nèi)的概率P=P1P2=.(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,5000,10000,則P(X=0)=,P(X=5000)=,P(X=10000)=.X的分布列為X05 00010 000PE(X)=0+5000+10000=5200(元).(四) 回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則無意義根據(jù)回歸方程進(jìn)行的估計(jì)僅是一個預(yù)測值，而不是真實(shí)發(fā)生的值用最小二乘法求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，由于，的計(jì)算量較大，計(jì)算應(yīng)仔細(xì)小心【例4】【湖北省黃岡市2019屆模擬】某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的資料顯示，該基地周光照量（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量（千克）與使用某種液體肥料的質(zhì)量（千克）之間的關(guān)系如圖所示.（1）依據(jù)上圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（精確到0.01）.（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關(guān)系：周光照量（單位：小時）光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運(yùn)行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運(yùn)行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺？附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，.【分析】(1)根據(jù)公式得到相關(guān)系數(shù)的值，通過比較得到判斷；（2）分別求出安裝一臺，兩臺，三臺時的利潤均值，得到結(jié)果.【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，.，.相關(guān)系數(shù) .，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）記商家周總利潤為元，由條件可知至少需安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀.安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元.安裝2臺光照控制儀的情形：當(dāng)時，只有1臺光照控制儀運(yùn)行，此時周總利潤（元），當(dāng)時，2臺光照控制儀都運(yùn)行，此時周總利潤（元），故的分布列為200060000.20.8（元）.安裝3臺光照控制儀的情形：當(dāng)時，只有1臺光照控制儀運(yùn)行，此時周總利潤（元），當(dāng)時，有2臺光照控制儀運(yùn)行，此時周總利潤（元），當(dāng)時，3臺光照控制儀都運(yùn)行，周總利潤（元），故的分布列為1000500090000.20.70.1（元）.綜上可知，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝2臺光照控制儀.【點(diǎn)評】判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系的常用方法：(1)利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷；(2)利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷【小試牛刀】【江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】某商場營銷人員進(jìn)行某商品市場營銷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù)，該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表：反饋點(diǎn)數(shù)12345銷量（百件）/天0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量（千件）與返還點(diǎn)數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測若返回6個點(diǎn)時該商品當(dāng)天銷量；（2）若節(jié)日期間營銷部對商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購買該商品的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)營銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間（百分比）頻數(shù)206060302010（i）求這200位擬購買該商品的消費(fèi)者對返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值（同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替；估計(jì)值精確到0.1）；（ii）將對返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名，再從這6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)抽出的3人中“欲望膨脹型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，；.【解析】（1）易知， ，.則關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時，即返回6個點(diǎn)時該商品每天銷量約為2百件.（2）（i）根據(jù)題意，這200位擬購買該商品的消費(fèi)者對返回點(diǎn)數(shù)的心里預(yù)期值的平均值，及中位數(shù)的估計(jì)值分別為：，中位數(shù)的估計(jì)值為.（ii）抽取6名消費(fèi)者中“欲望緊縮型”消費(fèi)者人數(shù)為，“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)為.，故隨機(jī)變量的分布列為123. (五) 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)假設(shè)兩個分類變量x與y沒有關(guān)系；(2)計(jì)算出K2的觀測值，其中K2；(3)把K2的值與臨界值比較，作出合理的判斷【例5】【福建省莆田市2019屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測】為推進(jìn)“千村百鎮(zhèn)計(jì)劃”，年月某新能源公司開展“電動莆田綠色出行”活動，首批投放臺型新能源車到莆田多個村鎮(zhèn)，供當(dāng)?shù)卮迕衩赓M(fèi)試用三個月。試用到期后，為了解男女試用者對型新能源車性能的評價情況，該公司要求每位試用者填寫一份性能綜合評分表（滿分為分）。最后該公司共收回有效評分表份，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取份（其中男、女的評分表各份）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下莖葉圖：（1）求個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）已知個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，記與的最大值為。該公司規(guī)定樣本中試用者的“認(rèn)定類型”：評分不小于的為“滿意型”，評分小于的為“需改進(jìn)型”。請以個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布來估計(jì)收回的份評分表中，評分小于的份數(shù)；請根據(jù)個樣本數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表：根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有99的把握認(rèn)為“認(rèn)定類型”與性別有關(guān)？【分析】（1）取位于中間兩個數(shù)，計(jì)算平均數(shù)，即可。（2）結(jié)合莖葉圖，完善列聯(lián)表，計(jì)算卡方值，判斷，即可。【解析】（1）由莖葉圖知 （2）因?yàn)閙=81，a=80，所以M=81。由莖葉圖知，女性試用者評分不小于81的有15個，男性試用者評分不小于81的有5個，所以在40個樣本數(shù)據(jù)中，評分不小于81的頻率為 可以估計(jì)收回的600份評分表中，評分不小于81的份數(shù)為6000.5=300；根據(jù)題意得22列聯(lián)表：滿意型需改進(jìn)型合計(jì)女性15520男性51520合計(jì)202040由于， 查表得， 所以有99%的把握認(rèn)為“認(rèn)定類型”與性別有關(guān)?！军c(diǎn)評】(1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆(2)在實(shí)際問題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯(3)對判斷結(jié)果進(jìn)行描述時，注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤，應(yīng)是對假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他【小試牛刀】【重慶市第一中學(xué)校2019屆高三3月月考】黨的十九大報(bào)告中多次出現(xiàn)的“綠色”“低碳”“節(jié)約”等詞語，正在走入百姓生活，綠色出行的理念已深入人心，騎自行車或步行漸漸成為市民的一種出行習(xí)慣.某市環(huán)保機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽查統(tǒng)計(jì)了該市1800名成年市民某月騎車次數(shù)在各區(qū)間的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)如下表： 次數(shù)年齡0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）18歲至31歲812206014015032歲至44歲1228201406015045歲至59歲25508010022545060歲及以上2510101942聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段：44歲及以下為青年人，45歲至59歲為中年人，60歲及以上為老人.（1）若從被抽查的該月騎車次數(shù)在的老年人中隨機(jī)選出兩名幸運(yùn)者給予獎勵，求其中一名幸運(yùn)者該月騎車次數(shù)在之間，另一名幸運(yùn)者該月騎車次數(shù)在之間的概率；（2）若月騎車次數(shù)不少于30次者被稱為“騎行愛好者”，將上面提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，把答卷中的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并計(jì)算說明能否在犯錯誤不超過0.001的前提下認(rèn)為“騎行愛好者”與“青年人”有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828，其中【解析】（1）將6位老人分別記為和，則所有的抽法有：，共15種，其中滿足條件的抽法有：，共8種，故其中一名幸運(yùn)者該月騎車次數(shù)在之間，另一名幸運(yùn)者該月騎車次數(shù)在之間的概率為.（2）根據(jù)題意，得出如下列聯(lián)表騎行愛好者非騎行愛好者總計(jì)青年人700100800非青年人8002001000總故能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“騎行愛好者”與“青年人”有關(guān).四、遷移運(yùn)用1【遼寧省大連市2019屆高三下學(xué)期第一次測試】隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所示： 根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：（2）某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率【解析】（1）選取方案二更合適，理由如下：題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強(qiáng)烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù). 相關(guān)系數(shù)越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，因?yàn)楦鶕?jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，我們沒有理由認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系. (2) 因?yàn)樵谠摼W(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質(zhì)書的概率為， 購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書.概率為：.2【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬】中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）平均每天鍛煉的時間/分鐘總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)男女20110合計(jì)并通過計(jì)算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進(jìn)行體育鍛煉體會交流，（i）求這10人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的10人中，隨機(jī)選出2人作重點(diǎn)發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.臨界值表0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【解析】（1）鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到的觀測值為 .所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能判斷“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).（2）（i）“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生有50人，男、女生人數(shù)比為，故用分層抽樣方法從中抽出10人，男生有6人，女生有4人.（ii）的可能取值為0，1，2；，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.3【江西省南昌市2019屆高三第一次模擬】市面上有某品牌型和型兩種節(jié)能燈，假定型節(jié)能燈使用壽命都超過5000小時，經(jīng)銷商對型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：某商家因原店面需要重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支（同種型號）即可正常營業(yè).經(jīng)了解，型20瓦和型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝.已知型和型節(jié)能燈每支的價格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時.假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時間為3600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈管更換.（用頻率估計(jì)概率）（）根據(jù)頻率直方圖估算型節(jié)能燈的平均使用壽命；（）根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為，那么支燈管估計(jì)需要更換支.若該商家新店面全部安裝了型節(jié)能燈，試估計(jì)一年內(nèi)需更換的支數(shù)；（）若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈，請說明理由.【解析】（）由圖可知，各組中值依次為，對應(yīng)的頻率依次為，故型節(jié)能燈的平均使用壽命為小時.（）由圖可知，使用壽命不超過小時的頻率為，將頻率視為概率，每支燈管需要更換的概率為，故估計(jì)一年內(nèi)支型節(jié)能燈需更換的支數(shù)為.（）若選擇型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)元；若選擇型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)元.因?yàn)?，所以該商家?yīng)選擇A型節(jié)能燈.4【山東省濰坊市2019屆高三一?！磕乘N植基地引進(jìn)一種新水果品種，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該水果每株的產(chǎn)量（單位：）和與它“相近”的株數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系（兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過），并分別記錄了相近株數(shù)為0，1，2，3，4時每株產(chǎn)量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：0123415121198（1）求出該種水果每株的產(chǎn)量關(guān)于它“相近”株數(shù)的回歸方程；（2）該種植基地在如圖所示的長方形地塊的每個格點(diǎn)（橫縱直線的交點(diǎn)）處都種了一株該種水果，其中每個小正方形的面積都為，現(xiàn)從所種的該水果中隨機(jī)選取一株，試根據(jù)（1）中的回歸方程，預(yù)測它的產(chǎn)量的平均數(shù).附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，.【解析】（1）由題意得：，所以，所以.（2）由回歸方程得：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故平均數(shù)為：.所以一株產(chǎn)量的平均數(shù)為.5【貴州省貴陽市普通中學(xué)2019屆高三年級第一學(xué)期期末】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分市某調(diào)查機(jī)構(gòu)針對該市市場占有率最高的兩種網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)以下簡稱外賣A、外賣的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)查，從使用過這兩種外賣服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分?jǐn)?shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)人數(shù)種類外賣A50150100400300外賣B100100300200300表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿意若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評價較高現(xiàn)將分?jǐn)?shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”劃分成以下四個檔次：分?jǐn)?shù)服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)0123視頻率為概率，解決下列問題：從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率；在M市工作的小王決定從外賣A、外賣B這兩種網(wǎng)絡(luò)外賣中選擇一種長期使用，如果從這兩種外賣的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的期望角度看，他選擇哪種外賣更合適？試說明理由【解析】對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的概率，從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的人數(shù)為X，則，的數(shù)學(xué)期望從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人，其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率：，的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)的期望高于B，故選外賣A更合適6【陜西省漢中市重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購已經(jīng)逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西，在網(wǎng)上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，如果近的話當(dāng)天買當(dāng)天就能送到，或者第二天就能送到，所以網(wǎng)購是非常方便的購物方式.某公司組織統(tǒng)計(jì)了近五年來該公司網(wǎng)購的人數(shù)（單位：人）與時間（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下：123452427416479（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）.（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）附：相關(guān)系數(shù)公式 ，參考數(shù)據(jù).（2）某網(wǎng)購專營店為吸引顧客，特推出兩種促銷方案.方案一：每滿600元可減100元；方案二：金額超過600元可抽獎三次，每次中獎的概率都為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.兩位顧客都購買了1050元的產(chǎn)品，求至少有一名顧客選擇方案二比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；如果你打算購買1000元的產(chǎn)品，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.【解析】（1）由題知，則 .故與的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合.（2）選擇方案二比方案一更優(yōu)惠則需要至少中獎一次，設(shè)顧客沒有中獎為事件，則,故所求概率為.若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款元，則可能取值為700，800，900，1000.；.所以（元），因?yàn)椋赃x擇方案二更劃算.7【福建省廈門市2019屆高中畢業(yè)班第一次（3月)質(zhì)量檢查】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量 的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：（1）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中為大于0的常數(shù)）哪一個更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）.（2）對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（3）已知企業(yè)年利潤（單位：千萬元）與的關(guān)系為（其中），根據(jù)（2）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，【解析】（1）由散點(diǎn)圖知，選擇回歸類型更適合（2）對兩邊取對數(shù)，得，即由表中數(shù)據(jù)得：，年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的回歸方程為.（3）由（2）知，令，得，且當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減所以當(dāng)千萬元時，年利潤取得最大值，且最大值為億元.答：要使年利潤取最大值，預(yù)計(jì)下一年度投入2.7億元.8【福建省廈門市2019屆高中畢業(yè)班第一次（3月)質(zhì)量檢查】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在的為三等品，在的為二等品，在的為一等品，該產(chǎn)品的三、二、一等品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5,5.5（單位：元），以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量 數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬元）的回歸方程.（）建立關(guān)于的回歸方程；（）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤-營銷費(fèi)用，?。﹨⒖脊剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)：，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計(jì)分別為，【解析】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5,3.5,5.5由直方圖可得：一、二、三等品的頻率分別為0.4,0.45,0.15，所以，,所以：隨機(jī)變量的分布列為：1.53.55.5P0.150.450.4所以，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元.（2）（）由得，令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，則所以，即因?yàn)?，所以故所求的回歸方程為（）設(shè)年收益為萬元，則設(shè)，則當(dāng)時，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞減.所以，當(dāng)，即時，有最大值為768即該廠應(yīng)投入256萬元營銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬元.9【山東省淄博市2018-2019學(xué)年度3月高三模擬】春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設(shè)每天該禮盒的需求量在范圍內(nèi)等可能取值，該禮盒的進(jìn)貨量也在范圍內(nèi)取值（每天進(jìn)1次貨）.商店每銷售1盒禮盒可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1盒禮盒可獲利30元.設(shè)該禮盒每天的需求量為盒，進(jìn)貨量為盒，商店的日利潤為元.（1）求商店的日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式；（2）試計(jì)算進(jìn)貨量為多少時，商店日利潤的期望值最大？并求出日利潤期望值的最大值.【解析】 (1)由于禮盒的需求量為，進(jìn)貨量為，商店的日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式為：，即；(2)日利潤的分布列為：日利潤的數(shù)學(xué)期望為：，結(jié)合二次函數(shù)的知識，當(dāng)時，日利潤的數(shù)學(xué)期望最大，最大值為958.5元。10【湘贛十四校2019屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】隨著人們生活水平的提高，越來越多的人愿意花更高的價格購買手機(jī).某機(jī)構(gòu)為了解市民使用手機(jī)的價格情況，隨機(jī)選取了100人進(jìn)行調(diào)查，并將這100人使用的手機(jī)價格按照，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求圖中的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）；（3）利用分層抽樣從手機(jī)價格在和的人中抽取5人，并從這5人中抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取出的2人的手機(jī)價格在不同區(qū)間的概率.【解析】（1）由題意知：解得（2）平均數(shù)（元）前三組的頻率之和為前四組的頻率之和為故中位數(shù)落在第四組.設(shè)中位數(shù)為，則，解得（3）由圖知手機(jī)價格在和的人數(shù)之比為，故用分層抽樣抽取的人中，來自區(qū)間的有人，設(shè)為，來自的有人，設(shè)為則從這人中抽取出人的取法有，共種其中抽取出的人的手機(jī)價格在不同區(qū)間的有，共種故抽取出的人的手機(jī)價格在不同區(qū)間的概率11【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】在全國第五個“扶貧日”到來之際，某省開展“精準(zhǔn)脫貧，攜手同行”的主題活動，某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量.鎮(zhèn)有基層干部60人，鎮(zhèn)有基層干部60人，鎮(zhèn)有基層干部80人，每人走訪了不少貧困戶.按照分層抽樣，從三鎮(zhèn)共選40名基層干部，統(tǒng)計(jì)他們走訪貧困戶的數(shù)量，并將走訪數(shù)量分成5組，繪制成如下頻率分布直方圖.（1）求這40人中有多少人來自鎮(zhèn)，并估計(jì)三鎮(zhèn)基層干部平均每人走訪多少貧困戶.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過25戶視為工作出色，以頻率估計(jì)概率，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選取3人，記這3人中工作出色的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）因?yàn)槿?zhèn)分別有基層干部60人，60人，80人，共200人，利用分層抽樣的方法選40人，則鎮(zhèn)應(yīng)選取（人），所以這40人中有16人來自鎮(zhèn)因?yàn)?，所以三鎮(zhèn)基層干部平均每人走訪貧困戶28.5戶（2）由直方圖得，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選出1人，其工作出色的概率為顯然可取0，1，2，3，且，則， ， 所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望12【河北省石家莊市2019屆高中畢業(yè)班3月教學(xué)質(zhì)量檢測】某公司為了提高利潤，從2012年至2018年每年對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤增長的數(shù)據(jù)如下表：年份2012201320142015201620172018投資金額（萬元）年利潤增長（萬元）（1）請用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程；如果2019年該公司計(jì)劃對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為萬