《平面與空間直線》PPT課件.ppt

,一、平面及其方程,二、空間直線及其方程,三、小結(jié) 思考題,第七節(jié) 平面與空間直線,一、平面(plane)及其方程(equation),如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為,必有,( normal vector ),平面的點(diǎn)法式方程,平面的點(diǎn)法式方程,平面上的點(diǎn)都滿足上述方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點(diǎn),解,所求平面方程為,化簡(jiǎn)得,取法向量,化簡(jiǎn)得,所求平面方程為,解,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,平面的一般方程,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；,平面通過 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標(biāo)面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,設(shè)平面為,由平面過原點(diǎn)知,所求平面方程為,解,設(shè)平面為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,(intercept form),設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡(jiǎn)得,令,所求平面方程為,/,兩平面的相互關(guān)系,相交程度的反映指標(biāo),兩平面的夾角,定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,兩平面的夾角,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,例6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,兩平面相交，夾角,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合.,點(diǎn)到平面的距離(distance),分析,點(diǎn)到平面距離公式,二、空間直線(straight line)及其方程,方向向量( direction vector )的定義,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量,1.直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程,直線的參數(shù)方程,直線的對(duì)稱式方程(symmetric equation),方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,令,(parametric equation),解,所以交點(diǎn)為,所求直線方程,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,2.直線的一般式方程,例8 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對(duì)稱式方程,參數(shù)方程,3.空間兩直線的關(guān)系,其中,與 共面,與 為異面直線,為,為,兩直線的特殊位置關(guān)系判定：,/,直線,直線,例如，,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）,兩直線的夾角公式,解,先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令,代入平面方程得 ,交點(diǎn),取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,4.直線與平面的關(guān)系,（3） 與 相交于一點(diǎn),（1） 與 平行或 含于,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,(4)直線與平面的夾角,（1）投影直線可求嗎？,考慮,法向量與直線的夾角易求嗎？ 與所研究向量的關(guān)系是什么？,（2）,直線,投影直線,兩直線的夾角公式,直線與平面的夾角公式,解,為所求夾角,平面的方程,（熟記平面的幾種特殊位置的方程）,兩平面的關(guān)系,點(diǎn)到平面的距離公式,點(diǎn)法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意兩平面的位置特征）,三、