河南省鄭州第一中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)第二次聯(lián)合質(zhì)量測評試題（含解析）.docx

河南省鄭州一中2019屆高三第二次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1.已知集合，集合.則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接解一元二次不等式化簡集合A，再求A交B，則答案可求【詳解】解：Ax|x|x5又則AB故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出【詳解】解：z（1+i）21i，2zi1i，2zi（1i）1+i，zi，i，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題3.已知命題：方程表示雙曲線；命題：.命題是命題的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化命題，利用充分必要性定義結(jié)合不等式性質(zhì)判斷即可.【詳解】方程表示雙曲線等價(jià)于，即命題：，由推不出，充分性不具備，由能推出，必要性具備，故命題是命題的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用好雙曲線方程系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)4.已知等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式求得首項(xiàng)與公差，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由可得：，即，又，又是方程的兩根，又等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，d=2故數(shù)列的通項(xiàng)公式為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題5.函數(shù)的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及特殊值即可作出判斷【詳解】由易得f（x）+f（x）0，f（x）是奇函數(shù)；當(dāng)x=1時(shí)，排除A，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故可排除，故選：【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.6.已知，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn).若的最大值為3，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的最大距離為最小距離為，結(jié)合題意可得結(jié)果【詳解】點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的最大距離為最小距離為，又的最大值為3，故選：【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)7.如圖所示的程序框圖，則輸出結(jié)果為（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序的功能是求的值，即可求得S的值【詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序的功能是求S的值，由于S故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖和算法，模擬執(zhí)行程序框圖，正確得到程序的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】對x討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用分式函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，即可得到所求解集【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即為：，解得x2；當(dāng)時(shí)，即為：，解得x0綜上可得，原不等式的解集為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解不等式，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及分式函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題9.將曲線圍成的區(qū)域記為，曲線圍成的區(qū)域記為，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、，四邊形圍成的區(qū)域記為，在區(qū)域中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意分別計(jì)算出三個區(qū)域的面積，即可得到【詳解】由方程，得：或，曲線圍成的區(qū)域、，如圖：可知區(qū)域 的面積為；區(qū)域的面積為；區(qū)域的面積為；由幾何概率公式得：，故。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率問題，關(guān)鍵是求出對應(yīng)的面積，屬于基礎(chǔ)題10.第十四屆全國運(yùn)動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪報(bào)導(dǎo)。工作過程中的任務(wù)劃分為：“負(fù)重扛機(jī)”，“對象采訪”，“文稿編寫”“編制剪輯”等四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人參加，但兩名女記者不參加“負(fù)重扛機(jī)”，則不同的安排方案數(shù)共有（ ）A. 150B. 126C. 90D. 54【答案】B【解析】【分析】記兩名女記者為甲乙，三名男記者為丙、丁、戊，根據(jù)題意，按甲乙的分工情況不同分兩種情況討論，甲乙一起參加除了“負(fù)重扛機(jī)”的三項(xiàng)工作之一，甲乙不同時(shí)參加一項(xiàng)工作；分別由排列、組合公式計(jì)算其情況數(shù)目，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)的加法公式，計(jì)算可得答案【詳解】解：記兩名女記者為甲乙，三名男記者為丙、丁、戊根據(jù)題意，分情況討論，甲乙一起參加除了“負(fù)重扛機(jī)”的三項(xiàng)工作之一：C31A3318種；甲乙不同時(shí)參加一項(xiàng)工作，進(jìn)而又分為2種小情況；1丙、丁、戊三人中有兩人承擔(dān)同一份工作，有A32C32A22323236種；2甲或乙與丙、丁、戊三人中的一人承擔(dān)同一份工作：A32C31C21A2272種；由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有18+36+72126種，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的綜合運(yùn)用，注意要根據(jù)題意，進(jìn)而按一定順序分情況討論11.若關(guān)于的方程只有一個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的值（ ）A. 等于-1B. 等于1C. 等于2D. 不唯一【答案】A【解析】【分析】對a分類討論時(shí)不適合題意，當(dāng)時(shí)，令，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況即可.【詳解】令，則關(guān)于x的方程只有一個實(shí)數(shù)解，等價(jià)于關(guān)于t的方程只有一個實(shí)數(shù)解，若，則由及為增函數(shù)，得： ，方程無解故。令，則當(dāng)時(shí)，有最小值 ，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)，的圖象有且只有一個交點(diǎn)，從而滿足題意，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)，的圖象有兩個交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)，的圖象沒有交點(diǎn)，不合題意，所以，為所求。故選：A.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解12.已知三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，該三棱柱的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同，若球的表面積為，則三棱柱的體積為（ ）A. B. 12C. D. 18【答案】A【解析】【分析】由題意可知該三棱柱的底面是等邊三角形，設(shè)三棱柱底面邊長為a，高為h，截面圓的半徑為r，球半徑為R，可得，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿庵奈鍌€面所在的平面截球面所得的圓的大小相同，所以該三棱柱的底面是等邊三角形，設(shè)三棱柱底面邊長為a，高為h，截面圓的半徑為r，球半徑為R，球O的面積為 ， ，解得，底面和側(cè)面截得的圓的大小相同，又，由得，則該三棱柱的體積為。故選：A.【點(diǎn)睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2a2b2c2求解第卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填寫在答題紙上。13.已知實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域直線在y軸上的截距最值即可【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，令 ，則，作出直線l：，平移直線l，由圖可得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)取得最小值，由，可得，即C， 的最小值是。故答案為：.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14.已知，則在方向上的投影為_【答案】【解析】【分析】對兩邊平方得到，代入投影公式得到結(jié)果.【詳解】，在方向上的投影為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查向量的模，向量的投影的概念，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題15.將的圖像向右平移個單位后（），得到的圖像，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】將圖像向右平移個單位后，得到圖像，即，從而得到，即可得到結(jié)果.【詳解】將圖像向右平移個單位后，得到圖像因?yàn)?，所以，則，則 ，又因?yàn)?，所以?dāng)k=1時(shí)，取得最小值 。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像變換，考查了函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.16.已知二進(jìn)制和十進(jìn)制可以相互轉(zhuǎn)化，例如，則十進(jìn)制數(shù)89轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)為.將對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)中0的個數(shù)，記為（例如：，則，），記，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知所有的數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后，總位數(shù)都為2019，且最高位都為1，而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1，從而有在這個數(shù)中，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有k個0的數(shù)共有個.【詳解】由題意得共個數(shù)中所有的數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后，總位數(shù)都為2019，且最高位都為1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1設(shè)其中的數(shù)x，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有k個0（）在這個數(shù)中，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有k個0的數(shù)共有個由二項(xiàng)式定理，。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.已知函數(shù)，的內(nèi)角、的對邊分別為、.（1）求的取值范圍；（2）若，且，的面積為2，求的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】(1)由題易得，利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得的取值范圍；(2)利用，可得，結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）.由題意，則，.的取值范圍為.（2）由題意知：，.又為銳角，.由余弦定理及三角形的面積得，解得.方法二：且，為等腰直角三角形，所以.【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18.如圖所示，在多面體中，矩形所在平面與直角梯形所在平面垂直，為的中點(diǎn)，且，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】(1)要證平面，即證，構(gòu)造四邊形，證明其為平行四邊形即可；(2) 以為原點(diǎn)，分別以、為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié).是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).，.又，.，.四邊形是平行四邊形，.又平面，平面.平面.（2）平面平面，平面平面，平面.，.，.如圖，以為原點(diǎn)，分別以、為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，.又，.直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查空間向量坐標(biāo)法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)19.某校要通過選拔賽選取一名同學(xué)參加市級乒乓球單打比賽，選拔賽采取淘汰制，敗者直接出局?，F(xiàn)有兩種賽制方案：三局兩勝制和五局三勝制。問兩選手對決時(shí)，選擇何種賽制更有利于選拔出實(shí)力最強(qiáng)的選手，并說明理由。（設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立，各選手水平互不相同。）【答案】五局三勝更有利于選拔出實(shí)力最強(qiáng)的選手?！窘馕觥俊痉治觥糠謩e求出三局兩勝制甲勝的概率和五局三勝制甲勝的概率，由此能得到采用“五局三勝制”對甲有利【詳解】甲乙兩人對決，若甲更強(qiáng)，則其勝率。采用三局兩勝制時(shí)，若甲最終獲勝，其勝局情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而這三種結(jié)局互不相容，于是由獨(dú)立性得甲最終獲勝的概率為：.采用五局三勝制，若甲最終獲勝，至少需比賽3局，且最后一局必須是甲勝，而前面甲需勝二局，由獨(dú)立性得五局三勝制下甲最終獲勝的概率為：.而 .因?yàn)椋?，即五局三勝的條件下甲最終獲勝的可能更大。所以五局三勝制更能選拔出最強(qiáng)的選手?！军c(diǎn)睛】本題考查概率的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用20.已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.（1）證明：為定值；（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，過點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，滿足.問：直線是否恒過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）直線過定點(diǎn) .【解析】【分析】(1) 求導(dǎo)，求得直線PA的方程，將P代入直線方程，求得，同理可知則，是方程x22ax40的兩個根，則由韋達(dá)定理求得的值，即可求證為定值； (2) 設(shè)，.利用點(diǎn)差法可得，同理可得，結(jié)合垂直關(guān)系可得，又因?yàn)椋瑑墒阶鞑?，可得，從而可得結(jié)果.【詳解】解：（1）法1：拋物線：的準(zhǔn)線為：，故可設(shè)點(diǎn)，由，得，所以.所以直線的斜率為.因?yàn)辄c(diǎn)和在拋物線上，所以，.所以直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即.同理，.所以，是方程的兩個根，所以.又，所以為定值.法2：設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為，由，消去得，由，化簡得，所以.由，得，所以.所以直線的斜率為，直線的斜率為.所以，即.又，所以為定值.（2）存在，由（1）知.不妨設(shè)，則，即，.設(shè)，.則，兩式作差，可得，所以直線的斜率為，同理可得，因?yàn)?，所以，整理得，又因?yàn)?，兩式作差，可得，從而可得直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得，將代入上式得，整理得.所以直線過定點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的常見解法（1）假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；（2）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意21.設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a，令h（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）代入a的值，問題轉(zhuǎn)化為k，令F（x）（x2），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋睿?令，則由題意可知：直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點(diǎn).，令則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，在上遞增，當(dāng)，；又當(dāng)，.，又在遞減.當(dāng)，結(jié)合，圖像易得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，.即：，.令，則.令.則.在上單調(diào)遞增.函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即：.時(shí)，.即.當(dāng)時(shí)，的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道綜合題（二）選考題：共10分。