成都理工量子力學(xué)羅培燕ppt第二章波函數(shù)與薛定諤方程.ppt

量子力學(xué)導(dǎo)論 Introduction to Quantum mechanics,成都理工大學(xué) 2013年9月10月,課程內(nèi)容,第一章 緒論 第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 第三章 基本原理 第四章 表象理論 第五章 中心力場(chǎng),第二章 波函數(shù)和薛定諤方程,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 2.2 薛定諤方程 2.3 定態(tài)薛定諤方程的求解,薛定諤方程的特解：,薛定諤方程的通解：,Cn的確定（利用初始狀態(tài)波函數(shù)）：,求定態(tài)薛定諤方程：,得出：,分離變量法：, 2.3定態(tài)薛定諤方程的求解,一維定態(tài)問題的求解 1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱 2、一維有限深勢(shì)阱 3、勢(shì)壘貫穿,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,a 一維無(wú)限深勢(shì)阱的求解,求解 S 方程 分四步： 列出各勢(shì)域的一維定態(tài)S方程 解方程 使用波函數(shù)邊界條件定解 定歸一化系數(shù),1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,列出各勢(shì)域的一維定態(tài)S方程,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,解方程、使用波函數(shù)邊界條件定解,當(dāng)x -，有限，C2=0。,從物理考慮，粒子不能透過無(wú)窮高的勢(shì)壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數(shù)為零，特別是(-a) = (a) = 0,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,使用波函數(shù)邊界條件定解,波函數(shù)連續(xù),1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,定歸一化系數(shù),1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,定歸一化系數(shù),1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量與定態(tài)波函數(shù)為：,對(duì)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無(wú)限遠(yuǎn)處， = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí)，組成分立譜，基態(tài)（n=1），激發(fā)態(tài)（n1)。,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,b 物理意義 能量離散,基態(tài)能量不為0,相鄰能級(jí)間隔,波函數(shù),波函數(shù)交替為偶、奇函數(shù)，隨能量升高，與x軸交點(diǎn)越來(lái)越多,與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒 有意義的。,n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。 波函數(shù)取實(shí)數(shù)。,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,c 定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì) 定態(tài)波函數(shù)的正交歸一,定態(tài)波函數(shù)的完備性,任一函數(shù)(x)可用定態(tài)波函數(shù)的線性組合表示出來(lái)：,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,d 通解 無(wú)限深勢(shì)阱中，薛定諤方程的特解為：,無(wú)限深勢(shì)阱中，薛定諤方程的通解為：,1、一維無(wú)限深平底勢(shì)阱,d 通解 系數(shù)Cn,由初始波函數(shù),2、一維有限深勢(shì)阱,-a a,三個(gè)區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：,II,V0 0 情況,2、一維有限深勢(shì)阱,A 方程求解,V0 E0情況,當(dāng)x時(shí)，波函數(shù)有限。A=0,C=0,2、一維有限深勢(shì)阱,A 方程求解,偶宇稱態(tài),2、一維有限深勢(shì)阱,A 方程求解,奇宇稱態(tài),2、一維有限深勢(shì)阱,B 物理意義 能量 （能級(jí)） 能級(jí)為有限個(gè)分立值，至少有一個(gè)，能級(jí)總數(shù)為 波函數(shù) 無(wú)論能量大小，粒子在全空間都有出現(xiàn)。,3、勢(shì)壘貫穿,勢(shì)壘穿透是粒子入射被勢(shì)壘散射的 一維運(yùn)動(dòng)問題。典型勢(shì)壘是方勢(shì)壘， 其定義如下：,現(xiàn)在的問題是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。,3、勢(shì)壘貫穿,A 方程求解,三個(gè)區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：,0 V0 情況,3、勢(shì)壘貫穿,A 方程求解,0E V0 情況,式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波。,利用波函數(shù)連續(xù)、波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)確定各參數(shù)。,3、勢(shì)壘貫穿,B 反射系數(shù)與投射系數(shù),為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。,透射系數(shù)：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數(shù) JD/JA,反射系數(shù)：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù) JR/JA,其物理意義是：描述貫穿到 x a 的 III區(qū)中的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂 直 x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子（在 x 0 的 I 區(qū)）在 單位時(shí)間內(nèi)流過垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比。,3、勢(shì)壘貫穿,B 反射系數(shù)與投射系數(shù),說(shuō)明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到 xa 的III區(qū)，另一部分則被勢(shì)壘反射回來(lái)。,入射波+反射波,透射波,隧道效應(yīng),粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象.它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比