用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.ppt

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：,1寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值,例,從而得特征值,2求特征向量,3將特征向量正交化,得正交向量組,4將正交向量組單位化，得正交矩陣,于是所求正交變換為,五、小結(jié),1. 實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中 經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一 一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩 陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng) 同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法,6.2 正定二次型與正定矩陣,一、慣性定理,一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo) 準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的， 但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的， 項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩,下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來(lái)研究 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì),二、正(負(fù))定二次型的概念,為正定二次型,為負(fù)定二次型,例如,為不定型二次型,三、正(負(fù))定二次型的判別,推論 對(duì)稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正,定理3,正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)：,這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理,定理4 對(duì)稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的各階順序主子式為正，即,定義2,推論 對(duì)稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是：奇 數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即,解,二次型的矩陣為,用特征值判別法.,故此二次型為正定二次型.,即知 是正定矩陣，,解,它的順序主子式,故上述二次型是正定的.,解,例5 若二次型,正定，求參數(shù) t 應(yīng)滿足的條件.,2. 正定二次型（正定矩陣）的判別方法：,(1)定義法；,(3)順序主子式判別法；,(2)特征值判別法.,四、小結(jié),1. 正定二次型的概念，正定二次型與正定 矩陣的區(qū)別與聯(lián)系,3. 根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到 負(fù)定二次型（負(fù)定矩陣）相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大 家自己推導(dǎo),1、解矩陣方程,2、行列式的計(jì)算,已知, 且, 求矩陣, 故,可逆,3方程組求解：何時(shí)有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多解,線性方程組為, 問(wèn),各取何值時(shí), 線性方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解？ 在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。,2，,方程組有唯一解;,2，,1時(shí)，,方程組無(wú)解;,2，,1時(shí)，,方程組有無(wú)窮多解,P69 例3 兩種解法,4、求向量組的最大無(wú)關(guān)組，其余向量用最大無(wú)關(guān)組表示,P90 例1 p93 例4,5、證向量組線性無(wú)關(guān)（相關(guān)）,設(shè)向量組,線性無(wú)關(guān), 而向量組,線性相關(guān),線性無(wú)關(guān). 證明: 向量組,線性無(wú)關(guān)。,6、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,設(shè), 則,=_2_,，則有（ B ）。,時(shí)，必有秩,（B）當(dāng),時(shí)，必有秩,（C）當(dāng),時(shí)，必有秩,（D） 當(dāng),時(shí)，必有秩,（A）當(dāng),.設(shè),其中,則方程,的解為_(kāi),設(shè),為,矩陣,為,矩陣, 則（ ）。,時(shí)