函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)(6).ppt

第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),一 、 連續(xù)函數(shù)的概念,設(shè) 在U(x0)內(nèi)有定義,稱 x=x-x0 為自變量在 x0 處的改變量(或增量);稱y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)為函數(shù)值的改變量(或增量).,定義1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義,若 或 或 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù).,*亦可用 語言表述.,定義2 (左連續(xù)和右連續(xù)的概念),若 ,則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處左連續(xù).,若 ,則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處右連續(xù).,所以定義可簡(jiǎn)化為:,解：因?yàn)?所以,故函數(shù)在點(diǎn) 處的連續(xù).,解 因?yàn)?要使 在 處連續(xù)，則必須,解得 .,定義3 若 在 內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù),則稱 在 內(nèi)連續(xù); 若區(qū)間包括端點(diǎn), 在左端點(diǎn) 處是右連續(xù),右端點(diǎn) 處是左連續(xù),則稱 在閉區(qū)間 上是連續(xù)函數(shù).,例如 在 R 上是連續(xù)函數(shù).,例3 證明 在 R 上是連續(xù)函數(shù).,二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類,定義4 設(shè)函數(shù) 在 或 內(nèi)有定義.若 不是 的連續(xù)點(diǎn),則稱 是 的間斷點(diǎn).,存在,但是,若 是 的間斷點(diǎn),則可能出現(xiàn)的情況有:,（1） 在 處有定義,不存在,稱 為可去間斷點(diǎn).,稱 為跳躍間斷點(diǎn),稱 為第二類間斷點(diǎn),統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn),（2） 在 處沒定義,存在,為可去間斷點(diǎn).,不存在, 討論同(1).,例4 在 處有定義，且,，但 ，,所以 為函數(shù) 的第一類(可去)間斷點(diǎn).,例5 在 處有定義，但,不存在，所以 為 第一類間斷點(diǎn).,例6 在 處無定義，所以,為函數(shù) 的間斷點(diǎn).,因,故 為 的第二類間斷點(diǎn)(也稱無窮間斷點(diǎn)).,例7 Dirchlet 函數(shù)處處不連續(xù), 每點(diǎn)是第二類間斷點(diǎn).,例8 求 的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.,解：由 ，,得 ( ）,由于,所以 為 的第一類間斷點(diǎn)； ( )為 的第二類間斷點(diǎn).,例9 討論 的連續(xù)性,若有間斷點(diǎn) 判斷其類型.,解,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,所以,在 處，,所以 為 的第一類間斷點(diǎn).,同理 也是 的第一類間斷點(diǎn).,定理1 若函數(shù)f 在a,b上有定義且單調(diào)，則 f 在a, b內(nèi)若有間斷點(diǎn)，只能是第一類間斷點(diǎn)。,定理2 若函數(shù) f 在點(diǎn)x0處連續(xù)，則 f 在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有界。,定理3 若 在點(diǎn) 連續(xù)且 ， 則存在 的某一 ，當(dāng) 時(shí)