數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件--建立數(shù)學(xué)模型.ppt

第一章 建立數(shù)學(xué)模型,1.1 從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 1.3 數(shù)學(xué)建模示例 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 , 實(shí)物模型,水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) , 物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 , 符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分 進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,1.1 從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型,我們常見的模型,MCM PROBLEM B: Criminology In 1981 Peter Sutcliffe was convicted of thirteen murders and subjecting a number of other people to vicious attacks. One of the methods used to narrow the search for Mr. Sutcliffe was to find a “center of mass” of the locations of the attacks. In the end, the suspect happened to live in the same town predicted by this technique. Since that time, a number of more sophisticated techniques have been developed to determine the “geographical profile” of a suspected serial criminal based on the locations of the crimes. Your team has been asked by a local police agency to develop a method to aid in their investigations of serial criminals. The approach that you develop should make use of at least two different schemes to generate a geographical profile.,You should develop a technique to combine the results of the different schemes and generate a useful prediction for law enforcement officers. The prediction should provide some kind of estimate or guidance about possible locations of the next crime based on the time and locations of the past crime scenes. If you make use of any other evidence in your estimate, you must provide specific details about how you incorporate the extra information. Your method should also provide some kind of estimate about how reliable the estimate will be in a given situation, including appropriate warnings.,你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)， 從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?,x =20 y =5,航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；,回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。,數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling),對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對象，為了一個(gè)特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)， 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,建立數(shù)學(xué)模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步， 越來越受到人們的重視。,在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；,在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；,數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。,數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用,分析與設(shè)計(jì),預(yù)報(bào)與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學(xué)建模,計(jì)算機(jī)技術(shù),知識(shí)經(jīng)濟(jì),1.3 數(shù)學(xué)建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個(gè)距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f(),B,D 兩腳與地面距離之和 g(),兩個(gè)距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,f() , g()是連續(xù)函數(shù),對任意, f(), g()至少一個(gè)為0,數(shù)學(xué)問題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長方形的椅子,和 f(), g()的確定,1.3.2 商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 編程上機(jī),圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn),允許決策 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11給出安全渡河方案,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,1.3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計(jì)算公式,x(t) 時(shí)刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預(yù)測,不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預(yù)測較長期的人口增長過程,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,專家估計(jì),阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,實(shí)際為281.4 (百萬),模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),數(shù)學(xué)建模的基本方法,機(jī)理分析,測試分析,根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識(shí)， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律,將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。,二者結(jié)合,用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測試分析確定模型參數(shù),1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模 型 準(zhǔn) 備,了解實(shí)際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個(gè) 比較清晰 的問題,模 型 假 設(shè),針對問題特點(diǎn)和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗(yàn),與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)建模的全過程,現(xiàn)實(shí)對象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實(shí)對象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗(yàn)證,根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答,將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對象,用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得到的解答,實(shí)踐,現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)世界,1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進(jìn)性,模型的強(qiáng)健性,模型的