2018版高中數(shù)學第三章空間向量及其運算3.1.2空間向量的數(shù)乘運算學案新人教A版.doc

3.1.2空間向量的數(shù)乘運算學習目標1.掌握空間向量數(shù)乘運算的定義及數(shù)乘運算的運算律.2.了解平行(共線)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應用其證明空間向量的共線、共面問題.知識點一空間向量的數(shù)乘運算思考實數(shù)和空間向量a的乘積a的意義是什么？向量的數(shù)乘運算滿足哪些運算律？答案0時，a和a方向相同；0時，a與向量a方向相同；當0時，a與向量a方向相反；當0時，a0.(2)空間向量數(shù)乘運算滿足以下運算律(a)()a；(ab)ab；(12)a1a2a(拓展).知識點二共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關于向量共線的知識，給出空間中共線向量的定義.答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.思考2空間中任何兩個向量都是共面向量，這個結論是否正確？答案正確.根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進行平移，空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為共面向量.梳理(1)平行(共線)向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系：互相平行或重合充要條件對空間任意兩個向量a，b(b0)，存在實數(shù)，使ab點P在直線l上的充要條件存在實數(shù)t滿足等式ta，在直線l上取向量a，則t向量a為直線l的方向向量(2)共面向量定義平行于同一個平面的向量三個向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序實數(shù)對(x，y)，使pxayb點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在有序實數(shù)對(x，y)，使xy對空間任一點O，有xy類型一向量共線問題例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F(xiàn)在對角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點共線.證明設a，b，c.2，.b，()()abc.abc.又bcaabc，.E，F(xiàn)，B三點共線.反思與感悟判定向量a，b(b0)共線，只需利用已知條件找到x，使axb即可.證明點共線，只需證明對應的向量共線.跟蹤訓練1如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，請判斷向量與是否共線？解設AC中點為G，連接EG，F(xiàn)G， 又，共面，()，與 共線.類型二空間向量的數(shù)乘運算及應用例2如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上，且”，其他條件不變，如何表示？解acb.反思與感悟利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量.(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質.跟蹤訓練2如圖，在空間四邊形OABC中，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG2GN，如圖所示，記a，b，c，試用向量a，b，c表示向量.解()aac(bc)abc.類型三空間向量共面問題例3如圖所示，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，并且使k，求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.證明因為k，所以k，k，k，k.由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以. 因此kkkk()k().由向量共面的充要條件知E，F(xiàn)，G，H四點共面.反思與感悟(1)利用四點共面求參數(shù)向量共面的充要條件的實質是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.(2)證明空間向量共面或四點共面的方法向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若pxayb，則向量p，a，b共面.若存在有序實數(shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有xyz，且xyz1成立，則P，A，B，C四點共面.用平面：尋找一個平面，設法證明這些向量與該平面平行.跟蹤訓練3(1)已知A，B，C三點不共線，平面ABC外一點M，滿足，判斷，三個向量是否共面.解，三個向量共面.因為，所以3，化簡，得()()()0，即0，即，故，共面.(2)如圖，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個點，且k，k，k，m，m.求證：A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面； ；k.證明m，A、B、C、D四點共面.m，E、F、G、H四點共面.mm()k()km()kkmk(m)k，.kkk()k.1.對于空間的任意三個向量a，b，2ab，它們一定是()A.共面向量 B.共線向量C.不共面向量 D.既不共線也不共面的向量答案A解析2ab2a(1)b，2ab與a，b共面.2.已知空間四邊形ABCD，點E、F分別是AB與AD邊上的點，M、N分別是BC與CD邊上的點，若，則向量與滿足的關系為()A. B. C.| D.|答案B解析，即.同理.因為，所以，即.又與不一定相等，故|不一定等于|.3.設e1，e2是平面內(nèi)不共線的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三點共線，則k_.答案8解析e14e2，2e1ke2，又A、B、D三點共線，由共線向量定理得，.k8.4.以下命題：兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量；共線的兩個向量互相平行；共面的三個向量是指在同一平面內(nèi)的三個向量；共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量.其中正確命題的序號是_.答案解析根據(jù)共面與共線向量的定義判定，易知正確.5.已知A，B，M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，判斷在下列各條件下的點P與點A，B，M是否共面.(1)3；(2)4.解方法一(1)原式可變形為()().由共面向量定理的推論知，點P與點A，B，M共面.(2)原式為22.由共面向量定理的推論，可知點P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是xy.而2，點P與點A，B，M不共面.方法二(1)原式可變形為3.3(1)(1)1，點B與點P，A，M共面，即點P與點A，B，M共面.(2)原式為4.4(1)(1)21，點P與點A，B，M不共面.1.四點P，A，B，C共面對空間任意一點O，都有xyz，且xyz1.2.xy稱為空間平面ABC的向量表達式.由此可知空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量惟一確定.3.證明(或判斷)三點A、B、C共線時，只需證明存在實數(shù)，使(或)即可，也可用“對空間任意一點O，有t(1t)”來證明三點A、B、C共線.4.空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序實數(shù)對(x，y)，使xy，滿足這個關系式的點都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點都滿足這個關系式.這個充要條件常用于證明四點共面.40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.給出下列幾個命題：向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面；零向量的方向是任意的；若ab，則存在惟一的實數(shù)，使ab.其中真命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析假命題.三個向量共面時，它們所在的直線在平面內(nèi)，或與平面平行；真命題.這是關于零向量的方向的規(guī)定；假命題.當b0時，則有無數(shù)多個使之成立.2.設點M是ABC的重心，記a，b，c，且abc0，則等于()A. B. C. D.答案D解析設D是BC邊的中點，M是ABC的重心，.而()(cb)，(cb).3.設空間四點O，A，B，P滿足mn，其中mn1，則()A.點P一定在直線AB上B.點P一定不在直線AB上C.點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D.與的方向一定相同答案A解析已知mn1，則m1n，(1n)nnnn()n.因為0，所以和共線，即點A，P，B共線.故選A.4.對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有623，則()A.O，A，B，C四點共面B.P，A，B，C四點共面C.O，P，B，C四點共面D.O，P，A，B，C五點共面答案B解析由623，得2()3()，即23，共面，又它們有公共點P，P，A，B，C四點共面.故選B.5.已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O，有x，則x的值為()A.1 B.0 C.3 D.答案D解析x，且M，A，B，C四點共面，x1，x.故選D.6.已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D答案A解析a2b，2a4b2(a2b)，又它們有公共點B，A、B、D三點共線.7. 已知A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P、A、B、C四點()A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.無法判斷是否共面答案B解析()()，.由共面的充要條件知P，A，B，C四點共面.二、填空題8.已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任一點，若由確定的一點P與A，B，C三點共面，則_.答案解析由P，A，B，C四點共面可知：1，故.9.在三棱錐ABCD中，若BCD是正三角形，E為其中心，則化簡的結果為_.答案0解析延長DE交邊BC于點F，則，故0.10.已知O是空間任一點，A、B、C、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且2x3y4z，則2x3y4z_.答案1解析(2x)(3y)(4z)，由A、B、C、D四點共面，則有2x3y4z1，即2x3y4z1.三、解答題11.已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外一點O，當2時，點P是否與A、B、C共面？并給出證明.解點P與A、B、C三點不共面，證明如下：若點P與A、B、C共面，則存在惟一的實數(shù)對(x，y)，使xy，于是對平面ABC外一點O，有x()y()，(1xy)xy，比較原式得此方程組無解，這樣的x，y不存在，所以A、B、C、P四點不共面.12.已知點E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)證明：BD平面EFGH.證明如圖，連接EG，BG.(1)( )，由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)方法一，EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，BD平面EFGH.方法二2222(