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高一同步輔導材料（第16講）主講：張有光（江蘇省常州高級中學 特級教師）一、本講內(nèi)容：第五章“曲線運動” 六 勻速圓周運動的實例分析二、學習指導1勻速圓周運動的實例分析在實例分析前，應(yīng)明確：向心力是按效果命名的力，任何一個力或幾個力的合力只要它的作用效果是使物體產(chǎn)生向心加速度，它就是物體所受的向心力。教材選擇了火車轉(zhuǎn)彎和汽車過拱橋的例子是十分有意義的。但教材只作了一般的分析，在這里我們將作一些略微詳細的討論。（1）火車轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌無高度差倘若火車轉(zhuǎn)彎內(nèi)外軌無高度差，火車行駛到此處時，外軌的內(nèi)側(cè)與火車外輪的輪緣相互擠壓，使火車受到外軌內(nèi)側(cè)的側(cè)壓力的作用（如教材P96頁圖5-33），外軌作用在火車輪緣上的力是使火車轉(zhuǎn)彎的向心力。如果火車轉(zhuǎn)彎時的速率是，轉(zhuǎn)彎處弧形軌道的半徑是，火車的質(zhì)量是，那么。火車的質(zhì)量和速率都相當大，也相當大。根據(jù)牛頓第三定律，外側(cè)車輪的輪緣向外擠壓外軌的力跟大小相等、方向相反。外軌在這個力的擠壓很容易損壞。轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌若使轉(zhuǎn)彎處的外軌高于內(nèi)軌，火車行駛到這樣的轉(zhuǎn)彎處，其受力情況如教材P96頁圖5-34所示，支持力與重力的合力指向圓心，成為火車轉(zhuǎn)彎的向心力。設(shè)火車的質(zhì)量為，轉(zhuǎn)彎時的速度為，軌道轉(zhuǎn)彎的曲率半徑為，軌道平面與水平面的夾角為，如圖1所示，即有 此時重力與支持力的合力剛好等于火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力，外軌與輪緣不相互擠壓。在修筑鐵路的時候，鐵路彎道的半徑是根據(jù)地形條件決定的。彎道處內(nèi)外軌高度差應(yīng)該如何選擇，不僅與半徑有關(guān)，并且取決于火車在彎道上的行駛速度。當路面向圓心一側(cè)傾斜的角度不太大時，由于，其中為軌距，式變?yōu)?，所以可用來計算值的大小。對于已?jīng)修筑好的鐵路，轉(zhuǎn)彎處的和已經(jīng)確定，如果火車速度超過規(guī)定的速度，重力和支持力的合力將小于需要的向心力，所差的仍需由外軌對輪緣的彈力來彌補；如果火車的速率小于規(guī)定的速度，重力和支持力的合力將大于需要的向心力，超出的則由內(nèi)軌對內(nèi)側(cè)車輪輪緣的彈力來平衡。（2）汽車過拱橋在教材P97頁上，已分析得出汽車過拱橋時，橋?qū)嚨闹С至?，由此式可以看出汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且是隨著汽車速度的增大而減?。划攭毫榱銜r，即，這個速度是一個臨界速度。當汽車速度時，橋頂所受的壓力將比汽車靜止在橋頂時要小，隨著汽車行駛速度的增大，橋頂所受的壓力將減得更小，而當速度時，橋頂所受的壓力將等于零。如果速度，則因為沒有足夠的向心力，汽車就將飛離橋頂不再沿著拱橋做圓周運動。（3）利用向心力公式解題的一般步驟根據(jù)題意選好做圓周運動的質(zhì)點或物體為研究對象。對研究對象進行受力分析，找出作用在研究對象上的所有外力，畫出受力圖。求出合力。物體做勻速圓周運動時，它的合力方向必定沿著半徑方向指向圓心，這個力就是向心力。根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列運動方程，如或統(tǒng)一單位，求解作答。2離心現(xiàn)象及其應(yīng)用教材首先通過實例分析，闡明了什么是離心運動以及產(chǎn)生離心運動的原因。然后介紹了利用離心運動的機械以及如何防止有害的離心運動。我們要明確以下三點：（1）離心運動發(fā)生的條件是：當外界提供的向心力突然消失或小于做勻速圓周運動的物體所需要的向心力時，才會發(fā)生離心運動。（2）離心運動并非沿半徑方向飛出的運動，而是半徑越來越大的運動（此時），或沿切線方向飛出的運動（此時）。（3）離心現(xiàn)象的本質(zhì)是物體慣性的表現(xiàn)。3本章總復(fù)習本章講解了物體做曲線運動的條件以及運動的合成和分解，并討論了兩種曲線運動的規(guī)律：平拋運動和勻速圓周運動。同學們可以根據(jù)教材P100所列的八個問題，進行小結(jié)。但還應(yīng)該注意以下幾點：（1）研究曲線運動的基本方法是運動的合成和分析。而它是以運動的獨立性原理為出發(fā)點的。即為一個質(zhì)點同時參與幾個運動，則各個運動都可以看作是獨立進行的，它們互不影響，同時開始、同時結(jié)束。這個法則叫做運動的獨立性原理。（2）應(yīng)用向心力公式解題時應(yīng)理解是重力、彈力、摩擦力或這些力的合力，只要它們的方向是沿著半徑指向圓心的，都可以提供物體做勻速圓周運動時所需要的向心力。不要以為向心力是這幾個力以外的另一個單獨作用的力。不是質(zhì)點做勻速圓周運動才產(chǎn)生向心力，而是由于向心力存在才迫使質(zhì)點不斷改變其速度方向而做圓周運動。也就是說，質(zhì)點做圓周運動時，任一時刻都有沿切線方向飛走的趨勢，而向心力的作用正是使質(zhì)點沿圓周軌道運動。如果某一時刻失去向心力，質(zhì)點從這時刻起則沿切線方向飛走。三、典型例題例1的卡車以，通過圓弧半徑為的凹橋最低點時，受到重力和橋?qū)λ闹С至?，它們的合力就是使卡車產(chǎn)生向心加速度的向心力（如圖2）。即 將 代入上式得根據(jù)牛頓第三定律，卡車對橋的壓力是。例2某彎路的中心線是處在水平方向上。而中心線的圓弧半徑為（圖3），路的基面與水平面間的夾角為，如圖4。某車以一定速率通過這彎路時，如果速率大于某一值，車就會往外滑出。設(shè)車胎與路面間的動摩擦因數(shù)為，試推導的表達式。解選車為研究對象，車在斜路基面上轉(zhuǎn)彎行駛時，按題意如果速度等于時，車恰好不會往外滑，此時車共受三個力：重力，斜面對車的支持力，車胎與路基的摩擦力，這三個力的合力就是車作圓周運動的向心力。按圖5那樣沿兩軸作正交分解，得 （1） （2）又 （3） （4）解（1）、（2）、（3）、（4）式得例3取一根繩子，一端系著一個質(zhì)量為的小球，另一端握在手中，要使小球在豎直平面上作圓周運動，繩子轉(zhuǎn)動的半徑為，問小球通過最高點位置時，其線速度最小應(yīng)為多少？如果速度大于或小于這個值時，小球?qū)l(fā)生什么現(xiàn)象？解在題目所給的情況下，當小球獲得足夠的速度后，小球作圓周運動。小球通過最高點時，如果不計空氣阻力，最多只受兩個力，即重力和繩子的拉力，它們的方向都是豎直向下指向圓心，設(shè)此時線速度為，則 （1）從上式可知要使最小，要最小，即，也就是繩子和小球間沒有相互作用，向心力只由重力供給。這時 這是小球通過最高點位置時所必需的最小的線速度。以表示這個最小的線速度。當時，根據(jù)（1）式可知，即繩子對小球有拉力作用。當時，從（1）式可知，即為負值，這對繩子說是不可能的。這種情況下小球不可能通過最高點而在中途將下落，無法作圓周運動。思考題：如果用細術(shù)棍代替繩子來使小球轉(zhuǎn)動，而其他條件不變，小球作圓周運動時在最高點處的速度有沒有限制？提示：木棍是硬的，系在木棍一端的小球在最高點處的速度如果小于，雖為負值，但這時棍對球具有向上的“舉”力作用，所以速度不受限制。例4一根長為的繩子，當受到的拉力時即被拉斷。若在此繩的一端拴一個質(zhì)量為的物體，使物體以繩子的另一端為圓心在豎直面內(nèi)做圓周運動，當物體運動到最低點時繩子斷裂。求（1）物體運動至最低點時的角速度和線速度各是多大？（2）若繩斷處物體距地面高，經(jīng)多長時間物體落至地面？（3）物體落地處距拋出點多遠？落地時物體的速度是多大？解（1）如圖6所示，當物體運動到最低點時，物體受重力，繩子拉力，根據(jù)牛頓第二定律有，由牛頓第三定律可知：繩子受到的拉力和物體拉繩子的力大小相等，繩被拉斷時的拉力為，故。由式，繩被拉斷時的角速度為物體的線速度（2）繩子斷裂后物體以速度做平拋運動。由，得（3）物體落地處距拋出點的水平距離為物體落地時速度的大小為鞏固練習 （一）選擇題：1下列關(guān)于向心力的論述中正確的是（ ） A物體因為受到向心力的作用，才可能做圓周運動； B向心力僅僅是從它產(chǎn)生的效果來命名的，它可以使有初速度的物體做圓周運動，它的方 向始終指向圓心； C向心力可以是重力、彈力、摩擦力中的某一種力，也可以是這些力中某幾個力的合力； D向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小。2一圓盤可繞通過圓盤中心且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上放置 一個物體，當圓盤勻速轉(zhuǎn)動時，木塊隨圓盤一起運動，如圖7。那么 （ ） A木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向背離圓盤中心； B木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向指向圓盤中心； C因為木塊隨圓盤一起運動，所以木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向與木塊的運動方向 相同； D因為摩擦力總是阻礙物體運動，所以木塊所受圓盤對它的摩擦力的方向與木塊的運動 方向相反。3有三個相同材料制成的物體放在水平轉(zhuǎn)臺上，它們的質(zhì)量之比為，它們 與轉(zhuǎn)軸之間的距離為。當轉(zhuǎn)臺以一定的角速度旋轉(zhuǎn)時，它們均無滑動，它們受到的 靜摩擦力分別為，比較這些力可得（ ） A B C D4如圖8所示，三段細線長，三球質(zhì)量相等， 當它們繞點在光滑的水平桌面上以相同的角速度作勻速圓周運動 時，則三段線的拉力為（ ） A B C D5一小球沿半徑為的軌道作勻速圓周運動，若周期為秒，則（ ） A小球的線速度是； B經(jīng)過，小球的位移是米； C小球的加速度是； D經(jīng)過，小球速度增量為。6如圖9所示，用細線將一小球懸掛在勻速前進的車廂里，當車廂突然制 動時（ ） A線的張力不變； B線的張力突然減小； C線的張力突然增大； D線的張力如何變化無法判斷。7如圖10所示，兩小球質(zhì)量相同，用輕線把它們連結(jié)，并跨過兩個無摩擦的定滑輪。 在球左右擺動的時候，則球?qū)ⅲ?） A不動； B向上運動； C上下往復(fù)運動 D向下運動。8原來做圓周運動的物體產(chǎn)生離心運動的條件的簡略表述，可以是（ ） A當物體需要的向心力等于物體所受合外力時； B當物體需要的向心力小于物體所受合外力時； C當物體所受合外力小于作圓周運動所需要的向心力時； D當物體所受的外力不能與向心力平衡時。（二）填空題：9 一根水平橫桿可繞軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，桿上穿一個空心圓柱形物體， 質(zhì)量為，物體可在桿上無摩擦滑動，物體和轉(zhuǎn)軸間用一根勁度系 數(shù)的彈簧相連，如圖11所示。當橫桿繞軸勻速轉(zhuǎn)動時，彈 簧從原長伸長到，那么彈簧對物體的拉力是_，物體運動 的角速度是_，線速度是_。（物體可視為質(zhì)點）10一個做勻速圓周運動的物體，如果每秒轉(zhuǎn)數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋?，所需的向心力比原來的向?力大，則物體原來的向心力應(yīng)為_。11如圖12所示，沿半球形碗的光滑內(nèi)表面，一質(zhì)量為的小球正以角速 度在水平面內(nèi)做勻速圓周運動。如果碗的半徑為，則該球做勻速圓 周運動的水平面離碗底的距離為_。12質(zhì)量為的物體沿著半徑為的半球形金屬內(nèi)壁下滑至最低點時的速度 為。若物體與球殼之間的動摩擦因數(shù)為，那么物體在最低點時，受到的摩擦力 。（三）計算題：13如圖13所示，有一個半徑為的圓弧形的軌道，滑塊分別從軌 道上面和下面沿軌道滑動，如果要求它們在最高處不離開軌道，對它們 在最高點的速率有什么限制？14在水平轉(zhuǎn)臺上，距轉(zhuǎn)軸為處插立一豎直桿，桿頂系一根長為的細繩，繩的末端掛一個質(zhì)量為的小球（圖14），當轉(zhuǎn)臺勻速轉(zhuǎn)動后，試證懸繩張開的角度與轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速的關(guān)系是： 答案與提示1ABCD2B3D4B 5ACD（提示： ，小球轉(zhuǎn)過圓周