D67(2)對(duì)坐標(biāo)曲面積分.ppt

,第七節(jié)（2）,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法,三、兩類曲面積分的聯(lián)系,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,第六章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分類,雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),(單側(cè)曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 為前側(cè) 0 為后側(cè),封閉曲面, 0 為右側(cè) 0 為左側(cè), 0 為上側(cè) 0 為下側(cè),外側(cè) 內(nèi)側(cè), 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定,指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xOy 面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),1. 引例 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為,求單位時(shí)間流過有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面積為S 的平面,則流量,法向量:,流速為常向量:,對(duì)一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,對(duì)流動(dòng)的不可壓縮流體的,速度場,進(jìn)行分析可得, 則,設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個(gè),意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),下列極限都存在,向量場,若對(duì) 的任,2. 定義：,其中,分,記作,或第二類曲面積分.,如果記,稱為曲面面積微元向量,它可看做是曲面在M點(diǎn)處指向曲面給定側(cè)的一個(gè)法向量，其長度在數(shù)量上等于面積微元dS的值 .于是,其中dS=| |,而,記,于是，第二類曲面積分也可寫作以下坐標(biāo)形式，,上式右端是三個(gè)積分的組合，也可以單獨(dú)出現(xiàn)。,引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為,稱為Q 在有向曲面 上對(duì) z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面 上對(duì) x, y 的曲面積分.,稱為P 在有向曲面 上對(duì) y, z 的曲面積分;,3. 性質(zhì),(1) 若,之間無公共內(nèi)點(diǎn), 則,(2) 用 表示 的反向曲面, 則,(3) 若有向閉曲面 所圍成的空間區(qū)域V被另一位于V內(nèi)部的曲面分成了V1，V2，其邊界曲面記作 1， 2，則,三、兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫,四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法,定理: 設(shè)光滑曲面,取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則,證:,注意到,直角坐標(biāo)網(wǎng)劃分有, 若,則有, 若,則有,(前正后負(fù)),(右正左負(fù)),說明:,如果積分曲面 取下側(cè), 則,例1. 計(jì)算,其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長為 a 的正立方,體的整個(gè)表面的外側(cè).,解:,利用對(duì)稱性.,原式, 的頂部,取上側(cè), 的底部,取下側(cè),解: 把 分為上下兩部分,思考: 下述解法是否正確:,例2. 計(jì)算曲面積分,其中 為球面,外側(cè)在第一和第八卦限部分.,例3. 設(shè)S 是球面,的外側(cè) , 計(jì)算,解: 利用輪換對(duì)稱性, 有,例4. 設(shè),是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計(jì)算,解:,例5. 計(jì)算曲面積分,其中,解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè)., 原式 =,原式 =,課本例7.7. 計(jì)算曲面積分,其中S為球面 在第一卦限的部分與各坐標(biāo)面所圍成立體表面的外側(cè).,答案：,內(nèi)容小結(jié),定義:,1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系,性質(zhì):,聯(lián)系:,思考:,的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?,兩類曲面積分的定義一個(gè)與 的方向無關(guān), 一個(gè)與,2. 常用計(jì)算公式及方法,面積分,第一類 (對(duì)面積),第二類 (對(duì)坐標(biāo)),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分),(2) 積分元素投影,第一類： 面積投影,第二類： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.,轉(zhuǎn)化,當(dāng),時(shí)，