應(yīng)用三角形的面積公式證明幾何問(wèn)題的畢業(yè)論文.doc

專業(yè)代碼學(xué) 號(hào)： 貴 州 師 范 大 學(xué)（本 科）畢 業(yè) 論 文 題 目：應(yīng)用三角形的面積公式證明幾何問(wèn)題 學(xué) 院：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)： 級(jí)姓 名：指導(dǎo)教師：完成時(shí)間：2012年3月9日應(yīng)用三角形的面積公式證明幾何問(wèn)題摘要：面積是幾何圖形的重要屬性，它與線段、角之間有著密切的聯(lián)系。因此這篇文章總結(jié)了應(yīng)用三角形面積公式解或證明幾何的一些題目，從中體現(xiàn)了運(yùn)用三角形面積公式解題的優(yōu)點(diǎn)。關(guān)鍵詞：三角形面積公式；線段；角；比例式Abstract：The area is the geometry of the important attribute, it and the line angle, there is a close connection between. Therefore, this article summarizes the application of the triangle area formula solution or prove geometric problems, from which embodies the advantages of triangle area formulas.Key words：The area of a triangle formula；Segment；ngle；Proportional1. 引言隨著基礎(chǔ)教育課程改革的深入實(shí)施，力求提高解題教育在數(shù)學(xué)教育中的作用已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念的一個(gè)特點(diǎn)。我們知道，很多幾何題、三角形題、代數(shù)題在解法上各有自己的規(guī)律。掌握了這些規(guī)律，在解題過(guò)程中將會(huì)遇到很多方便。然而數(shù)學(xué)題的解法畢竟是千變?nèi)f化的，有些數(shù)學(xué)題如果光是按照常規(guī)的方法去解，有時(shí)將會(huì)顯得復(fù)雜和繁瑣，我們?cè)诮忸}過(guò)程中應(yīng)該有靈活多變的能力。有些數(shù)學(xué)題，尤其是幾何題和三角形題，如果根據(jù)圖形的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合使用三角形法，則將會(huì)顯得簡(jiǎn)單、明了和直觀。因此，在解題過(guò)程中，巧妙地運(yùn)用三角形的面積公式，有時(shí)會(huì)有特殊的功效，甚至起到事半功倍的作用。運(yùn)用三角形的面積法解題，主要是從圖形的性質(zhì)出發(fā)，利用面積找出圖形中邊、角關(guān)系或者利用相似三角形的面積比的性質(zhì)，幫助我們建立等量關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的。面積是幾何圖形的重要屬性，它與線段、角之間有著密切的聯(lián)系。因此我們?cè)谇蠼鈳缀螁?wèn)題的時(shí)候，根據(jù)幾何量與涉及的三角形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用三角形的面積表示有關(guān)幾何量，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系化為有關(guān)三角形面積之間的關(guān)系。利用面積能構(gòu)建圖形中某些線段之間的聯(lián)系，正因?yàn)榭梢杂妹娣e法來(lái)解決線段、角、比例式等多種類型的非面積的幾何問(wèn)題。其關(guān)鍵是要根據(jù)題目的特點(diǎn)、分析圖形結(jié)構(gòu)，找出圖形與三角形面積之間的聯(lián)系。本文我主要是從以下幾個(gè)方面論述的，首先講解一些三角形的面積公式，其次是從邊、角、比例式、三角形面積公式在幾何題中的綜合運(yùn)用進(jìn)行論述的，總結(jié)在解題或證明幾何題中運(yùn)用三角形面積公式解題既簡(jiǎn)單又明了，體現(xiàn)運(yùn)用三角形面積公式解題的優(yōu)越性。撰寫(xiě)本文，我主要參考了這些資料，沈文選著平面幾何證明方法全書(shū)第30-50頁(yè)，及一些作家發(fā)表的有關(guān)三角形面積公式與幾何題的文章。2. 三角形面積公式及特點(diǎn) 2.1 三角形的面積公式設(shè)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊依次為、b、c，h為邊上的高，R為外接圓的半徑，r為內(nèi)切圓的半徑，p為三邊長(zhǎng)之和的 半，即p=，（1）SABC= （2）SABC=bcsinA （3）SABC= （4） SABC=（5）SABC= （6）SABC=rp2.2 應(yīng)用三角形的面積公式證明幾何問(wèn)題的特點(diǎn)應(yīng)用三角形的面積公式證明幾何問(wèn)題是幾何證明中的一種常用方法，用三角形的面積公式來(lái)證明或計(jì)算幾何題，有時(shí)會(huì)有意想不到的收獲。是把已知量和未知量用三角形的面積公式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算達(dá)到求證或計(jì)算的結(jié)果。具有直觀性較強(qiáng)、聯(lián)系較廣、便于條件與結(jié)論之間的連接、表述簡(jiǎn)明等特點(diǎn)，頗受廣大數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的重視和歡迎。3. 應(yīng)用三角形的面積公式解或證明幾何題3.1 用三角形的面積公式求線段的長(zhǎng)ACBD例1、如圖1，AD是ABC的BC邊上的高，且A=90，AB=3，AC，求AD的長(zhǎng)。 解： 在ABC中，A=90， BC=5， 圖1 又 AD BC， ADB=ADC=90，由三角形的面積公式得， SABC= ABAC= BCAD， 即 34= 5AD， AD=。幾何命題常用的證明方法有一種是：綜合法“由因?qū)Ч?，直接從題設(shè)的條件入手，運(yùn)用定義定理推出結(jié)論，它的思路是從“已知”看“可知”。這題也是從已知入手求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果。此題還可以用勾股定理來(lái)解，那不僅要求出BC的長(zhǎng)，還要求出BD（或CD）的長(zhǎng)，才能求出AD的長(zhǎng)，可以說(shuō)解法有些繁瑣，還能用解直角三角形來(lái)解決。總之，用三角形的面積公式來(lái)解決這題就比較簡(jiǎn)捷明了，給人耳目一新的感覺(jué)。例2、如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，在AD上，PEAC，垂足為E，PFBD，垂足為F，求PE+PF的值。 解：連接PO，過(guò)O點(diǎn)作AD的垂線，垂足為G。GPFEOBADC SAOD=ADOG=ADAB， =42=2，圖2 AO=DO=BD=， SAOP +SPOD=PE+PF=SAOD=2 PE+PF=。這題是求定值問(wèn)題，即點(diǎn)P無(wú)論在AD的何處（兩端點(diǎn)除外），PE+PF的值總是固定不變的，體現(xiàn)變化中有不變，不變中又有變化的辯證統(tǒng)一關(guān)系。其實(shí)本題也就是命題“等腰三角形底邊任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；如果這點(diǎn)在等腰三角形的底邊的延長(zhǎng)線上，那么它到兩腰的距離之差等于一腰上的高”的應(yīng)用。對(duì)于需要探索結(jié)論的幾何問(wèn)題，可考慮在特殊的情形下有什么結(jié)論（如本題中P在AD中點(diǎn)時(shí)），再猜想一般情形下是否也有相同的結(jié)論，并加以論證。此題可在特殊情形下求出PE+PF的值，再論證在一般情形下的結(jié)論。若用其它方法解決此題會(huì)很麻煩，而用三角形的面積公式來(lái)解決此題的優(yōu)越性，在題中就足以得到了體現(xiàn)。3.2 應(yīng)用三角形的面積公式證明線段關(guān)系 例3、如圖3，點(diǎn)E、F分別在平行四邊形ABCD的邊CD、BC上，且AE=AF，DGAF，BHAE，G、H分別是垂足。求證：DG=BH。 證明：連接DF、BE。 SADF= SABCD，DECAFBGH SABE=SABCD， SADF=SABE， 即 AFDG=AEBH， AE=AF，圖3 DG=BH。FDBAECP例4、如圖4，在ABC中，AB=AC。點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PDAB，PEAC，CFAB，D、E、F分別是垂足。求證：PD+PE=CF。 證明：連接AP，則ABPACP。 又 SABC=SABP+SACP， ABCF=ABPD+ACPE， AB=AC，圖4 CF=PD+PE， 即 PD+PE=CF。 在幾何命題論證中，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，會(huì)使分散的元素通過(guò)變化和轉(zhuǎn)化相對(duì)集中。然而，證明兩條線段相等是幾何證明題中的一種常見(jiàn)的題型，其證明方法也比較多，這就要因題而論，選用哪種方法解題簡(jiǎn)單、明了，我們就選用哪種方法。就是要把我們所學(xué)的知識(shí)靈活地運(yùn)用，才更加容易解決問(wèn)題。例3以平行四邊形的面積為橋梁，利用同一個(gè)平行四邊形面積相等列等式，也就是用三角形的面積關(guān)系式表示同一個(gè)平行四邊形的面積，從而列出等式解決此題。例4就是把大三角形的面積劃分為兩個(gè)小三角形的面積建立等式，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。通過(guò)作輔助線把相對(duì)分散的條件集中到三角形中，并據(jù)此找出等量關(guān)系，可以說(shuō)思路新穎獨(dú)特，而且相當(dāng)簡(jiǎn)便，便于我們解決問(wèn)題。B1圖5BCAC1A1O 例5、如圖5，把ABC沿AB邊平移到A1B1C1的位置，它們的重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是ABC面積的一半，若AB=，則此三角形移動(dòng)的距離AA1是多少？ 解： A=BA1O，C=A1BO， ABCA1BO， =， 設(shè) SABC=2，則=（0），又 =2，AB=， =2， A1B=1， AA1=ABA1B=1。解答此題應(yīng)用三角形相似的知識(shí)，得出兩三角形相似，其面積之比等于相似比的平方，只需求出A1B的長(zhǎng)，就可以求出A1A的長(zhǎng)。解法十分簡(jiǎn)潔，易于理解與掌握。如果此題不應(yīng)用“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”這一知識(shí)點(diǎn)，那么這題就難以解答，還得增加條件才能解答此題。相比之下，還是應(yīng)用“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”這一知識(shí)解答此題簡(jiǎn)便一些。3.3 應(yīng)用三角形的面積公式證明角的關(guān)系例6、如圖6，D、E、F分別是ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，DCE和DBF的面積相等。求證：AD平分BAC。證明：過(guò)點(diǎn)D作DHAB，DGAC，垂足分別為H、G。FHAEGCDB SDCESDBF， CEDG=BFDH， CE=BF，圖6 DG=DH， 又 DHAB，DGAC， 點(diǎn)D在BAC的平分線上， 即 AD平分BAC。幾何命題證明方法的另一種叫分析法“執(zhí)果索因”，從題目中要證的結(jié)論出發(fā)，探索結(jié)論成立的條件，再看這些條件是否在已知條件中具備以“未知”看“需知”。此題從結(jié)論特征看要證AD是BAC的角平分線，這是題目隱含的隱性條件，由此聯(lián)想到定理“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，也就要證明點(diǎn)D到AB、AC的距離相等 ，故作DHAB、DGAC，又知道三角形的面積關(guān)系，可很快得出結(jié)論。例7、如圖7，在ABC，AH是BC邊上的高，O是AH上任意一點(diǎn)，CO交AB于D，BO交AC于E，連接DH、EH。求證：DHO=EHO。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線分別交HD、HE的GAFDECHBO延長(zhǎng)線于F、G，則有 =， AG=HC=HC， 圖7 同理 AF=BH， BH=HC， 由、式，得 =1， 即AG=AF，AH是FG的中垂線， 故DHO=EHO。此題巧妙地應(yīng)用三角形的面積關(guān)系證明角相等，這是不易想到的，大多數(shù)解答此題都應(yīng)該會(huì)想到用全等的知識(shí)作答，而解答此題的亮點(diǎn)就是運(yùn)用三角形的面積關(guān)系。因?yàn)锳EGCEH，得出=的結(jié)論，然而要得出“=”這樣的結(jié)論，卻是本題知識(shí)的難點(diǎn)，也是本題知識(shí)的重點(diǎn)。它是運(yùn)用“兩個(gè)同（等）高的三角形的面積比等于他們底邊的比”這一知識(shí)點(diǎn)，巧妙地連接三角形的面積與邊的關(guān)系，輕而易舉的解決了問(wèn)題。相比之下，比運(yùn)用全等的知識(shí)作答捷徑得多，簡(jiǎn)直漂亮極了3.4 應(yīng)用三角形的面積公式證明比例式例8、如圖8，在ABC中，AD是BAC的平分線。求證：=。 證明：過(guò)點(diǎn)D作DEAB、DFAC，垂足分別為E、F。 AD是BAC的平分線， DE=DF，則有A =, FE 過(guò)A點(diǎn)作AHBC,垂足為H,圖8BDHC則有 =, 由、，得 =。 例9、在平面四邊形ABCD中，BD為B的平分線，交AC于E，且BD2=ABBC，求證：=。 證明：如圖9，過(guò)點(diǎn)A、C作AMBD、CNBD，垂足分別為M、N，則A =， AMCN，DNM =，E BD為B的平分線，圖9BC ABD=DBC， BD2=ABBC， =， BADBDC， =。 =。命題常見(jiàn)的兩種證明方法：綜合法與分析法。這兩種往往是相互配合、相互補(bǔ)充的；在實(shí)際證題中常常將兩者結(jié)合起來(lái)協(xié)同使用，即分析綜合法。首先用分析法，從要求證的結(jié)論入手，想一想證明這個(gè)結(jié)論需要什么條件，一層一層地向上逆推；當(dāng)思維遇到障礙時(shí)，再?gòu)臈l件出發(fā)，下推幾步，看能知道些什么，全力尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系以找出證明的思路，這對(duì)于分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，大有裨益。例8運(yùn)用同一個(gè)三角形的面積相等來(lái)建立等式關(guān)系，應(yīng)用三角形的面積公式找出面積與邊的關(guān)系，從而很容易得出=的結(jié)論。例9從結(jié)論不難看出用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”這一知識(shí)點(diǎn)來(lái)論證就比較容易了，再?gòu)臈l件出發(fā)找三角形相似即可得出我們要證明的結(jié)論。4.綜合三角形的面積公式，探討數(shù)學(xué)領(lǐng)域例10、已知x、y、z為正數(shù)且xyz（x+y+z）=1，求表達(dá)式（x+y）（y+z）的最小值。 解：如圖10，構(gòu)造一個(gè)ABC，其中三邊分別為zzA ， 其面積為yx =圖10yxBC=1， 而另一方面， （x+y）（y+z）=2， 當(dāng)且僅當(dāng)C=90，取得最小值2，亦即 ， 2y2+2xy+2yz=2xz， y（y+x+z）=xz， xyz（y+x+z）=， =1。 xz=1時(shí)，（x+y）（y+z）取最小值。 如x=z=1，y=-1時(shí)，（x+y）（y+z）=2。 例11、證明勾股定理，在ABC中，C=90，求證：。 證明：作CDAB，垂足為D；設(shè)各邊的長(zhǎng)如圖11所示，則 RtCBDRtABC，RtACDRtABC，bcADCB =（0）， ， ， ， 又 ， ，圖11 故 ， 即 。 例12、如圖12，O的半徑為R，以O(shè)上任意一點(diǎn)A為圓心，以r（r2R）為半徑作圓，設(shè)此圓的一條切線交O于P、Q兩點(diǎn)。求證：不論P(yáng)、Q的位置如何，APAQ為定值。 證明：設(shè)切線PQ與A相切于B，連接AB，則ABPQ， SAPQ=PQAB=APAQsinPAQ，QPABO APAQ= =圖12 = =AB， 又 AB=r，根據(jù)正弦定理，有=2R， APAQ=2Rr為定值。例13、如圖13，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，求EAF的正切值。 解：連接EF，作FGAE，垂足為G；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則AFDECBG BE=CE=CF=FD=1， SAEF=S正方形ABCD（SABE+SAFD+SBCF） =22（） =，圖13 在RtABE中，由勾股定理，得 AE=， 在AEF中， =AEFG=FG=， FG=， 易證：ABEADF， AF=AE=，在RtAFG中， sinEAF=， cosEAF= = =， tanEAF=。5.總結(jié)在解（證）幾何有些比較難解甚至感覺(jué)無(wú)從下手的問(wèn)題時(shí)，可以考慮用三角形的面積來(lái)解答，往往會(huì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果。另外在運(yùn)用三角形面積公式解題，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是拓寬了思維空間，有利于打破思維定式，不用照搬照套、死記硬背公式，有利于培養(yǎng)發(fā)散思維的良好習(xí)慣；二是體現(xiàn)了知識(shí)之間的聯(lián)系，這就要熟練掌握各方面的知識(shí)，加以綜合的運(yùn)用。哪些類型題目能用三角形的面積法？如三角形中線將三角形分成的兩部分；等底、等高（或同底等高）的三角形；相似三角形；多邊形轉(zhuǎn)化為的三角形，這些類型的題目往往可以用三角形的面積法，但要因地制宜，隨機(jī)應(yīng)變，不能強(qiáng)加于一些幾何題型中。幾何問(wèn)題也是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的，代數(shù)與幾何，二者相輔相成，缺一不可。幾何也與人們的生活息息相關(guān)，可見(jiàn)，幾何的確是一門(mén)難研究的學(xué)問(wèn)。三角形面積法解題的關(guān)鍵在于，要善于發(fā)掘圖形之間的位置關(guān)系，聯(lián)系到相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，否則是不能正確運(yùn)用三角形的面積公式解答題目的；或?qū)τ谕粓D形，應(yīng)從不同的角度考慮用哪一個(gè)或哪一些三角形的面積公式作答，才能使解