二次函數(shù)背景下的不等式問題.doc

羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蕆螇膃膇蕿蝕聿膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆芃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蕆螇膃膇蕿蝕聿膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆芃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蕆螇膃膇蕿蝕聿膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆芃薆蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁 二次函數(shù)背景下的不等式問題蔣 際 明(浙江省湖州中學(xué) 313000)二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它雖然形式簡單但有著豐富的內(nèi)涵.以二次函數(shù)為載體不僅可以研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系.縱觀近幾年來的數(shù)學(xué)高考試卷,每一年或多或少有它的“影子”,特別是以二次函數(shù)為背景的不等式的有關(guān)問題,是近年來高考的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).為此,本文就這類問題解題的思想方法作一些探討.一.利用待定系數(shù)法二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題時(shí)常常要通過某些條件“確定”這三個(gè)參數(shù),以達(dá)到解題的目的. 例1 設(shè)，若，, 試證明：對(duì)于任意，有.分析：本題中，所給條件顯然不能確定參數(shù),c的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此可以用來表示.解： , , . 變式訓(xùn)練1: 已知，滿足1且，求的取值范圍.(答案: )二. 利用函數(shù)與方程根的關(guān)系合理選擇二次函數(shù)的解析式,如二次函數(shù)的零點(diǎn)式,可直接顯示出二次函數(shù)與方程根的關(guān)系.例2設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明:.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明：由題意可知., , 當(dāng)時(shí)，.又, ,綜上可知，所給問題獲證. 評(píng)注:本題以二次函數(shù)為本源,聯(lián)系一元二次方程的根,進(jìn)行不等式的論證.處理本題時(shí),一個(gè)誤區(qū)是將方程化為去研究,導(dǎo)致無從下手.變式訓(xùn)練2.已知二次函數(shù),若方程的所有根都在內(nèi),求證:三. 利用數(shù)形結(jié)合的思想(1) 二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等. 結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀.例3 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：.分析:由函數(shù)對(duì)稱軸的位置可得又由的對(duì)稱軸與的對(duì)稱軸之間的關(guān)系即可得到的取值范圍.解：由題意 .它的對(duì)稱軸方程為由方程的兩個(gè)根滿足, 可得且, ，即 ， 而故 .變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)上的最大值為2,最小值為求證:.(提示:用反證法,并研究函數(shù)對(duì)稱軸位置)(2)二次函數(shù)的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以有以下結(jié)論:存在實(shí)數(shù)使得,且在區(qū)間上必存在的唯一的實(shí)數(shù)根.存在實(shí)數(shù)使得, 同號(hào)且與異號(hào)在區(qū)間上必存在的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.例4 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化. 解：設(shè)，則的二根為和.（1） 由及，可得 ，即 ，即 兩式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同號(hào). ，等價(jià)于或,即 或解之得 或.變式訓(xùn)練4:(2006浙江卷理16)設(shè),，,求證：() a0且21；()方程在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.證明：（I）因?yàn)?，所?由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（II）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得.又因?yàn)槎苑匠淘趨^(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根。故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根. 膁蒃螇肆羃荿螆?bào)＼灯N螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞袂螂芅芁葿襖肈膇蒈肆芄薆蕆螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿薃裊羆蒞薂羇膁芁薁蚇羄芇薀衿芀薅蕿羂肂蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿蚆羈聿蒈蚅蚈芅莄蚄螀肇莀蚄羂莃芆蚃肅膆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蝿蠆膂膈螈螁羅蕆螈袃膁蒃螇肆羃荿螆?bào)＼灯N螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞袂螂芅芁葿襖肈膇蒈肆芄薆蕆螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿薃裊羆蒞薂羇膁芁薁蚇羄芇薀衿芀薅蕿羂肂蒁蕿肄羋莇薈螄肁芃薇袆芆腿蚆羈聿蒈蚅蚈芅莄蚄螀肇莀蚄羂莃芆蚃肅膆薄螞螄羈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蝿蠆膂膈螈螁羅蕆螈袃膁蒃螇肆羃荿螆?bào)＼灯N螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞袂螂芅芁葿襖肈膇蒈肆芄薆蕆螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羈膅芄蒅肅羈薃蒄螃膃葿薃裊羆蒞