近世代數(shù)期末考試試卷及答案

ff近世代模試題三一、單項選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（A、2階B、3階C、4階D、6階2、設(shè)G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格（）ABC{2,3,4,6,12},|（整除系D、5設(shè)S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}那么在S3中可以與123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是-------的。2、如果是與A間的一一映射a是一個元，則

f

----------。3、區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算b,b}的單位元是-------。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環(huán)Z零因子有-----------------------86、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)----------7、從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的--------。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為的-----------。9中元的階am在整除關(guān)系為-------。/

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？2、S，SA的子環(huán)，則S∩S也是子環(huán)。S+S也是子環(huán)嗎？1212123、設(shè)有置換

，

(234)(456)

。1．2．確定置奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=-1充分必要條件是=a=。近世代模試題三

參考答一、單項選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一2；3、；424；5、

；6、相等7、商群8、特征；9、

n

；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、解在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進(jìn)行計算：例如，全白只1，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意∈S1∩S2有a-b,abS1∩S2：因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，/

因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：1．，

(16524

；2．兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a

0

，由理想的定義

，因而R的任意元

這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。————————————————————一判題每小題2,共20分1.實集R關(guān)于數(shù)的乘法成群2.若H是群G的個非空有限子集群3.循群一定是交換群（）4.素階循環(huán)群是單群（）

（）,H都abH成則H是G的一個子（）5.

設(shè)

是有限群，

aGn是的階，若

ak

，則

k

.（）6.設(shè)

f

是群

到群

的同態(tài)映射，

H

是

的子群，則

f

是

的子群（）7.交群的子群是正規(guī)子群.

（）/

552238.設(shè)

是有限群，

H

是

的子群，則

G|H

.（）9.有域的特征是合數(shù)（）10.整環(huán)

Z

的全部理想為形如

nZ

的理想（）二選題每小題3,共15分11.下的代數(shù)系統(tǒng)

中）是.A.G整數(shù)集合，法B.G偶數(shù)集合，法C.G有理數(shù)集合，法D.G整數(shù)集合，法12.設(shè)是G的群且有陪集分類

aH,bH,cH果H的階為6那么

的階

G

（）A.6；B.24；C.10；D.12.13.設(shè)

3是A.1；B.2；；D.4.14.從同構(gòu)的觀點(diǎn)看，循環(huán)群有且只有兩種，分別是（）A.G=（a）與G的子群；B.整數(shù)加法群與模n的剩余類的加法群；C.變換群與置換群；D.有理加法群模15.整環(huán)Z中可逆元的個數(shù)(。A.1個B.2個C.4個D.無個

的剩余類的加法群.三填題每小題3,共15分16.如G是體非零有理數(shù)的集合，對于普通乘法來說作成一個群，則這個群單位元是17.n對稱群S的是___________.n18.整加法群

Z

關(guān)于子群

nZ

的陪集為.19.設(shè)

是

的正規(guī)子群，商群

中的單位元是。20.若

R

是交換環(huán),

則主理想

____________.四計題第21小題8,第22小12，共20)21令

323/

，

4242

2345

，計算

.22.設(shè)

H{(1),

是3次對稱群的群求H的有左陪集和右陪集并3明H是是的規(guī)群.3五證題每題10分共30分)23.設(shè)是群，H是G子群，證明：，則aHa也是子群24.設(shè)

是群，

H

是

的正規(guī)子群

關(guān)于

H

的陪集的集合為

|}

，證明：

/H

對于陪集的乘法成為一個群，稱為

對

H

的商群25.證：域

F

上全體

n

矩陣的集合

M

在矩陣的加法和乘法下成為環(huán).一判題每小題2,共20分1-10××√√√√√×√二選題每小題3,共15分11.；12.B；13.；B；15.三．空

(每小題3分共15分16.1；17.n!18.

nZ

19.

；20.

aR

.四計下各(第小題8分,22小題12分，共分)21.解：

34541

，

4

22.解：H的有左陪為H{(1),(123),(132)}，{(12),(13),(23)}H的所有右陪集為

；

H{(1),

，

H

/

對

3

，有

H

，即

H

是正規(guī)子群

分五證題每題10分共30分)23.證明因為

H

是

的子群，對任意

x,H

，有

H

.

由題意，對任意

x,H

，有

,

a

axy

，即

aHa

也是子群.

分24.證明：先

對于上述乘法是封閉的，且乘法