計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想—迭代法畢業(yè)設(shè)計(jì)論文.docVIP

本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目： 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想迭代法 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想迭代法摘要 本文將探討數(shù)學(xué)中重要的思想方法迭代的實(shí)際應(yīng)用。主要介紹幾種常見(jiàn)問(wèn)題的迭代方法如：求解非線性方程f(x)=0的不動(dòng)點(diǎn)迭代、二分法、牛頓迭代法，還有求解線性方程組及非線性方程組的各種迭代法。并對(duì)各種迭代法的收斂性進(jìn)行討論和比較，討論各種迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)。在分析結(jié)果的基礎(chǔ)上我們可以看出迭代法的實(shí)際應(yīng)用性很強(qiáng)，對(duì)于計(jì)算機(jī)上的應(yīng)用尤為突出。研究結(jié)果告訴我們：在具體的應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)選擇不一樣的迭代法，也可以將幾種方法結(jié)合來(lái)運(yùn)用。關(guān)鍵詞迭代；收斂性；牛頓法；雅克比迭代；塞德?tīng)柕?；非線性方程；（非）線性方程組。An important Mathematics thought from the computer science- Iteration Method Abstract In this paper, we will discuss an important mathematics thought of iteration method and discuss its realistic application First, I will introduce a lot of iteration method from some natural question ，for example ：the Fixed-point iteration ，the Bisection Method ，Newton method ，and some iteration method of solving linear equation set or not linear equation set。Second ， we will discuss and compare the astringency of those methods 。We will find out the advantages and disadvantages of several methods for iteration。From analysis the result of iteration method ，we can find it has lots of action in reality，particularly in computer science。According to the analysis result，we get that we use iteration method must base on reality，and also we can combine different method to deal with some problem around us。Keywords：astringency；Newton Method；Jacobi iteration；Gauss-Seidel iteration；nonlinear equation；linear or nonlinear equation set。目錄第一章 迭代法4 1.1 迭代法簡(jiǎn)介4 1.2 運(yùn)用迭代法的前提準(zhǔn)備4第二章 不動(dòng)點(diǎn)迭代法5 2.1 不動(dòng)點(diǎn)的尋找5 2.2 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差6第三章 二分法8 3.1 波爾查諾二分法8 3.2 試值法的收斂性9第四章 牛頓-拉夫森法與割線法11 4.1 求根的斜率法11 4.2 收斂速度與缺陷13 4.3 割線法與加速收斂16第五章 求線性方程組的迭代法19 5.1 雅克比迭代19 5.2 高斯-塞德?tīng)柕c收斂性20第六章 非線性方程組的迭代法24 6.1 理論與廣義微分24 6.2 接近不動(dòng)點(diǎn)處的收斂性25 6.3 賽德?tīng)柕ㄅc牛頓法26結(jié)束語(yǔ)29主要參考文獻(xiàn)30致謝31 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想迭代法第一章 迭代法1.1 迭代法簡(jiǎn)介迭代法也稱輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過(guò)程,跟迭代法相對(duì)應(yīng)的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問(wèn)題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代。“二分法”和“牛頓迭代法”屬于近似迭代法。迭代法常用于求方程或方程組的近似根。1.2 運(yùn)用迭代法的前提準(zhǔn)備一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。 二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來(lái)完成。 三、迭代過(guò)程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程？這是編寫(xiě)迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái)；另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件第二章 不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.1 不動(dòng)點(diǎn)的尋找 我們先探討不動(dòng)點(diǎn)的存在性和介紹不動(dòng)點(diǎn)迭代的方法。定義2.1 函數(shù)g（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是指一個(gè)實(shí)數(shù)P，滿足P=g（P）。定義2.2 迭代Pn+1=g(Pn),其中n=0，1，稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代定理 2.1 g（x）為連續(xù)函數(shù)且a,b 我們有 g（x）a,b 任意xa,b 則g(x)一定有不動(dòng)點(diǎn) 則g（x）不動(dòng)點(diǎn)唯一證明：如果g（a）=a或g（b）=b，則為真；否則g（a）必須滿足g（a） ,g(b)的值必須滿足g（b）。f（x）有如下特性： 對(duì)應(yīng)用中值定理，而且由于常量L=0，可推斷出存在數(shù)P。因此，P=g（P），且P為不動(dòng)點(diǎn)。 我們可以采用反證法。設(shè)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)P1與P2.根據(jù)均值定理，可推斷出存在數(shù)d 根據(jù)假設(shè)，有，對(duì)前式子簡(jiǎn)化得。但這與題意矛盾，故得證P點(diǎn)唯一。下面我們給定一個(gè)定理來(lái)判斷，迭代所產(chǎn)生的序列是收斂的還是發(fā)散的。定理 2.2 設(shè)有如果對(duì)于所有將收斂到唯一的不動(dòng)點(diǎn)P .在這種情況下，P稱為吸引不動(dòng)點(diǎn)。如果對(duì)于所有，有1,則迭代將不會(huì)收斂到P，此時(shí)P點(diǎn)稱為排斥不動(dòng)點(diǎn)。我們可以證明定理中的吸引不動(dòng)點(diǎn)。證：首先要證明Pn都位于（a，b）內(nèi)。從P0開(kāi)始，可推導(dǎo)出存在一個(gè)值C滿足滿足因此，P1比P0更接近于P。同上可以歸納出Pn比Pn-1更接近于P點(diǎn)。所以所有的點(diǎn)都在中。接下來(lái)證明。首先用數(shù)學(xué)歸納法證明可建立下面的不等式。因此，的極限壓縮在左右2邊的0之間，故=0，這樣就有=p,，所以得證迭代Pn=g（Pn-1）收斂到不動(dòng)點(diǎn)P例題：設(shè)=，且P0=4，找去函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。解：設(shè)迭代，由P0=4得 P1=3.5 P2=3.25 P3=3.125 由此序列，不難得出P=32.2 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 在迭代運(yùn)算中，迭代結(jié)果與真實(shí)值間總存在誤差，我們算誤差方法分為：絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差： 相對(duì)誤差： （其中為真實(shí)的結(jié)果，為迭代計(jì)算的結(jié)果）第三章 二分法3.1 波爾查諾二分法 先介紹連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn) 定義3.1 設(shè)是連續(xù)函數(shù)。滿足的任意r成為方程的一個(gè)根。也稱r為函數(shù)的零點(diǎn) 二分法是將連續(xù)函數(shù)的區(qū)間進(jìn)行對(duì)分取舍，從而逐步逼近到零點(diǎn)，直到一個(gè)任意小的包含零點(diǎn)的間隔 定理3.1 設(shè)，且存在實(shí)數(shù)滿足。如果與的符號(hào)相反，且表示二分法生成的中點(diǎn)序列，則 其中n=0，1 這樣，序列收斂到零點(diǎn)即可表示為 證明：由于零點(diǎn)r和中點(diǎn)都位于區(qū)間內(nèi)，與r之間的距離不會(huì)比這個(gè)區(qū)間的一半寬度范圍大。這樣，對(duì)于所有的n， ，觀察連續(xù)的區(qū)間寬度范圍，可得到 b1-a1=(b0-a0)/2 b2-a2=(b0-a0)/4,使用數(shù)學(xué)歸納法很容易得證，結(jié)合上面的式子，我們有 綜上可得證收斂到r，定理得證。 例題：利用二分法尋找函數(shù)的零點(diǎn)，區(qū)間為0,2. 解：起始值=0，=2.計(jì)算f（0）=-1 f（2）=0.818595 所以f（x）的一個(gè)根位于0,2內(nèi)在中點(diǎn)C0=1，可發(fā)現(xiàn)f（1）=-0.158529，因此區(qū)間改變?yōu)镃0,b0=1,2, 接下來(lái)從左邊壓縮，使得a1=c0 b1=b0. 中點(diǎn)為c1=1.5按照這種方法，可得到序列，他收斂于1.114157143.2 試值法的收斂性下面探討試值法又叫試位法。試值法是對(duì)二分法的改造，使收斂速度變快。與上述條件一樣，假設(shè)和符號(hào)相反，如果找到經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的割線L與x軸的交點(diǎn)（c，0），則可得到一個(gè)更好的近似值。為了尋找值x，定義了線L的斜率m的的兩種表示方法，一種為： 另一種方法為：于是我們有= 所以，這樣如果f（a）和f（c）符號(hào)相反，則在a，c內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)如果f（b）和f（c）符號(hào)相反，則在c，b內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)如果f（c）=0 ，則c是零點(diǎn)結(jié)合上述過(guò)程可構(gòu)造區(qū)間序列，其中每個(gè)序列包涵零點(diǎn)。在每一步中，零點(diǎn)r的近似值為 ，而且可以證明序列將收斂到r下面我們來(lái)用試值法求解，在區(qū)間0，2中，并觀察它是否比二分法收斂得快解：根據(jù)初始值，可得到f（0）=-1 f（2）=0.81859485，因此在區(qū)間中有一個(gè)根。利用試值法，可得到： 。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)改變符號(hào)，因此從左邊壓縮，設(shè)，根據(jù)上面結(jié)論可得到下一個(gè)近似值=1.12124074和，下一個(gè)判定從右邊壓縮，設(shè)我們可以得到通過(guò)4次運(yùn)算，就能算出r1.11415714通過(guò)計(jì)算我們可以看到試值法比二分法收斂速度快.第四章 牛頓-拉夫森法與割線法4.1 求根的斜率法如果在根p附近連續(xù)，則可將它作為的特性，用于開(kāi)發(fā)產(chǎn)生收斂到根p的序列的算法。而且這種算法比二分法和試值法產(chǎn)生的序列的速度快，牛頓拉夫森法是這類方法中最好的方法之一設(shè)初始值在根P附近。則函數(shù)y=f（x）的圖形與x軸相交于點(diǎn)（p，0），而且點(diǎn)位于靠近點(diǎn)（p，0）的曲線上，將定義為曲線在點(diǎn)的切線與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)下圖的顯示可以看出比更靠近于p，寫(xiě)出切線L的兩種表達(dá)式，則可得到與的相關(guān)方程，如下所示： 解出。重復(fù)上述過(guò)程可得到序列收斂到p O 定理 4.1 設(shè)，且存在數(shù)，滿足。如果，則存在一個(gè)數(shù)。對(duì)任意初始近似值，使得由如下迭代定義的序列收斂到p： 其中k=1，2注：函數(shù)由如下公式定義 ，并稱為牛頓-拉夫森迭代函數(shù)。由于，這樣尋找函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)尋找方程根的牛頓-拉夫森迭代證明：我們從1階泰勒多項(xiàng)式和它的余項(xiàng)開(kāi)始分析 這里，位于與x之間。用x=p代入上式，并利用，可得 0=如果足夠逼近p，上式右邊的最后一項(xiàng)比前兩項(xiàng)的和小。因此最后一項(xiàng)可以被忽略，而且可以利用如下近似表達(dá)式：，推出。這可以用來(lái)定義下一個(gè)根的近似值 ，當(dāng)用在上式的時(shí)候，就可以建立一般規(guī)律，即可得證！推論 4.1 求平方根的牛頓迭代：設(shè)A為實(shí)數(shù)，且A0，而且令0為的初始近似值，使用下列遞推規(guī)則 ，k=1，2定義序列，則序列收斂到，也可表示為。證明：從函數(shù)開(kāi)始，方程-A=0的根為?，F(xiàn)在利用牛頓-拉夫森函數(shù)中的和，可寫(xiě)出牛頓-拉夫森迭代公式 簡(jiǎn)化為，用此式中的來(lái)定義牛頓-拉夫森定理中的遞歸迭代時(shí)，結(jié)果得證。例題：用牛頓平方根算法求的近似值。從開(kāi)始。運(yùn)用公式計(jì)算得： 設(shè)，從開(kāi)始，求 ，所以=2. 都是無(wú)限接近與2。4.2 收斂速度與缺陷 通過(guò)上面的討論，我們可以得到一個(gè)很顯著的性質(zhì)：如果p是f（x）=0的單根，則牛頓法收斂很快，如果p是重根，每個(gè)連續(xù)的近似值誤差是前一個(gè)誤差的一小部分，我們可以定義收斂階來(lái)測(cè)量序列的收斂速度定義4.1 設(shè)序列收斂到p，并令，。如果兩個(gè)常量存在，而且，則該序列稱為以收斂階R收斂到p，數(shù)A稱為漸進(jìn)誤差常數(shù)。R=1，2的情況為特殊情況如果R=1，稱序列的收斂性為線性收斂如果R=2，稱序列的收斂性為二次收斂。如果R很大，則序列很快收斂到p；這意味著，關(guān)系式中對(duì)于大的值n，有近似值。例如R=2且，則下面我們用2個(gè)例題給出比較（單根的二次收斂）從=-2.4開(kāi)始，用牛頓-拉夫森迭代求多項(xiàng)式的根p=-2.計(jì)算的迭代公式是：解：用R=2并利用收斂階檢查二次收斂，可得到下表中的值0-2.40.3238095240.40.4761904751-2.0761904760.0725944650.0761904760.6194690862-2.0035960110.0035874220.0035960110.6642026133-2.0000085890.0000085890.0000085894-200通過(guò)分析上面的收斂速度，可發(fā)現(xiàn)每個(gè)連續(xù)迭代的誤差是前一個(gè)迭代誤差的一小部分，即，其中，為了檢查上式，利用 和 而且很容易看出（在二重根處線性收斂）從開(kāi)始用牛頓-拉夫森迭代求多項(xiàng)式的二重根p=1.用收斂階公式檢查線性收斂，可得到下表中的值01.2-0.096969697-0.20.51515151511.103030303-0.050673883-0.1030303030.50816525321.052356420-0.025955609-0.0523564200.49675111531.026400811-0.013143081-0.0264008110.50976368841.013257730-0.006614311-0.0132577300.50109777551.006643419-0.003318055-0.0066434190.500550093 可以看出，牛頓-拉夫森法收斂到二重根，但收斂速度很慢。的值趨近于0更快，因此當(dāng)時(shí)，有定義。序列線性收斂，而且在每次迭代后，誤差以1/2的比例下降。我們總結(jié)下牛頓法在單根和二重根上的性能。定理4.2 （牛頓-拉夫森迭代的收斂速度）設(shè)牛頓-拉夫森產(chǎn)生的序列，收斂到函數(shù)的根p，如果p是單根，則是二次收斂，而且對(duì)于足夠大的n有如果p是M階多重根，則是線性收斂的，而且對(duì)于足夠大的n有值得注意的是：有時(shí)序列并不一定收斂，因?yàn)椴⒉豢赡茉贜此迭代后總能找到結(jié)果，我們可以盡量的通過(guò)畫(huà)圖等各種方法來(lái)選擇P0.例如：設(shè)，而且，則 ， ， 而且緩慢發(fā)散到無(wú)窮大。4.3 割線法與加速收斂割線法是對(duì)牛頓-拉夫森法的改進(jìn)，它采用了試值法一樣的思想。我們需要2個(gè)靠近點(diǎn)的初始點(diǎn)和。定義為經(jīng)過(guò)兩個(gè)初始點(diǎn)的直線與x軸相交的橫坐標(biāo)，由圖可以看出P2比P0或P1更靠近于P。p2，p1，p0相關(guān)的表示斜率方程為： 所以，根據(jù)兩點(diǎn)迭代公式可得到一般項(xiàng)為單根上的割線法：從=-2.6和=-2.4開(kāi)始，利用割線法求多項(xiàng)式函數(shù)的根p=-2.解：根據(jù)迭代公式我們得我們得如下的迭代序列0-2.60.20.60.9141528311-2.40.2934010150.40.4694977652-2.1065989850.0839575730.1065989850.8472900123-2.0226414120.0211303140.0226414120.6936089224-2.0015110980.0014885610.0015110980.8258411165-2.0000225150.0000225150.0000225370.7271009876-2.0000000220.0000000220.0000000227-200其中收斂階為R=（）/2=1.618；當(dāng)P是一個(gè)M階根時(shí)，我們可以通過(guò)對(duì)牛頓法改進(jìn)，使得其在多重根的情況下的收斂階為2定理4.3（牛頓-拉夫森迭代的加速收斂）設(shè)牛頓-拉夫森算法產(chǎn)生的序列線性收斂到根x=p，其中M1，則牛頓-拉夫森迭代公式 將產(chǎn)生一個(gè)收斂序列二次收斂到p。（二重根情況下的加速收斂）從p0=1.2開(kāi)始，使用加速牛頓-拉夫森迭代求函數(shù)的二重根p=1 解：由于M=2，加速公式變?yōu)?可得到下表中的值K01.2-0.193939394-0.20006060606-0.006054519-0.0060606060.16571857821.000006087-0.000006087-0.00000608731.0000000000.0000000000.000000000很容易看出收斂速度變快。第五章 求線性方程組的迭代法下面來(lái)探討將解非線性方程的迭代擴(kuò)展到更高維數(shù)中，有什么規(guī)律與方法？5.1 雅克比迭代首先我們考慮線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代的擴(kuò)展考慮如下方程組：4x- y+z= 7 4x-8y+z=-21 -2x+ y+5z=15 上述方程可表示成如下形式：x=y= 這樣我們就可以提出下列雅克比迭代過(guò)程：z= 如果從p0=（x0，y0，z0）=（1，2，2）開(kāi)始，則上式中的迭代將收斂 到解（2，4，3）上述迭代過(guò)程將會(huì)產(chǎn)生序列，并收斂于原方程組的解。我們稱這個(gè)過(guò)程為雅克比迭代在求解偏微分方程時(shí)，線性方程組經(jīng)常多達(dá)10000個(gè)變量。這些方程組的系數(shù)矩陣是稀疏矩陣，這時(shí)用迭代過(guò)程是求解這些大型方程組的有效方法。定理5.1 設(shè)有維矩陣A，如果 其中k=1，2，N，則稱A具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)。 這表示在矩陣的每一行中，主對(duì)角線上的元素的絕對(duì)值大于其他元素的絕對(duì)值的和?，F(xiàn)在使雅克比迭代過(guò)程一般化。設(shè)有如下線性方程組： 設(shè)第k點(diǎn)為，則下一點(diǎn)為。坐標(biāo)的上標(biāo)（k）可用來(lái)標(biāo)識(shí)屬于這一點(diǎn)的坐標(biāo)。迭代公式根據(jù)前面的值，使用上面的線性方程組中的第j行求解式。雅克比迭代：=其中j=1，2，N。 雅克比迭代使用所有舊坐標(biāo)來(lái)生成新坐標(biāo)，而我們下面介紹的高斯-賽德?tīng)柕M可能使用新坐標(biāo)得到更新的坐標(biāo)。定理5.2（雅克比迭代） 設(shè)矩陣A具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，則AX=B有唯一解X=P。迭代式可產(chǎn)生一個(gè)向量序列，而且對(duì)于任意初始向量，向量序列都將收斂到5.2 高斯-塞德?tīng)柕c收斂性有時(shí)通過(guò)其他方法可以使收斂速度加快。我們觀察雅克比迭代。由于比更加接近于x，所以在計(jì)算時(shí)用來(lái)替換是合理的，同理，可以用和計(jì)算，這種迭代方法就是高斯-賽德?tīng)柕覀冞\(yùn)用式中給定的一般線性方程組有： 其中j=1，2，N。例題：利用上面給的線性方程組用高斯-賽德?tīng)柕^(guò)程求解 如果從P0=（x0，y0，z0）=（1，2，2）開(kāi)始，用上式中的迭代可收斂到解（2，4，3）我們把計(jì)算結(jié)果列表得：KXkYkZk 0 1.0 2.0 2.0 1 1.75 3.75 2.95 2 1.95 3.96875 2.98625 3 1.995625 3.99609375 2.99903125 8 1.99999983 3.99999988 2.99999996 9 1.99999998 3.99999999 3.00000000 10 2.00000000 4.00000000 3.00000000 下面我們來(lái)探討收斂性：比較向量之間的距離是很重要的，它可以用來(lái)判斷是否收斂到P。P=(x1,x2,xn)和Q（y1,y2,yn）之間的歐幾里得距離為它的缺點(diǎn)是需要相當(dāng)大的計(jì)算量，因此引入另一種范數(shù)，： 下面的結(jié)論保證了上述范數(shù)具有度量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因此適合作為一個(gè)一般化的距離公式。根據(jù)線性代數(shù)的理論可知，如果兩個(gè)向量的范數(shù)接近，則它們的歐幾里得范數(shù)也接近定理5.3 設(shè)X和Y是N維向量，c是一個(gè)標(biāo)量。則函數(shù)有如下性質(zhì)： ； =0，當(dāng)且僅當(dāng)X=0 ； 。上面很容易證明，我們證一下最后一個(gè)。證明：對(duì)于每個(gè)j，實(shí)數(shù)的三角不等式表示為。根據(jù)這些不等式可以得證上述不等式?？梢杂弥械亩x的范數(shù)來(lái)定義兩點(diǎn)之間的距離定義5.1 設(shè)X和Y是N維空間中的中點(diǎn)?？啥xX和Y的距離為范數(shù)，表示為 例題：計(jì)算點(diǎn)P=（2，4，3）和Q=（1.75，3.75，2.95）的歐幾里得距離和距離解：歐幾里得距離為=0.3570 距離為=0.55 更容易計(jì)算，常用來(lái)確定N維空間的收斂性第六章 非線性方程組的迭代法6.1 理論與廣義微分定義6.1（雅克比矩陣） 設(shè)和是包含自變量x和y的函數(shù)，則它們的雅克比矩陣J（x，y）表示為 同理如果，是包含自變量x，y，z的函數(shù)，則雅克比矩陣J（x，y，z）定義為 。 例題：對(duì)下列函數(shù)求解在點(diǎn)（1，3，2）處的維雅克比矩陣J（x，y，z） 解：雅克比矩陣為 這樣在點(diǎn)（1，3，2）處的雅克比矩陣為矩陣下面介紹廣義微分對(duì)于含多個(gè)變量的函數(shù)，微分用來(lái)表示自變量的變化情況如何影響因變量。設(shè)有如下表達(dá)式， ， 設(shè)已知表達(dá)式中函數(shù)在點(diǎn)處的值，現(xiàn)在希望可以預(yù)測(cè)在臨近點(diǎn)（x，y，z）處的值。設(shè) 。如果使用向量表示，則關(guān)系式可通過(guò)雅克比矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化。函數(shù)的變化用表示，變量的變化用表示。6.2 接近不動(dòng)點(diǎn)處的收斂性定義6.2 包含2個(gè)方程， 的方程組的不動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)（p，q），滿足。在三維情況下，方程組，的不動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)（p,q,r）滿足定義6.3 對(duì)于方程組中的函數(shù)，不動(dòng)點(diǎn)迭代為 ， 對(duì)于方程組中的函數(shù)，不動(dòng)點(diǎn)迭代為 ， 其中k=0，1定理6.1（不動(dòng)點(diǎn)迭代）設(shè)方程組中的函數(shù)和它們的一階偏導(dǎo)數(shù)分別在包含（p，q）或（p，q，r）的區(qū)域內(nèi)連續(xù)。如果初始點(diǎn)值足夠接近不動(dòng)點(diǎn)，則有下面2種情況（二維）如果足夠接近（p，q）而且 則迭代收斂到不動(dòng)點(diǎn)（p，q）（三維）如果足夠接近（p，q，r），而且 則迭代將收斂到不動(dòng)點(diǎn)（p，q，r）如果上述條件不滿足，則迭代可能發(fā)散6.3 賽德?tīng)柕ㄅc牛頓法現(xiàn)在可以構(gòu)造一個(gè)與高斯-賽德?tīng)柗愃频母倪M(jìn)型不動(dòng)點(diǎn)迭代法，設(shè)用計(jì)算（在三維情況下，用和，計(jì)算），并將這些改進(jìn)融入公式和中時(shí)，這個(gè)方法稱為賽德?tīng)柕?以及 下面我們把牛頓法擴(kuò)展到二維空間設(shè)有方程組 它意味著從xy平面到w平面的轉(zhuǎn)換。這里只關(guān)心在點(diǎn)處的變換行為，即點(diǎn)。如果兩個(gè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)，則在點(diǎn)處用微分表示下列線性近似方程組是合法的 方程組是一個(gè)局部線性變換，它將