微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明

1、.1 曲面的概念r= u cos v ,usin v , bv 的坐標(biāo)曲線 .1. 求正螺面 rr000 = 0,0 ，bv 0 u 00，解 u- 曲線為 r =ucos v,u,bv,0sin vcos v, sin vr= u0 cos v , u0sin v ,bv 為圓柱螺線為曲線的直母線； v- 曲線為 rr證明雙曲拋物面 r a（ u+v）, b （u-v ）,2uv 的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。ra（u+v0 ）, b（u- v0 ）,2u v0 =a v0 ,b v0 ,0+ ua,b,2v0 證 u- 曲線為 r =表示過(guò)點(diǎn) a v0 , b v0 ,0以 a,b,2v0 為

2、方向向量的直線 ;r）（ u 0）u 0u 0u 0v- 曲線為 r =a（uv=a u0 , b,00 +v, b-v ,2+va,-b,2表示過(guò)點(diǎn) (a u0 , b u 0 ,0)以 a,-b,2 u 0 為方向向量的直線。rsin, a cossin , a sin 上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。3求球面 r = a cos解 r =, a sinsin, a cos， r =a cossin, a cos cos,0 a sin cosxa coscosya cossinza sin任意點(diǎn)的切平面方程為a sincosa sinsina cos0a cossina coscos0即 x

3、cos cos + ycossin+ zsin- a = 0；.法線方程為x a cos cosy a cossinza sin。coscoscos sinsin4求橢圓柱面 x2y21 在任意點(diǎn)的切平面方程， 并證明沿每一條直母線， 此a2b2曲面只有一個(gè)切平面。解 橢圓柱面x2y21 的參數(shù)方程為x = cos, y = asin, z = t ,a2b2r a sin,b cos,0,rt0,0,1 。所以切平面方程為：x a cosyb sinzta sinb cos00 ，即 x bcos+ y asin a b = 0001此方程與 t 無(wú)關(guān)，對(duì)于的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面

4、，而的每一數(shù)值對(duì)應(yīng)一條直母線，說(shuō)明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面。5證明曲面 r u, v, a 3 的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常uv數(shù)。ru1,0,a 3， rv 0,1,a 3xyuv3證u2 vuv 2。切平面方程為：uva 3 z。與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 (3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2) 。于是，四面體的體積為：uvV1 3| u | 3 | v | 3a39 a3 是常數(shù)。6| uv |2 曲面的第一基本形式1.r a（ u+v）, b （u-v ） ,2uv的第一基本形式 .求雙曲拋物面 r解ru , ,2 ,a, ,2 ,2a2b24

5、v2,a b v rvb u E ru.Frurva2b 24uv, Grv2a 2b 24u 2 ,錯(cuò)誤!未找到引用源。=(a 2b24v 2 )du 22 (a 2b 24uv)dudv( a2b 24u2 ) dv 2 。rsin v , bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互求正螺面 r = u cos v ,u相垂直。解rucos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b， Eru21 ， F ru rv 0，Grv2u 2b 2 ，錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 = du 2(u2b 2 )dv 2 ，坐標(biāo)曲線互相垂直。在第一基本形式為 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 =

6、 du 2sinh 2udv 2的曲面上，求方程為 u = v 的曲線的弧長(zhǎng)。解 由條件 ds2du 2sinh 2 udv 2 , 沿曲線 u = v有 du=dv，將其代入 ds2 得ds 2du 2sinh 2 udv 2 = cosh2vdv2 ，ds = coshvdv ,在曲線 u = v 上，從 v1 到 v 2 的v2cosh vdv | | sinh v2sinh v1 | ?；￠L(zhǎng)為 |v14設(shè)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 =du 2(u 2a 2 )dv 2 ，求它上面兩條曲線 u + v = 0 ,uv = 0 的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的

7、內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量 E1，F(xiàn)v0 ，u2a2 ，G曲線 u + v = 0 與 u v = 0 的交點(diǎn)為 u = 0,v = 0, 交點(diǎn)處的第一類基本量為 E1 ，F(xiàn)v0 ， G a 2 。曲線 u + v = 0的方向?yàn)?du = -dv , u v = 0的方向?yàn)?u= v ,設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos =Edu uGdv u1a 2。G v 2 1a 2Edu2Gdv2E u 25求曲面 z = axy 上坐標(biāo)曲線 x = x 0,y = y0 的交角 .r坐 標(biāo) 曲 線 x

8、= x 0的向 量表 示為解 曲面 的向 量表 示 為 r =x,y,axy,r,y,ax 0 y ，其切向量 r y =0 ，1，ax 0r=x ,r = x 0 ；坐 曲 y = y0 的向量表示 ry0 ,ax y 0 ，其切向量 rx =1 ，0，a y0 ， 兩曲 x = x 0 與 y = y0的 角 ， 有 cosr x r ya 2 x0 y0=| r x | r y |1 a 2 x02 1 a2 y026. 求 u- 曲 和 v- 曲 的正交 的方程 .解 于 u- 曲 dv = 0, 其正交 的方向 u: v , 有Edu u + F(du v + dv u)+ G d

9、v v = 0, 將 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲 的正交 的微分方程 E u + F v = 0 .同理可得 v- 曲 的正交 的微分方程 Fu + G v = 0 .7. 在曲面上一點(diǎn) , 含 du ,dv 的二次方程 Pdu 2 + 2Q dudv + R dv 2 ，確定兩個(gè)切方向（ du ：dv）和（ u ：v）， 明 兩個(gè)方向垂直的充要條件是 ER-2FQ+ GP=0. 明因 du,dv 不同 零，假定 dv0， 所 二次方程可寫成 P( du ) 2 +u ,u = R ， du +u =dv2Qdu + R=0 , 其二根 du ,則 du2Q 錯(cuò)誤 ! 未找到引

10、dvdvvdvvPdvvP用源。又根據(jù)二方向垂直的條件知E du u+ F(du +u )+ G = 0 錯(cuò)誤 ! 未找dvvdvv到引用源。將 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 代入 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 明曲面的坐 曲 的二等分角 的微分方程 Edu 2 =Gdv 2 . 用分 用、d 表示沿 u曲 ，v曲 及其二等分角 的微分符號(hào)，即沿 u曲 u， v，沿 v曲 ，v沿二等分角 u 方向 du:dv ,根據(jù) 條件 , 又交角公式得(Edu v Fdv u) 2(Fdu v Gdv v)2( Edu Fdv) 2( Fdu Gdv)2E u 2

11、ds2G v 2 ds 2，即EG。.展開并化簡(jiǎn)得 E(EG-F22=G(EG-F2) dv2, 而 EG-F2，消去2得坐標(biāo)曲線) du0EG-F的二等分角線的微分方程為 Edu 2 =Gdv 2 .9設(shè)曲面的第一基本形式為錯(cuò)誤 ! 未找到引u=avu用源。 =du 2(u 2a 2 ) dv 2 ，求曲面上三條曲線V=1u = a v, v =1相交所成的三角形的面積。vo解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三角形的面積是u=-av01a1S=u2a 2 dudvu 2a 2 dudvau0uaaa1au )=2u 2a 2 dudv =2(1u2a 2 du0u0aa2 (u

12、23=a 2 ) 2uu 2a2a 2 ln( uu 2a 2 ) |0a3a= a 2 22ln(12 )。3rsin, a cos sin, a sin 的面積。10求球面 r = a cos解 r=cos, a sinsin, a cos ， r =a cossin, a cos cos ,0 asinE = r 2 = a 2 ,F= rr = 0 , G =r 2 = a 2 cos2. 球面的面積為：2S = 2da 4 cos2 d2 a2 2 cos d2 a 2 sin |24 a 2 .202211.rr,tsin, t21 證明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和

13、旋轉(zhuǎn)曲面 r =tcos(t1, 02) 之間可建立等距映射=arctgu + v , t=u 21.分析 根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件, 要證以上兩曲面可建立等距映射= arctgu+ v , t= u2 1 , 可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù) , 然后證明在新的參數(shù)下 , 兩曲面具有相同的第一基本形式 .證明 螺面的第一基本形式為 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。=2du 2 +2 dudv+( u 2 +1) dv 2 ,旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 = (1t 2)dt 2t 2 d , 在旋轉(zhuǎn)曲t21面上作一參數(shù)變換=arctgu + v

14、 , t =u 21 , 則其第一基本形式為 :(1u 21)u21du 2(u 21)(12 dudv )2u 2u21u=( u 2 211)du 212 du 22dudv(u21)dv 2 =2 du 2 +2 dudv+( u 2 +1) dv 2 = 錯(cuò)誤 !u1 u未找到引用源。.所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu + v , t =u21 .3 曲面的第二基本形式1.r的第一基本形式 , 第二基本形式 .計(jì)算懸鏈面 r =coshucosv,coshusinv,u解ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv =-coshusinv,coshucos

15、v,0ruu =coshucosv,coshusinv,0,ruv =-sinhusinv,sinhucosv,0,r vv =-coshucosv,-coshusinv,0,Eru2 = cosh 2 u, Frurv =0, Grv2 =cosh2 u.所以錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。= cosh 2 udu2 + cosh 2 u dv2 .rurv=1 cosh u cos v, cosh u sin v, sinh u sin v ,n =2EGF 2coshu.L=coshu1 , M=0, N=coshu=1 .sinh 2sinh211所以錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 = - du 2

16、 + dv2 。2.計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的2x35x124x1 x2 2 x22 第一基本形式 , 第二基本形式 .解 曲面的向量表示為 r x1 , x2 ,5x122x1 x2x22 ,2r x11,0,5x12x2 (0 ,0)1,0,0 ,rx2 0,1,2x12x2 (0 ,0 ) 0,1,0 ,rx1 x1 0,0,5 ,r x1 x2 0,0,2, r x2 x2 0,0,2 , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 = dx12dx22 , 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 =5dx124dx1 dx22dx22

17、.3.r證明對(duì)于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv,- u,v 處處有 EN-2FM+GL=0。解r ucos v, sin v,0, r v u sin v, u cos v ,b， ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0,rvv =-ucosv,-usinv,0,E ru21 ， Frurv 0 ，Grv2u 2b 2 ， L= 0, M =b, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2b 24.求出拋物面 z1 (ax 2by2 ) 在 (0,0)點(diǎn)沿方向 (dx:dy)的法曲率 .2解 r x1,0, ax ( 0, 0)1

18、,0,0 , r y 0,1, by ( 0, 0) 0,1,0 , r xx 0,0, a , rxy 0,0,0r yy 0,0, b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b, 沿方向 dx:dy 的法曲率knadx2bdy 2dx2dy2 .5.已知平面 到單位球面 (S) 的中心距離為d(0d1), 求與(S) 交線的曲率與法曲率 .解 設(shè)平面 與(S)的交線為 (C),則 (C) 的半徑為 1 d 2, 即 (C) 的曲率為.k1, 又 (C) 的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于1 d 2 , 所以1d 2(C) 的法曲率為 knk 1 d 2=1 .6.利用法曲率公

19、式 knII, 證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基I本量成比例。證明 因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑 R 的倒數(shù) 1/R。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v) ，沿任意方向 du:dvk nIILdu 22MdudvNdv 21 或 - 1，所以 LMN (1 ) ，即第一、第二IEdu 22FdudvGdv 2RREFGR類基本量成比例。7求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。r證明對(duì)于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv ，r ucos v,sin v,0, rv u sin v ,u cos v, b ， ru

20、u=0,0,0， r vv=-ucosv,-usinv,0，L=(ru , rv , ruu ) =0, N=(ru , rv , rvv )=0 . 所以 u 族曲線和 v 族曲線都是漸近線。而uEG F 2EGF 2族曲線是直線， v 族曲線是螺旋線。8. 求曲面 z xy 2的漸近線 .解 曲面的向量表示為 r x, y, xy 2 , rx1,0, y 2 ,r y 0,1,2xy, r xx 0,0,0 ,r xy 0,0,2y, r yy 0,0,2x, Erx21 4 y 4 , Frx r y2xy 2 , Gr y214x 2 y 2 .L2 y, N2x.0, M1 4x

21、2 y 21 4x 2 y 2y 4y 4漸近線的微分方程為 Ldx 22Mdxdy Ndy 2 , 即 4 ydxdy2xdy 20, 一族為 dy=0,即yc1 , c1 為常數(shù) . 另一族為 2ydx=-xdy, 即 ln x 2 y c2 ,或 x2 yc, c為常數(shù) . .9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線 .證 在每一條曲線 (C) 的主法線曲面上 , 沿 (C) 的切平面是由 (C) 的切向量與 (C) 的主法向量所確定的平面 , 與曲線 (C) 的密切平面重合 , 所以每一條曲線 (C) 在它的主法線曲面上是漸近線 .方法二：任取曲線: rrrr (s) ，它的主法

22、線曲面為 S : rr (s,t)rr (s)tr(s) ，r sr (s)rrrr )(1 t ) rr ， r trrt) rt &(s)t(t， r str(1t上， t = 0 ,rrrrrrrrr在曲線st，即，st, 曲面的單位法向量nEGF 2n所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線 .10. 證明在曲面 z=f(x)+g(y) 上曲線族 x=常數(shù) , y= 常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng) .證 曲面的向量表示為r常數(shù) ,y= 常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。r =x,y, f(x)+g(y),x=r x1,0, f ,r y 0,1, g .r0,0,rr,rxxf, rxy 0,0,0, ryy0,0, g

23、rrr因?yàn)?Mrxry0 , 所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族x= 常數(shù) , y=常數(shù)rxyEGF2構(gòu)成共軛網(wǎng)。r11. 確定螺旋面 r =u cosv ,u sin v ,bv 上的曲率線 .解rucos v, sin v,0,r v u sin v, u cos v, b，ruu =0,0,0，r vv=-ucosv,-usinv,0，ruv =-sinv,cosv,0,E ru21， Frurv0，Grv2u 2b 2 ， L=0, M=b, N=0,曲率線的微分方程為 :u 2b 2dv 2dudvdu 2110u 2b20 , 即 dvdu , 積分得兩族曲率線方程 :0b0u 2b

24、 2u 2b 2v ln( uu 2b 2 ) c1 和v ln( u 2b 2u) c2 .12.求雙曲面 z=axy 上的曲率線 .解E1a 2 y2 , Fa 2 x 2 y 2 , G1a 2 x2 , L0, Ma, N=0 .1a 2 x 2a 2 y2dy2dxdydx2由 1 a 2 x 2a 2 x2 y 21 a 2 x2 =0 得 (1 a 2 y2 )dx 2(1 a 2 x 2 )dy 2 , 積分0a012x2a2 y2a得兩族曲率線為 ln(ax1a 2 x2 )ln( ay 1a2 y 2 )c .13. 求曲面 r a (uv), b (uv), uv 上的曲

25、率線的方程 .222解Ea 2b 2v 2, Fa 2b2uv ,Ga 2b 2u 2, L 0,444abM=2,N=0. 代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是:EGF 2(a 2b2u 2 )dv 2(a 2b2v 2 )du 2 , 積分得 :ln( ua 2b2u 2 )ln( va2b 2v 2 )c .14. 給出曲面上一曲率線 L, 設(shè) L 上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角 , 求證 L 是一平面曲線 .證法一：因 L 是曲率線 , 所以沿 L 有 dnn dr , 又沿 L 有?n =常數(shù) , 求微商得nn0,而 n / dn / dr 與 正交 , 所以n0

26、, 即 - n =0, 則有=0, 或 n =0 .若=0, 則 L 是平面曲線；若n =0 ，L 又是曲面的漸近線， 則沿 L ， n =0 ，這時(shí) dn = 0 ， n 為常向量，而當(dāng)L 是漸近線時(shí)，=n ，所以為常向量， L 是一平面曲線 .證法二：若n ，則因 nrr，所以 n rdr，所以 d n &，由伏雷內(nèi)公式知 d n （rr=0, 從而）而 L 是曲率線，所以沿 L 有 dn r ，所以有曲線為平面曲線；rrr若 不垂直于n ， 則有? n =常數(shù) , 求微商得&n&因?yàn)?L 是曲率線，所n 0,rrrr，所以&0，所以 n0 ，即 - n =0 ，若=0，則以沿 L 有 d

27、n drn問(wèn)題得證；否則rr0 ，有 n rr（ -）r， n =0 ，則因 n， dn d矛盾。15如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角， 即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。16 求正螺面的主曲率。r解 設(shè)正螺面的向量表示為r =u cosv ,u sin v ,bv.解 r ucos v,sin v,0, rvu sin v ,u cos v, b ， ruu=0,0,0，r vv=-ucosv,-usinv,0， ruv=-sinv,cosv,0,Eru21， F ru rv0 ，Grv2u 2b 2 ，

28、 L= 0, M =b, N = 0,代入主曲率公式u2b 2（ EG-F2 ）2（）N + LN- M2= 0得2=a 2。N -LG-2FM+ENNa 2 ) 2(u 2所以主曲率為aa1u 2a 2 , 2u 2a 2 。17確定拋物面 z=a( x 2y 2 ) 在（ 0， 0）點(diǎn)的主曲率 .r0,0, 2 r22r1,0, 2 r0,1, 2ay ，解 曲面方程即 ryya，y )，axryr x, y, a(xrx.rrxx0,0, 2a ，rrxy0,0,0,rryy0,0, 2a。在（0，0）點(diǎn) ,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a . 所以N2 -4aN +4 a 2 =0 ，兩主曲率分別為1 = 2 a ,2 = 2 a .