第3節(jié) 等比數列及其前n項和

1、2021新亮劍高考總復習數列第六章第3節(jié)等比數列及其前n項和1磨劍課前自學目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄 4最新考綱考向分析1. 理解等比數列的概念.2. 掌握等比數列的通項公式與前 n項和公式.3. 能在具體的問題情境中識別數列的等比關系,并能用等比數列有關知識解決相應的問題.4. 了解等比數列與指數函數的關系以下幾種形式在考題中出現的頻率很高:(1)等比數列基本量的計算;(2)等比數列性質的應用;(3)等比數列的判斷與證明;(4)等比數列與等差數列的綜合高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、等比數列的有關概

2、念1.等比數列一個數列從第 2項起,每一項與它的前一項的比等于 同一常數(不為零),那么這個數列就叫作等比數列.這個常數叫作等比數列的 公比,通常用字母 q 表示,定義的表達式為 +1 =q.2.等比中項如果 a,G,b 成等比數列,那么 G叫作 a 與 b 的等比中項.即 G 是 a 與 b 的等比中項G2=ab(ab0) a,G,b 成等比數列.5高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、等比數列的有關公式a1qn-1 1.通項1,1- 2.前 n 項和公式:Sn= 1 (1- ) = 1-( 1-6高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄三、等比數列的常用性質1.通項公式的推廣:an=amqn-m

3、(n,mN*).2aa =a a =2. 若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN ),則 .* mnpq 1 若數列a ,b (項數相同)是等比數列,則依23.a (0),a b , nnnnn然是等比數列.4.在等比數列an中,等距離取出若干項也構成一個等比數列,即qk an,an+k,an+2k,an+3k,為等比數列,公比為.7高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄5.若列,其公比為qn 6.(單調性)等比數列an滿足 1 遞增 1 0,1 0,足或 時,an是 遞減 數列. 0 18高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄1. 由 an+12. 在運用等比數列的前 n忽略 q=1 這一特

4、殊情形而導致解題出錯.9高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【概念辨析】判斷下列結論的正誤.(對的打“”,錯的打“”)(1) 滿足 an+1=qan(nN*,q 為常數)的數列an為等比數列.(2) G 為 a,b 的等比中項G2=ab.(3) 若an為等比數列,bn=a2n-1+a2n,則數列bn也是等比數列.()(1-)(4)數列的通項公式是則其前 n 項和為 S =na a =a ,.()nnn1-解析(1)錯誤,例如 q=0;(2)錯誤,例如 G=a=0;(3)錯誤,例如an=(-1)n;(4)錯誤,例如 a=1.答案解析10目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識

5、【基礎自測】1.在等比數列an中,Sn 為其前 n 項和,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比 q 等于().AA.3B.-3C.-1D.1解析兩等式相答案解析11目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識2.等比數列an的前 n 項和為 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,則 a1=(C).A.1B.-1C.1D.-13399解析設數列an的公比為所以 a5=a1q4=81a1=9,得 a1=1.9答案解析12目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識3.若數列an滿足 a4=27,an+1=-3an(nN*),則 a1=(C).A.1B.3C.-1D.-3解析由題意知數列an是以-3 為

6、公比的等比數列,a4=a1(-3)3=27,a1= 27 =-1.故選 C.(-3)3答案解析13目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【易錯檢測】4.等比數列an滿足對任意 nN*,2(an+2-an)=3an+1,an+1an,則公比q= 2.解析由又 an+1an, 故 q=2.答案解析14目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識5.數列an是以 a 為首項,q 為公比的等比數列,數列bn滿足 bn=1+a1+a2+an,數列 cn=2+b1+b2+bn.若cn為等比數列,則 a+q= 3.解析等比數列,由題意知 q1.因為數列an是以 a 為首項,q 為公比的 -,所 以 b =1+n1-1-

7、(1- )=2-+(1-+) + +1,所 以 c =2+ 1 + n-n(1-)2(1-)21-1-1-1-=0 且1-+ =0,要使cn為等比數列,則 2-所以 a=1,q=2,則 a+q=3.(1-)21-答案解析1516目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄考點 1等比數列基本量的計算 例 1(1)已知等比數列an為遞增數列,且2=a10,2(an+an+2)=5an+1,則數列an5的通項公式為 an=2n. (2)在等差數列an中,公差 d0,a2 是 a1 與 a4 的等比中項,已知數列3n+1 a1,a3,1 ,2 , ,是等比數列,則數列kn

8、的通項公式為 kn=.答案答案解析17考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)設數列an的公比為 q,則 2(an+an+2)=5an+12q2-5q+2=0q=2 或 q=1.2由2=a10=a1q90 得 a10,5又數列an為遞增數列,所以 q=2.又由2=a10(a1q4)2=a1q9a1=q=2,5所以數列an的通項公式為 an=2n.18考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄(2)設 an=a1+(n-1)d,由題意知2=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),得 d2=a1d.2因為 d0,所以 d=a1,故 an=nd.由已知得 d,3d,k1d,k2d,knd,是等比數列.因

9、為 d0,所以數列 1,3,k1,k2,kn,也是等比數列,且其首項為 1,公比為 q=3,由此得 k1=9,所以數列kn是以 9 為首項,3 為公比的等比數列,所以 kn=93n-1=3n+1.即數列kn的通項公式為 kn=3n+1.19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：(1)等比數列的通項公式與前 n 項和公式共涉及 a1,an,q,n,Sn 五個量,已知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)運用等比數列的前 n 項和公式時,注意對 q=1 和 q1 進行分類討論. 20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 1】1.已知等比數列an的前 n 項和為 Sn,a1+a3=

10、5,且 a2+a4=5,則 =().D 24A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析設等比數列的公比為 q,5 ,(1 + 2) = 2,1 1由題意得 解得 21 ,5 , =q(1 + 2) =21答案解析41- 1 -1=1 (2 -1),所以 =2n-1.故選 D.111則 a =a 2=,S = n1n1 -1 -121-222 21考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知 Sn 是各項均a8= 128.解析a2a4=2=16,3a3=4 或 a3=-4(舍去).a3=a1q2=4,S3=7,q1,4)= 2(1+q)(1-q)2(1-S =1=3,2答案解析1-1-3q2

11、-4q-4=0,解得 q=-2(舍去)或 q=2.3a1=1,a8=27=128. 22考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2等比數列的判定與證明考向 1:等比數列的判定例 2已知數列an的前 n 項和為 Sn,且 Sn=k(qn-1)+t(n2-n)(q0 且 q1,tR),則下列說法錯誤的是(D ).A. 若an是等差數列,則 k=0B. 若an是等比數列,則 t=0 C.若an不是等差數列,則 k0D.若an不是等比數列,則 t0解析答案23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析an=Sn-Sn-1=k(qn-1)+t(n2-n)-k(qn-1-1)-t(n-1)2-(n-1)=k(q-1)q

12、n-1+t(2n-2).對于選項 A,因為an是等差數列,q0 且 q1,所以 k=0;反之,若 k=0,則Sn=t(n2-n),此時 an=t(2n-2),an為等差數列.所以 A,C 均正確. =(-1) -1 +t(2n-2)一定是不為 0 的對于選項 B,因為a 是等比數列,所以n(-1) -2 +t(2n-4) -1常數,所以 t=0;反之,若 t=0,則 an=k(q-1)qn-1,當 k=0 時,an不是等比數列,故 B 正確,D 不正確.故選 D.24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:等比數列的證明例 3已知數列an滿足 a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an.

13、(1) 求證:數列an+1-2an是等比數列.(2) 求數列an的通項公式.解析(1) 由 an+2=4an+1-4an, 得 an+2-2an+1=2an+1-4an=2(an+1-2an)=22(an-2an-1)=2n(a2-2a1)0, +2 -2 +1=2,an+1-2an是等比數列. +1 -2(2)由(1)可得 an+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n, +1 - =1,2 +1 2211是首項為 ,公差為 的等差數列,=,即 an=n2n-1. 解析2222225考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：證明或判斷一個數列為等比數列常用定義法與中項公式法,其他方法只用于選

14、擇、填空題中的判定;若證明某數列不是等比數列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可.利用遞推關系時要注意對 n=1 時的情況進行驗證. 26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 2】1.在公比 q 為整數的等比數列an中,Sn 是數列an的前 n 項和,若a1+a4=18,a2+a3=12,則下列說法錯誤的是(A. q=2B. 數列Sn+2是等比數列C.S8=510D.數列l(wèi)g an是公差為 2 的等差數列D ).解析答案27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解3所以1+=1=+21222(1-2)nn+1a =2,a =2 ,S =2-2,1nn1-2 +1+2=2,所以Sn+2是等比數列

15、,B 正確; +2又 lg an+1-lg an=lg +1 =lg 2,所以數列l(wèi)g an是公差為 lg 2 的等差數列,D 錯誤.28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.在數列an中,2+2an+1=anan+2+an+an+2, 且 a1=2,a2=5.+1(1) 證明:數列an+1是等比數列.(2) 求數列an的前 n 項和 Sn.解析(1)2+2an+1=anan+2+an+an+2,+1(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1),即 +1 +1= +2 +1. +1 +1 +1a1=2,a2=5,a1+1=3,a2+1=6,2 +1=2,1 +1數列an+1是以 3 為首項,2

16、 為公比的等比數列.(2)由(1)知,an+1=32 n-1,解析答案3(1-2)n-1na =32-1,S =-n=32-n-3.nn1-229考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點3等比數列的性質及其應用例 3A.7(1)已知an為等比數列,a4+a7=2,a5a6=-8,則 a1+a10=().D B.5C.-5D.-7(2)在等比數列an中,a1=2,前 n 項和為 Sn,若數列an+1也是等比數列,則 Sn 等于()C A.2n+1-2D.3n-1B.3nC.2n解析答案30考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄+ 7 = 2,= 4,= -2.(1) 由 44= -2,或解得 4解析 = -8

17、,56 = 477 = 47= - 1 ,33= -2,或 21= 11 = -8.a1+a10=a1(1+q9)=-7.(2)設數列an的公比為 q,則 an=2qn-1,數列an+1也是等比數列,(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)2+2an+1=anan+2+an+an+2+1an+an+2=2an+1an(1+q2-2q)=0q=1, 即 an=2,Sn=2n. 31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：(1)在解決等比數列的有關問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質,特別是性質“若 m+n=p+q,則 aman=apaq”,可以減少運算量,提高解題速度.(2) 在應用相應

18、性質解題時,要注意性質成立的前提條件,有時需要進行適當變形.此外解題時要注意設而不求思想的運用.(3) 等比數列的項經過適當的組合后組成的新數列也具有某種性質,例如在等比數列中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,也成等比數列,公比為 qk(q-1). 32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 3】1.已知等比數列an的前 n 項積為 Sn,若 a3a4a8=8,則 S9=(A ).A.512B.256C.81D.16解析所以 S9=a1a2a3a9=(a1故選 A.9解析答案33考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知各項均為正數的等比數列an的前 n 項和為 Sn,若 S10=10,S3

19、0=70,則 S40=(A ).A.150B.140C.130D.120解析在等比數列an中,由 S10=10,S30=70 可知 q-1,所以 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 構成公比為 q10 的等比數列.所以(S20-S10)2=S10( S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),解得 S20=30 或 S20=-20(舍去).所以20 -10 =30-10=2=q10,所以 S40-S30=2(S30-S20)=80,1010解析答案所以 S40=S30+80=150,故選 A.34考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數算方程思想在等比數列中的應用

20、方程的思想:等比數列中有五個量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關鍵量 a1 和 q,問題可迎刃而解.例在各項均為正數的等比數列an中,公比 q(0,1),若 a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,12數列bn的前 n 項和為 Sn,則當+取最大值時,n 的值為(D). 12A.8B.9C.17D.89解析答案35考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3 + 5 = 5,= 4,= 1,3解析由題意可知 a3a5,由等比數列的性質可得 26= 4,解得 = 355 ,35124= 4,= 1,= 16,-11 11解得 a =a qn-1=165-n=2,

21、b =log a =5-n, 1n1n2n =,20 1,2 (4+5-)=9- 2,則數列b 是以 4 為首項,-1 為公差的等差數列,S =nn22 =9-,數列1 是以 4 為首項,-為公差的等差數列,229- 4+1 +2 + = =2(17-)1172892=- -+,12244216因此當 n=8 或 n=9 時,1 +2 + 取最大值,故選 D.答案12 36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓已知an為遞增的等比數列,a4D 7A.15D.35B.5C.626解析設數列an的公比為 q,因為 a5a6=6,所以 a4a7=6,又由 a4+a7=5,且 a40),1 (1-4

22、) = 15,=所以由題意得 解得 a1=1,q=2,41-1 4= 312 + 41,所以 a3=4.解析答案38考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄12.(2019 年全國卷)記 S為等比數列a 的前 n 項和若2.a = ,=a ,nn1643121則 S5=. 31(1-35 )121解析因為所以a =1,q=3,所以2=a a ,S =.3262541-33解析答案39考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.(2018 年全國卷)記 Sn 為數列an的前 n 項和.若 Sn=2an+1,則S6= -63.解析當 n=1 時,a1=S1=2a1+1,a1=-1.當 n2 時,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-1(n2),則 a6