高一數(shù)學教案：課題§4.6.1兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)_

1、課題 4.6.1兩角和與差的余弦、正弦、正切( 一)教學目標( 一 ) 知識目標1. 平面內兩點間的距離公式；2. 兩角和的余弦公式 .( 二 ) 能力目標1. 掌握平面內兩點間的距離公式和兩角和的余弦公式；2. 能用以上公式進行簡單的求值.( 三 ) 德育目標1. 培養(yǎng)學生的應用意識；2. 提高學生的數(shù)學素質.教學重點余弦的和角公式及簡單應用教學難點余弦的和角公式的推導教學方法啟發(fā)引導式1. 引導學生建立一直角坐標系xoy，同時在這一坐標系內作單位圓o，并作出角 、與 ，使角 的始邊為 ox，交 o于點 p1，終邊交 o于點 p2；角 的始邊為 op2，終邊交 o于 p3，角 的始邊為 op

2、1，終邊交 o于點 p4. 并引導學生用 、 的三角函數(shù)標出點 p1、p2、 p3、 p4 的坐標 .( 這一過程也可用多媒體課件處理，讓學生仔細觀察作圖過程，并加以領會 .) 并充分利用單位圓、平面內兩點間的距離公式，使學生弄懂由距離等式p1p3 p2p4化得的三角恒等式， 并整理成為余弦的和角公式，從而克服本節(jié)課的重點.2. 強調兩角和的三角函數(shù)的意義，例如cos （ ）是兩角 與 的和的余弦，它表示角 終邊上任意一點的橫坐標與原點到這點的距離之比. 在一般情況下， cos（ ） cos cos ，并變換 、 的取值，以突出本節(jié)課的重點 . 教具準備幻燈片三張第一張：（4.6.1 a）第二

3、張：（ 4.6.1 b）第三張：（4.6.1 c ）練習題：1. 求下列三角函數(shù)值 cos（ 45 30） cos105 第 1頁共 6頁2. 若 cos cos3 , cos()1，求 sin sin .43. 求 cos 23 cos 22 sin 23 sin 22的值 .4. 若點 p( 3，4) 在角 終邊上，點 q（ 1， 2）在角 的終邊上，求 cos（ ）的值 .教學過程 . 課題導入師：在這一章的第一部分咱們共同學習了任意角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)時，我們還常常會遇到這樣的問題：已知任意角 、的三角函數(shù)值，如何求 、 或 2 的三角函數(shù)值 ?即： 、 或 2的三角函數(shù)值與

4、、 的三角函數(shù)值有什么關系 ? . 講授新課( 打出幻燈片a，讓同學觀察)師：我們在初中已經求過數(shù)軸上兩點間的距離，下面請同學們回憶兩點間( 數(shù)軸上 ) 的距離是如何求得的?( 學生作答，老師板書)生： ( 口答 ) 數(shù)軸上兩點之間的距離就等于這兩點所表示的兩個數(shù)的差的絕對值.師： ( 板書 ) ab x2 x1師：那么，我們是否可以用點的坐標來求平面內任意兩點之間的距離呢?下面我們一起來看幻燈片 .( 結合圖形講解并推導出平面內兩點間的距離公式).師：在這個坐標平面內有兩點 p1（x1 ，1）， p2（x2， 2），不妨從點 p1， p2 分別作 x 軸的垂線 p1m1、 p2m2，與 x

5、軸交于點 m1（ x1， 0）， m2（ x2， 0）；再從點 p1，p2 分別作 軸的垂線 p11，p22，與 軸交于點 1（ 0，1），n2（ 0，2）. 直線 p11 與 p2m2 相交于點 q，那么： p1q m1m2 x2 x1， qp2 n1n2 2 1 .于是由勾股定理，可得 p1p2 2 p1q 2 qp2 222 x2x1 21由此可得平面內p1（ x1， 1）， p2（ x2， 2）兩點間的距離公式： p p (x2 _ x1 )2( y2 y1 )212師：用此公式可將坐標平面內任意兩點間的距離用其坐標求得.例如：平面內（ 2， 1）， （ 3， 5）ab則： ab(3

6、2)2(5 1) 217( 利用兩點間的距離公式，推導兩角和的余弦公式)師：接下來，我們繼續(xù)考慮如何運用兩點間的距離公式，把兩角和的余弦cos（ ）用 ， 的三角函數(shù)來表示的問題 .首先，我們來回憶一下三角函數(shù)的定義.生 ( 口答 ) ：設 是一個任意角， 的終邊上任意一點p 的坐標是（ x， ），它到原點第 2頁共 6頁的距離是 r (r| x |2| y |2x2y 20) 那么：sinyxy.; cos; tanxrr( 打出幻燈片 b，結合圖形講解并推導出兩角和的余弦公式)師：在直角坐標系xoy 內作單位圓 o，并作出角 ， 與 ，使角 的始邊為 ox，交o于點 p ，終邊交 o于點

7、p ；角的始邊為 op，終邊交 o于點 p ；角 的始邊為 op，12231終邊交 o于點 p4，則點 p1， p2， p3，p4 的坐標分別是：( 師生共答 ) ： p1（1， 0），p2（ cos ， sin ），p3（ cos （ ）， sin （ ），p4（ cos （ ）， sin （ ） .師 ( 板書 ) ：由兩點間的距離公式可得： p pcos() 12sin2()13 p2p4cos() cos 2sin() sin 2又由 p1p3 p2p4，得 cos （ ） 1 2 sin 2（ ） cos （ ） cos 2 sin （ ） sin 2生：展開并整理，得2 2cos

8、（ ） 22（ cos cos sin sin ）即： cos （ ） coscos sin sin 師：這一式子充分說明了兩角和的余弦cos （ ）與 ， 的三角函數(shù)cos ，cos ，sin ， sin 的關系 .即：兩角和的余弦公式為：cos（ ） coscos sinsin（ c（）這個公式對于任意的角， 都成立 .但要注意： cos （ ）是兩角 與 的和的余弦，它表示角 終邊上任意一點的橫坐標與原點到這點的距離之比 .例如：當,時,36cos()cos()cos2036coscoscoscos131362223 cos（ ） cos cos 即，不能把cos（ ）按分配律展開，應按

9、兩角和的余弦公式展開.如： cos() coscossinsin1331coscos6222033636236第 3頁共 6頁 . 課堂練習( 打出幻燈片c，讓學生板演練習)生： ( 板演 )解： cos （ 45 30） cos45 cos30 sin45 sin30 23216222222 cos105cos(6045 )cos 60 cos45 sin 60 sin 4512322622222師 ( 講評 ) ：從這兩道練習題可看出一些非特殊角的三角函數(shù)值可通過特殊角的三角函數(shù)值求得 .如：中 cos （45 30） cos75 62中 cos105 226275， 105角均非特殊角，

10、但其可化為兩特殊角之和，所以其余弦值不必通過查表，只要利用兩角和的余弦公式便可求出.另外， cos105 cos （ 180 75） cos75 生： 2 解：由 cos（ ） cos cos sin sin 得： sin sin cos cos cos（ ）將 cos cos 34cos （ ） 1 代入上式可得： sin sin 14師：這一練習提示我們應熟練掌握兩角和的余弦公式，以便靈活應用其解決一些問題.2生： 3 解： cos23 cos22 sin23 sin22 cos （23 22） cos45 2生： 4 解：由點 p（ 3，4）為角 終邊上一點；點q（ 1， 2）為角 終邊

11、上一點，得： cos 3 ， sin 4；55255.cos,sin55 cos （ ） cos cos sin sin （ 3） （ 2 5 )4）555第 4頁共 6頁(5 )2 555師：對于此類習題，首先要仔細分析題意，尋找突破口，以便求解. . 課時小結1. 平 面 內 p1 （ x1 ， 1 ） ， p2 （ x2 ， 2 ） 兩 點 間 的 距 離 公 式 ： p1p2 ( x2x1 ) 2( y2y1 ) 22. 兩角和的余弦公式：cos （ ） cos cos sin sin (c（ ） ）3. 以上兩公式的推導及應用 . . 課后作業(yè)( 一 ) 課本 p40 習題 4.63

12、.(3)(4)(6)(8)( 二 )1. 預習內容： p352. 預習提綱：(1) 將公式 c（ ） 中的 用 代替，看會得到什么新的結果?(2) 將公式 c中的 用代替，看會得到什么新的結果?（ ）2板書設計4.6.1兩角和的余弦兩角和的余弦公式及推導一、平面內兩點間的距離公式推導cos() cos cos若 p1（ x1， 1）， p2（ x2， 2）| ab|=| x2- x1|sinsin則| p1 p2 |(x2 x1 )2( y2 y1 )2三、例題講解復習回顧二、兩角和與差的三角函數(shù)數(shù)軸上兩點間距離備課資料1. 下列命題中的假命題 是 ( )a. 存在這樣的 和 的值，使得cos （ ） cos cos sin sin b. 不存在無窮多個和 的值，使得cos （ ） cos cos sin sin c. 對于任意的 和 ，都有cos （ ） cos cos sin sin . 不存在這樣的 和 值，使得cos （ ） cos cos sin si