01屆 普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷（上海卷）(附解答)

1、絕密啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（上海卷）數(shù)學(xué)考生注意：本試卷共有22道試題，滿(mǎn)分150分一、填空題（本大題滿(mǎn)分48分）本大題共有12題只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律是零分1函數(shù)的反函數(shù)_2若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足方程（是虛數(shù)單位），則=_3函數(shù)的最小正周期為_(kāi)4二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為_(kāi)5若雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），焦距為10，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)6圓心在直線(xiàn)上且與軸相切于點(diǎn)（1，0）的圓的方程為_(kāi)7計(jì)算：=_8若向量，滿(mǎn)足，則與所成角的大小為_(kāi)9在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)紅球，4個(gè)是白球若從中任意選取3個(gè)，則所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是_（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10

2、若記號(hào)“*”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“+”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)當(dāng)選、都能成立的一個(gè)等式可以是_11關(guān)于的函數(shù)有以下命題： （1）對(duì)任意的，都是非奇非偶函數(shù)； （2）不存在，使既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； （3）存在，使是奇函數(shù)； （4）對(duì)任意的，都不是偶函數(shù) 其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_因?yàn)楫?dāng)=_時(shí)，該命題的結(jié)論不成立12甲、乙兩人于同一天分別攜款1萬(wàn)元到銀行儲(chǔ)蓄，甲存五年期定期儲(chǔ)蓄，年利率為2.88%乙存一年期定期儲(chǔ)蓄，年利率為2.25%，并在每年到期時(shí)將本息續(xù)存一年期定期儲(chǔ)蓄按規(guī)定每次計(jì)息時(shí)，儲(chǔ)戶(hù)須交納利息的20%作為利息稅，若存滿(mǎn)五年后兩人同時(shí)從銀行取出

3、存款，則甲與乙所得本息之和的差為_(kāi)元（假定利率五年內(nèi)保持不變，結(jié)果精確到1分）二、選擇題（本大題滿(mǎn)分16分）本大題共有4題，每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得4分，不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)（不論是否都寫(xiě)在圓括號(hào)內(nèi)），一律得零分13若、為實(shí)數(shù)，則是的（ ）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既非充分條件也非必要條件14若直線(xiàn)的傾斜角為，則（ ）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在15若有平面與，且，則下列命題中的假命題為（ ）（A）過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)平行于（B）過(guò)點(diǎn)且垂直于

4、的平面垂直于（C）過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)在內(nèi)（D）過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)在內(nèi)16若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為（ ）（A）（B）（C）（D）三、解答題（本大題滿(mǎn)分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟17（本題滿(mǎn)分12分）已知為全集，求18（本題滿(mǎn)分12分）已知，試用表示的值19（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分5分，第2小題滿(mǎn)分9分用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖），設(shè)容器的高為米，蓋子邊長(zhǎng)為米（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）設(shè)容器的容積為立方米，則當(dāng)為何值時(shí)，最大？求出的最大值（求解本

5、題時(shí)，不計(jì)容器的厚度）20（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分5分，第2小題滿(mǎn)分9分 在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)、分別、上，且， （1）求證：；（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線(xiàn)分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線(xiàn)所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等試根據(jù)上述定理，在，時(shí)，求平面與平面所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）21（本題滿(mǎn)分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分9分，第2小題滿(mǎn)分7分已知橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求： （1）點(diǎn)的軌跡方程；（2）點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)22（本題

6、滿(mǎn)分18分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分5分，第2小題滿(mǎn)分13分已知是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，為它的前項(xiàng)和（1）用表示；（2）是否存在自然數(shù)和，使得成立數(shù)學(xué)試卷答案要點(diǎn)及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分2評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分3給分或扣分均以1分為單位答案及評(píng)分

7、標(biāo)準(zhǔn)一、（第1至12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分123420567890910 11（1），；（1），；（4），等 （兩個(gè)空格全填對(duì)時(shí)才能得分，其中也可以寫(xiě)成任何整數(shù)）12219.01二、（第13至16題）每一題正確的給4分，否則一律得零分13A 14C 15D 16B三、（第17至22題）17解 由已知因?yàn)闉闇p函數(shù)，所由解得所以由，解得所以于是故18解 因?yàn)?所以 因而 又，于是因此19解（1）設(shè)為正四棱錐的斜高 由已知 解得 （2） 易得 因?yàn)?，所?等式當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得故當(dāng)米時(shí)，有最大值，的最大值為立方米20證（1）因?yàn)椋谄矫嫔系纳溆盀橛?，得，同理可證因?yàn)樗?解（2）過(guò)

8、作的垂線(xiàn)交于，因?yàn)?，所以設(shè)與所成的角為，則即為平面與平面所成的角由已知，計(jì)算得如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)，因?yàn)榕c所成的角為所以 由定理知，平面與平面所成角的大小為21解（1）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則的方程為由已知 （1） （2）由（1）得， （3）由（2）得， （4）由（3）、（4）及，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程 （5）當(dāng)時(shí)，k不存在，此時(shí)l平行于y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a，0）顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程（5）綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程設(shè)方程（5）所表示的曲線(xiàn)為L(zhǎng)，則由得因?yàn)?，由已知，所以?dāng)時(shí)，=0，曲線(xiàn)L與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P（a，b）

9、當(dāng)時(shí)，0，曲線(xiàn)L與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn)因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線(xiàn)L上，所以曲線(xiàn)L在橢圓C內(nèi)故點(diǎn)Q的軌跡方程為（2）由 解得曲線(xiàn)L與y軸交于點(diǎn)（0，0），（0，b）由 解得曲線(xiàn)L與x軸交于點(diǎn)（0，0），（a，0）當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P（a，b）為原點(diǎn)時(shí)，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點(diǎn)，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）當(dāng)a=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，點(diǎn)（a，0）與（0，0）重合，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，b）與（0，0）同理，當(dāng)b=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí)，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a，0）與（0，0）當(dāng)且，即點(diǎn)P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（a，0）、（0，b）與（0，0）22解（