高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)經(jīng)典例題

1、解：在單位圓中，作出銳角在正弦線MP，如圖2-9所示在MPO中，MP+OMOP=1即MP+OM1sin+cos1于P1，P2兩點(diǎn)，過P1，P2分別作P1M1x軸，P2M2x軸，垂足分kZ【說明】 學(xué)會利用單位圓求解三角函數(shù)的一些問題，借助單位圓求解不等式的一般方法是：用邊界值定出角的終邊位置；根據(jù)不等式定出角的范圍；在0，2中找出角的代表；求交集，找單位圓中重疊的部分；寫出角的范圍的表達(dá)式，注意加周期【例3】 求下列函數(shù)的定義域：解：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足2sin2x+cosx-10由單位圓，如圖2-12所示kZ【說明】 求函數(shù)的定義域通常是解不等式組，利用“數(shù)形結(jié)合”，借助于數(shù)軸畫線求

2、交集的方法進(jìn)行在求解三角函數(shù)，特別是綜合性較強(qiáng)的三角函數(shù)的定義域，我們同樣可以利用“數(shù)形結(jié)合”，在單位圓中畫三角函數(shù)線，求表示各三角不等式解集的扇形區(qū)域的交集來完成(4)為使函數(shù)有意義，需滿足：取k=0和-1時，得交集為-4x-或0x函數(shù)的定義域為(-4，-0，【說明】 求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的特征和性質(zhì)，如在轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組后要注意三角函數(shù)的符號及單調(diào)性，在進(jìn)行三角函數(shù)的變形時，要注意三角函數(shù)的每一步變形都保持恒等，即不能改變原函數(shù)的自變量的取值范圍【例4】 求下列函數(shù)的值域：此函數(shù)的值域為y|0y11+sinx+cosx0 t-1【說明】 求三角函數(shù)的值域，除正確運(yùn)用必

3、要的變換外，還要注意函數(shù)的概念的指導(dǎo)作用，注意利用正、余弦函數(shù)的有界性【例5】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：【分析】 先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)成偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函數(shù)的定義域為R，且f(-x)=sincos(-x)=sin(cosx)=f(x)函數(shù)f(x)=sin(cosx)是偶函數(shù)(3)因1+sinx0，sinx-1，函數(shù)的定義域為x|xR且x2k既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【例6】 求下列函數(shù)的最小正周期：【分析】 欲求三角函數(shù)的周期，一般是把三角函數(shù)f(x)化成易求周期的函數(shù)y=Asin(x+j)+b或y=Acos

4、(x+j)+b的等形式函數(shù)y=Asin(“多個化一個，高次化一次”，將所給函數(shù)化成單角單函數(shù)(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立特別當(dāng)x=0時，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】 求下列各函數(shù)的最大值、最小值，并且求使函數(shù)取得最大值、最小值的x的集合使y取得最大值的x的集合為x|x=(2k+1)，kZ使y取得最小值的x的集合為x|x=2k，kZ當(dāng)cosx=1，即x=2k(kZ)時，y取得最大值3【說明】 求三角函數(shù)的最值的

5、類型與方法：1形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根據(jù)sinx，cosx的有界性來求最值；2形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)，變?yōu)閥=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它與二次函數(shù)求最值的區(qū)別，此時|sinx|1，|cosx|1【例9】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：【分析】 復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是運(yùn)用基本函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間得出的(2)函數(shù)y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及復(fù)合而成，|u|1【例10】 當(dāng)a0，求函數(shù)f(x)=(sinx+a)(c

6、osx+a)的最大值、最小值，及相應(yīng)的x的取值【分析】 本題對f(x)解析式的變換關(guān)鍵在于認(rèn)識解析式中兩項間的內(nèi)在聯(lián)系，從而斷定f(x)解析式中的平方關(guān)系，另外本題含字母系數(shù)，要分清常數(shù)和變量，還要有對字母a作分類討論的準(zhǔn)備解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常數(shù)，故這里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值合物線的圖象如圖2-14所示兩種可能【說明】 象本例這種解析式中含字母系數(shù)的函數(shù)研究其性質(zhì)，常常要運(yùn)用分類討論的思想，其中為什么要分類，怎么分類和討論是兩個基本問題【例11】 函數(shù)f(x)=Asin(x+j

7、)的圖象如圖2-15，試依圖指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)0的x的取值集合；(4)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)圖象的對稱軸方程；(7)圖象的對稱中心【分析】 這是一道依圖象讀出相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)的典型例題，本身就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，它根據(jù)f(x)=Asin(x+j)的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系得出注：得出函數(shù)f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性質(zhì)，總是先在包含銳角在內(nèi)的一個周期中研究，再延伸到整個定義域中注：實際上f(x)圖象的對稱軸方程為x=x0，而其中x0使f(x0)=1或

8、f(x0)=-1注：f(x)的圖象的對稱中心為(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【說明】 這種依圖讀性的問題是提高數(shù)形結(jié)合能力的重要訓(xùn)練題，其中有兩點(diǎn)要注意反思：周期性在研究中的化簡作用，三角函數(shù)的“多對一”性【例12】 求如圖2-16所示的函數(shù)解析式(0，0，2)【分析】 由圖象確定函數(shù)的解析式，就要觀察圖象的特性，形狀位置和所給的條件通過判斷、分析和計算確定A，、得到函數(shù)的解析式【例13】 設(shè)y=Asin(x+j)(A0，0，|j|)最高點(diǎn)D的標(biāo)為(6，0)，(1)求A、j的值；(2)求出該函數(shù)的頻率，初相和單調(diào)區(qū)間y單調(diào)遞增故遞增區(qū)間為16k-6，16k+2，kZy單調(diào)遞減故遞減區(qū)間

9、為16k+2，16k+10，kZAsincosctgBcossinctgCsinctgcosDcosctgsin解一(直接法)：故選A解二(圖解法)：作出三角函數(shù)線，如圖2-17MP=sin，OM=cos，BS=ctg通過觀察和度量得MPOMBS從而有sincosctg應(yīng)選Acossin從而可剔除B、D再由sinctg，故可剔除C故選A解四(特殊值法)：B、C、D，應(yīng)選A【說明】 此例題用多種方法求解選項，指出3種選擇題的技巧應(yīng)選Dx軸交點(diǎn)中在原點(diǎn)右邊最接近原點(diǎn)的交點(diǎn)，而在原點(diǎn)左邊與x軸交點(diǎn)中最的圖象選D【說明】 y=Asin(x+j)(A0，0)xR的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)下列各種順序

10、變換得到的(1)先平移，后伸縮：把y=sinx的圖象向左(j0)或向右(j0)沿x軸方向平移|j|個單位；(相位變換)(周期變換)把所有各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(A1)或縮短(0A1)到原來的A倍，橫坐標(biāo)不變(振幅變換)(2)先伸縮，后平移把y=sinx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(1)或伸長(01)到原(相位變換)把所有各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(A1)或縮短(0A1)到原來的A倍橫坐標(biāo)不變(振幅變換)再把橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，則所得的圖象的解析式是 選A【例17】 方程sin2x=sinx在區(qū)間(0，2)內(nèi)解的個數(shù)是 A1 B2 C3 D4【分析】 本題有兩類解法(1)求出方程在(0，2)內(nèi)

11、的所有解，再數(shù)其解的個數(shù)而決定選項，對于選擇題，此法一般不用(2)在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sin2x和y=sinx的圖象，如圖2-18所示它們在(0，2)內(nèi)交點(diǎn)個數(shù)，即為所求方程解的個數(shù)，從而應(yīng)選C它體現(xiàn)了數(shù)、形的結(jié)合【例18】 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(5)=_解：f(x)是奇函數(shù)，且f(1)=2，f(-1)=-2又f(x)是周期為3的函數(shù) f(3+x)=f(x)f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】 有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60，從這個扇形中切割下一個內(nèi)接矩形，即矩形的各個頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積【分析】 本題入手要解決好兩個問題(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理(2)求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量解：如圖2-19(1)