浙江專(zhuān)版2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平面向量與解三角形5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用課件.pptx

1、5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用,高考數(shù)學(xué),考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積 1.向量的數(shù)量積的定義 (1)向量a與b的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b,過(guò)O點(diǎn)作=a,=b,則AOB=(0180) 叫做向量a與b的夾角. 當(dāng)=90時(shí),a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時(shí),a與b同向;當(dāng)=180時(shí),a與b反向. (2)a與b的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,則把|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b|cos .,知識(shí)清單,(3)規(guī)定:0a=0. (4)ab的幾何意義 a.一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影 設(shè)是非零向量a與b的夾角,則|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|

2、b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是向量.當(dāng)090時(shí),它是正值;當(dāng)90180時(shí),它是負(fù)值;當(dāng)=90時(shí),它是0. b.ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則 (1)ea=ae=|a|cos ; (2)abab=0;,(3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|, 當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|, 特別地,aa=|a|2; (4)亦為a、b的夾角,且cos =; (5)|ab|a|b|. 3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba. (2)

3、(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間 的距離公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 a=(x1,y1),b=(x2,y2),則-|a|b|ab|a|b|-x1x2+y1y2 .,4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考點(diǎn)二向量的綜合應(yīng)用 1.向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算可以大大簡(jiǎn)化向量

4、數(shù)量積的運(yùn)算.由于有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題可以利用向量的數(shù)量積來(lái)解決,因此我們可以利用表示向量的直角坐標(biāo)求出向量的長(zhǎng)度、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)向量的夾角,判斷兩向量是否垂直. 2.用向量法證明幾何問(wèn)題的基本思想:將問(wèn)題中有關(guān)幾何量表示為向量,然后根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點(diǎn),應(yīng)用向量的運(yùn)算法則,推出所要求證的結(jié)論.要注意挖掘題目中,特別是幾何圖形中的隱含條件. 3.證明直線(xiàn)平行、垂直,線(xiàn)段相等等問(wèn)題的基本方法: (1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化為證明=或|=|; (2)要證ABCD,只要證存在一實(shí)數(shù)0,使等式=成立即可;,(3)要證ABCD,只需證=0.,平面向量數(shù)量積、向量長(zhǎng)度與夾角的解題策略 1.

5、求平面向量夾角的方法: (1)向量是坐標(biāo)形式時(shí),若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cos =,其 中為向量a,b的夾角,0,. (2)向量不是坐標(biāo)形式時(shí),cos =,其中為向量a,b的夾角,0,. 2.利用向量數(shù)量積求長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,此類(lèi)問(wèn)題的處理方法為: (1)|a|=; (2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2; (3)若a=(x,y),則|a|=.,方法技巧,例1(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷三,13)已知向量a,b滿(mǎn)足|a-b|=1且|a|=2|b|,則ab的最小值為,此時(shí)a與b的夾角是.,解題導(dǎo)引 設(shè)|b|=x,把a(bǔ)b表示成關(guān)于x的函數(shù)利用余弦函數(shù)的有界性得

6、x的取值范圍得結(jié)論,解析設(shè)|b|=x,向量a與b的夾角為,則有ab=2x2cos . 由1=|a-b|2=4x2+x2-2ab,得ab=. 從而有=2x2cos ,即cos =,則-11,解得x21, 從而ab=,故ab的最小值為-. 此時(shí)cos =-1,又0,所以=.,答案-;,平面向量應(yīng)用的解題策略 1.平面幾何中三角形的四“心”,即三角形的內(nèi)心、重心、垂心、外心.在引入向量這個(gè)工具后,三角形ABC(內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c)的四“心”的向量表示為: (1)O為內(nèi)心a+b+c=0. (2)O為重心+=0. (3)O為垂心=. (4)O為外心|=|=|. 2.向量在平面幾何中的

7、應(yīng)用 向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性,因而向量是研究幾何問(wèn)題的一個(gè)有力工具.向量在幾何中的應(yīng)用:證明平行;證明,垂直;求夾角;求線(xiàn)段長(zhǎng)度. 例2已知O是ABC的外心,有AB=6,AC=10,若=x+y,且2x+10 y=5,則cosBAC=.,解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一:利用外心的性質(zhì)得到關(guān)于x,y和cos BAC的等式分x=0和x0 討論,得結(jié)論 導(dǎo)引二:將向量等式=x+y進(jìn)行變形當(dāng)x0時(shí),利用三 點(diǎn)共線(xiàn)得結(jié)論當(dāng)x=0時(shí),由幾何性質(zhì)得結(jié)論,解析解法一:設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則有=+, 故=(+)=+=|2=50, =(x+y)=x+y|2=60 xcosBAC+100y=50, 即有6xcosBAC+10y=5,故有6xcosBAC=2x. 當(dāng)x0時(shí),解得cosBAC=. 當(dāng)x=0時(shí),則y=,從而點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),此時(shí)ABC是以角B為直角的三 角形,得cosBAC=. 解法二