第5章 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

1、.,北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院,現(xiàn)代控制工程,主講教師: 王新華,碩士研究生基礎(chǔ)學(xué)位課,.,第5章 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析,內(nèi)容摘要 基本概念 一階系統(tǒng) 二階系統(tǒng) 高階系統(tǒng) 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響 單位反饋控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差,在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時需要對各控制系統(tǒng)的性能進行比較 規(guī)定一些特殊的試驗信號，比較各種系統(tǒng)對這些輸入的響應(yīng) 典型試驗信號的響應(yīng)特性與實際信號的響應(yīng)特性具有關(guān)聯(lián)性,.,1、典型試驗信號 階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)、脈沖函數(shù)、正弦函數(shù)等 簡單的時間函數(shù)，容易對控制系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)和實驗分析 隨時間漸變的函數(shù)：斜坡函數(shù)；突然的擾動量：階躍函數(shù)；沖擊輸入信號

2、：脈沖函數(shù) 利用試驗信號，能在同一基礎(chǔ)上比較所有系統(tǒng)的性能,5.1 基本概念,2、瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 控制系統(tǒng)的響應(yīng)由兩部分組成：瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 瞬態(tài)響應(yīng)：從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài),.,5.1 基本概念,3、絕對穩(wěn)定、相對穩(wěn)定、穩(wěn)態(tài)誤差 絕對穩(wěn)定：系統(tǒng)是穩(wěn)定的還不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動，或沒有輸入信號作用，系統(tǒng)的輸出保持在某一狀態(tài)，則系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 如果線性定常系統(tǒng)受到初始條件作用后，其輸出量最終能夠返回到平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；而輸出量無限地偏離其平衡位置，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若輸出量在平衡位置呈現(xiàn)持續(xù)不斷的振蕩過程，系統(tǒng)處

3、于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 相對穩(wěn)定和穩(wěn)態(tài)誤差：一般物理系統(tǒng)包含儲能元件，當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出量不能立刻跟蹤輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)前表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過程，通常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。 在穩(wěn)態(tài)時，如果系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，則具有穩(wěn)態(tài)誤差。它表示了系統(tǒng)的精確程度。 分析控制系統(tǒng)時，需要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，還要研究其穩(wěn)態(tài)特性。,.,5.2 一階系統(tǒng),圖示為一階系統(tǒng)：可表示RC電路、也表示熱系統(tǒng)等。,簡化,系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為：,下面分析該系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)。同時，分析過程中，假設(shè)初始條件為零。,注意：具有相同傳遞函數(shù)的所有控制系統(tǒng)，對同一輸入信

4、號的響應(yīng)是相同的。對于任何給定的物理系統(tǒng)，響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有特定的物理意義。,.,1、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),單位階躍響應(yīng)的函數(shù)的拉氏變換為： ，因此，有,展成部分分式,拉氏反變換,表明：輸出的初始響應(yīng)為零，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1。 當(dāng)t=T（一個響應(yīng)周期）時,即，響應(yīng)達(dá)到了總變化的63.2%。時間常數(shù)越小，響應(yīng)越快。響應(yīng)速度用斜率表示，斜率越大，響應(yīng)越快。,5.2 一階系統(tǒng),.,在t=0時，斜率為1/T，t=時，降為零。響應(yīng)曲線的斜率單調(diào)下降。,可以看出，經(jīng)過1T，指數(shù)響應(yīng)曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%；經(jīng)過2T，上升到86.5%。當(dāng)t=3T，4T，5T，響應(yīng)曲線分別上升到穩(wěn)態(tài)時的95%， 98.

5、2%， 99.3%。 因此，當(dāng)t4T時，響應(yīng)曲線將保持穩(wěn)態(tài)值的2%以內(nèi)。 雖然只有當(dāng)t趨于無窮大時，響應(yīng)才達(dá)到穩(wěn)態(tài)。實際計算時，一般以響應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的2%所需時間，或4倍的時間常數(shù)T作為適當(dāng)?shù)捻憫?yīng)時間估計值。,5.2 一階系統(tǒng),.,5.2 一階系統(tǒng),2、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),單位斜坡響應(yīng)的函數(shù)的拉氏變換為： ，因此，有,展成部分分式,拉氏反變換,表明：當(dāng)t= 時， ，因而，誤差 信號趨近于0，即,誤差信號函數(shù)：,當(dāng)t充分大時，系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號的誤差等于T。顯然，時間常數(shù)T越 小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,.,5.2 一階系統(tǒng),3、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),單位脈沖響應(yīng)的

6、函數(shù)的拉氏變換為：,其拉氏反變換,當(dāng)t=0時，系統(tǒng)有一個峰值很高的輸出響應(yīng)（脈沖），響應(yīng)速度很大；然后輸出響應(yīng)迅速減小，響應(yīng)速度也呈快速下降趨勢；當(dāng)t= 時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)趨近于穩(wěn)態(tài)值0。,因此，有,.,5.2 一階系統(tǒng),4、線性定常系統(tǒng)的重要性,系統(tǒng)輸入函數(shù),系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)可通過把系統(tǒng)對原信號響應(yīng)微分得到。 系統(tǒng)對原信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對原信號響應(yīng)的積分。 積分常數(shù)由零初始條件確定。 這是線性系統(tǒng)的一個特性，線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)不具備此特性。,系統(tǒng)輸出響應(yīng),單位階躍響應(yīng)函數(shù),單位斜坡響應(yīng)函數(shù),單位脈沖響應(yīng)函數(shù),.,5.3 二階系統(tǒng),1、建立一個二階系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）,圖示為一伺服系統(tǒng)

7、：由比例控制器和負(fù)載元件（慣性和粘性摩擦元件）組成。,假設(shè)要求控制輸出位置c與輸入位置r相協(xié)調(diào)，試建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,負(fù)載元件的方程,零初始條件下，拉氏變換,負(fù)載元件的輸入與輸出傳遞函數(shù)為,整個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,傳遞函數(shù)中包含兩個極點，稱為二階系統(tǒng)。,.,2、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng),由上述系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),可得,若 ，閉環(huán)極點為共軛復(fù)數(shù)，若 ，閉環(huán)極點為實數(shù)。,可得,引入?yún)?shù)：,因此，將二階系統(tǒng)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：,5.3 二階系統(tǒng),.,5.3 二階系統(tǒng),將標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程進行因式分解，得,若 ，閉環(huán)極點為共軛復(fù)數(shù)，且位于左半平面內(nèi)，為欠阻尼系統(tǒng)，其瞬 態(tài)響應(yīng)是振蕩的。,若 ，系統(tǒng)為

8、臨界阻尼系統(tǒng)。,若 ，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。,若 ，瞬態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩。,兩種阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)都不振蕩。,求圖示系統(tǒng)單位階躍輸入信號的響應(yīng)：,分三種情況分析：,（欠阻尼）,（臨界阻尼）,（過阻尼）,.,（1）欠阻尼情況（ ）,對單位階躍輸入信號的響應(yīng)：,寫成部分分式形式：,由拉氏變換表，可知：,5.3 二階系統(tǒng),.,5.3 二階系統(tǒng),因此，已知系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)的拉氏變換為：,可以看出：系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的振蕩頻率為阻尼自然頻率d，并隨阻尼比而變化。,系統(tǒng)的誤差信號：,表明，誤差信號為阻尼正弦振蕩；穩(wěn)態(tài)時，輸入與輸出的誤差為零。,.,5.3 二階系統(tǒng),若阻尼比=0，則由,可見，無阻尼時的系統(tǒng)響應(yīng)為無阻尼的

9、等幅振蕩，且振蕩過程將永遠(yuǎn)進行下去。 因此， n代表系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。即若阻尼減小到零時，系統(tǒng)以n振蕩。 如果系統(tǒng)具有一定的阻尼，就不可能通過實驗觀察到無阻尼自然頻率。 在阻尼系統(tǒng)中觀察到的頻率只能是阻尼自然頻率d， 阻尼自然頻率d總是低于無阻尼自然頻率n，且隨著阻尼比的增大而減小。 當(dāng)增大到大于1，系統(tǒng)的響應(yīng)將變?yōu)檫^阻尼的，不再產(chǎn)生振動。,得，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為,.,5.3 二階系統(tǒng),（2）欠阻尼情況（ ）,若C(s)/R(s)的兩個極點相等，則系統(tǒng)可近似人為臨界阻尼系統(tǒng)。,對單位階躍輸入信號 的響應(yīng)：,拉氏反變換為,方法一,利用方程,令 ，且有,同樣可以求得,方法二,.,5.3 二階系統(tǒng)

10、,（3）過阻尼情況（ ）,此時，C(s)/R(s)的兩個極點是兩個不相等的負(fù)實數(shù)。,對單位階躍輸入信號 的響應(yīng)：,拉氏反變換為,令,則有,表明，系統(tǒng)的響應(yīng)包含兩個衰減的指數(shù)項。,.,5.3 二階系統(tǒng),當(dāng)遠(yuǎn)大于1時，在兩個衰減的指數(shù)項中，一個比另一個衰減得快得多。帥減的比較快得多指數(shù)項，具有較小的時間常數(shù)，可以忽略掉。,因此，如果-S2與j軸的距離比-S1與j軸的距離近得多，近似求解時，可忽略-S1的項。 上述方程中，包含S1的項比包含S1的項衰減的快的多， -S1對系統(tǒng)響應(yīng)的影響比-S2對系統(tǒng)響應(yīng)的影響小的多，可忽略-S1的項。 一旦快速衰減的指數(shù)項消失，系統(tǒng)的響應(yīng)就相當(dāng)于一階系統(tǒng)的響應(yīng)。,因

11、此，上述系統(tǒng)的C(s)/R(s)的可近似表示為,其單位階躍響應(yīng)為,即，得到C(s)/R(s)的一個極點忽略時的近似單位階躍響應(yīng)。,.,5.3 二階系統(tǒng),根據(jù)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)方程，可作出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。,如果兩個二階系統(tǒng)中具有相同的值，但具有不同的n值，則兩個系統(tǒng)呈現(xiàn)出相同的過調(diào)量和相同的振蕩模式，因此具有相同的相對穩(wěn)定性。 當(dāng)欠阻尼系統(tǒng)的=0.50.8之間時，其響應(yīng)曲線比臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)的更快到達(dá)穩(wěn)定值。 在響應(yīng)無振蕩系統(tǒng)中，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)特性，過阻尼系統(tǒng)對任何輸入信號總是最慢的。,.,3、瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo),5.3 二階系統(tǒng),對于實際控制系統(tǒng)，常常需要用時域中的性能指

12、標(biāo)來表述控制系統(tǒng)的性能。 對于具有儲能元件的系統(tǒng)，系統(tǒng)對輸入或干擾信號的響應(yīng)不可能立即作出響應(yīng)，總會表現(xiàn)出一定的瞬態(tài)響應(yīng)過程。 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)形式給出。 為便于比較各系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，通常采用零初始條件，即系統(tǒng)最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，且輸出量與輸出量對時間的導(dǎo)數(shù)等于零 實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)在達(dá)到穩(wěn)態(tài)前，通常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。 描述控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特性的性能指標(biāo)： 延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、最大過調(diào)量Mp、調(diào)整時間ts。,.,5.3 二階系統(tǒng), 延遲時間td：響應(yīng)曲線上第一達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半時所需要的時間。 上升時間td：響應(yīng)曲

13、線上從穩(wěn)態(tài)值的10%上到90%，或從5%上升到來5，或從0%上升到100%所需時間。 峰值時間tp ：響應(yīng)曲線達(dá)到過調(diào)量的第一個峰值所需時間。, 最大（百分比）過調(diào)量Mp ：從1開始計算的響應(yīng)曲線的最大峰值。若響應(yīng)曲線的最終穩(wěn)態(tài)值不等于零，則采用最大百分比過調(diào)量：,最大百分比過調(diào)量, 調(diào)整時間ts ：在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分?jǐn)?shù)（通常取2%或5%）作為一個誤差范圍，響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在此允許范圍內(nèi)所需的時間。,.,5.3 二階系統(tǒng),性能指標(biāo)說明： 除了不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常要求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)既要具有一定的快速性，又要具有足夠的阻尼，防止過調(diào)量過大。 對于二階系統(tǒng)，為獲得

14、滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性，系統(tǒng)的阻尼比通常選擇選擇在0.40.8之間。,過小的阻尼比（0.8）則會使系統(tǒng)的響應(yīng)變得非常緩慢。,.,5.3 二階系統(tǒng),4、二階系統(tǒng)及其瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo),已知二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),假設(shè)系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，求二階系統(tǒng)的上升時間tr、峰值時間tp、最大過調(diào)量Mp、調(diào)整時間ts的計算表達(dá)式。,（1）上升時間tr,對于方程,令 ，可上升時間tr 為,.,5.3 二階系統(tǒng),由于 ，因此，有,即,因此，上升時間為,可見，為了能夠得到一個較小的上升時間tr， n應(yīng)取很大的值。,（2）峰值時間tp,對于方程,.,5.3 二階系統(tǒng),將 對時間求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，可求得峰值時間，即,由于，,因此

15、，有,由此可得，,亦即，,由于峰值時間為對應(yīng)于第一個峰值的過調(diào)量，所以,即,可見，峰值時間tp對應(yīng)于阻尼振蕩頻率的周期的一半。,.,5.3 二階系統(tǒng),（3）最大過調(diào)量Mp,最大過調(diào)量發(fā)生在峰值時間 ， 因此，有,最大百分比過調(diào)量為,如果輸出量的穩(wěn)態(tài)值C（）不是1，則需用下列方程得到：,.,5.3 二階系統(tǒng),（4）調(diào)整時間ts,對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)的方程為,可知，曲線 是該系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。 響應(yīng)曲線c(t)總是被保圍在一對包絡(luò)線內(nèi)，該包絡(luò)線的時間常數(shù)為 。,瞬態(tài)響應(yīng)的衰減速度取決于時間常數(shù) 的值，對于給定的n，調(diào)整時間ts是阻尼比的函數(shù)。,.,5.3 二階

16、系統(tǒng),對于欠阻尼系統(tǒng)，在同一n下，當(dāng)在0和1之間時，阻尼很小的系統(tǒng)的調(diào)整時間ts比具有適當(dāng)阻尼的系統(tǒng)的調(diào)整時間長。 對于過阻尼系統(tǒng)，由于響應(yīng)曲線的起始段上升得很慢，所以，調(diào)整時間ts會很大。 對于不同的值，可以測得與2%或5%允許誤差帶相對應(yīng)的調(diào)整時間，且以時間常數(shù) 表示，測量結(jié)果如圖所示。,.,5.3 二階系統(tǒng),當(dāng)00.9時，如果采用2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，則調(diào)整時間ts近似等于系統(tǒng)時間常數(shù)的4倍；若采用5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，則調(diào)整時間ts近似等于系統(tǒng)時間常數(shù)的3倍。 大約在=0.76（對于2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)）或=0.68（對于5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)）時，調(diào)整時間達(dá)到最小值。然后，隨值的增大，調(diào)整時間幾乎呈線

17、性增大。 圖中曲線的不連續(xù)性是由于值的微小變化而引起調(diào)整時間的顯著變化造成的。,.,為便于比較系統(tǒng)的響應(yīng)特性，調(diào)整時間ts的定義為,5.3 二階系統(tǒng),（ 2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)）,（ 5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)）,可見，調(diào)整時間ts與系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率的乘積成反比。 值通常根據(jù)對最大允許過調(diào)量的要求來確定，因此，調(diào)整時間ts主要由無阻尼自然頻率n。 表明，在不改變最大過調(diào)量的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率n，可以改變瞬態(tài)響應(yīng)的持續(xù)時間。因此，為使響應(yīng)迅速， n必須很大，為限制最大過調(diào)量Mp，且使調(diào)整時間較小，阻尼比不應(yīng)過小。 圖示為最大過調(diào)量Mp百分比與阻尼比之間的關(guān)系?？梢钥闯?，如=0.40.8，

18、則階躍響應(yīng)的最大過調(diào)量百分比將在25%4%之間。,.,應(yīng)用舉例,5.3 二階系統(tǒng),已知圖示系統(tǒng)， =0.6， n=5弧度/秒，求單位階躍輸入信號下的上升時間tr、峰值時間tp、最大過調(diào)量Mp、調(diào)整時間ts。,由給定的=0.6， n=5弧度/秒，得,（1）上升時間tr,（2）峰值時間tp,（3）最大過調(diào)量Mp,最大過調(diào)量百分比為,（4）調(diào)整時間ts,2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn),5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn),.,5.3 二階系統(tǒng),5、帶速度反饋的伺服系統(tǒng),輸出信號的導(dǎo)數(shù)可以用來改扇系統(tǒng)的性能。通常為獲得輸出位置信號的導(dǎo)數(shù)，需采用測速發(fā)電機，以代替對輸出信號直接進行微分。 微分會放大噪聲效應(yīng)，特別是對于不連續(xù)噪聲，微分過

19、程對不連續(xù)噪聲的放大效果大于對有用信號的放大效果。 用測速發(fā)電機來測量速度可不須進行微分過程，其輸出量與馬達(dá)的角速度成正比。在任何伺服系統(tǒng)中，速度信號均可通過測速發(fā)電機容易地獲得。,圖示伺服系統(tǒng)， 速度信號與位置信號同時反饋到系統(tǒng)的輸入端，以產(chǎn)生作用誤差信號，,.,5.3 二階系統(tǒng),因此，得到伺服系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),比較：無速度反饋的伺服系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),可見，速度反饋具有增大阻尼的效應(yīng)。此時，阻尼比為,.,5.3 二階系統(tǒng),雖然速度反饋可以增加阻尼比，但伺服系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 則不受速度反饋的影響。 系統(tǒng)對單位階躍輸入信號響應(yīng)的最大過調(diào)量可以通過改變阻尼比的值加以控制；通過調(diào)整速度反饋常

20、數(shù)Kh，使值位于0.40.7之間，從而減小最大過調(diào)量。,如圖示伺服系統(tǒng)， 欲使系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)中的最大過調(diào)量等于0.2，峰值時間等于1秒，試確定增益K和速度反饋常數(shù)Kh的值，并確定在此K和Kh下，系統(tǒng)的上升時間和調(diào)整時間。其中，J=1千克米2，B=1牛頓米/弧度/秒。,應(yīng)用舉例,.,5.3 二階系統(tǒng),6、二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),單位脈沖輸入函數(shù)r(t)，其相應(yīng)的拉氏變換為1，即,二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)C(s)為,其拉氏反變換即為響應(yīng)的時域解c(t):,01時，,=1時，,1時，,.,5.3 二階系統(tǒng),由方程得到相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)曲線。 對于臨界阻尼和過阻尼，單位脈沖響應(yīng)：c(t)0。 對于欠阻尼

21、，單位脈沖響應(yīng)c(t)是圍繞零值振蕩的函數(shù)，即可能為正值，也可能為負(fù)值。 結(jié)論：如果脈沖響應(yīng)c(t)不改變符號，則系統(tǒng)或者為臨界阻尼系統(tǒng)，或者為過阻尼系統(tǒng)。此時，相應(yīng)的階躍響應(yīng)沒有過調(diào)量，而是單調(diào)增加或單調(diào)減小，且最終趨于某一常值。,.,5.3 二階系統(tǒng),對于欠阻尼系統(tǒng)，令dc/dt=0，可得單位脈沖響應(yīng)的最大過調(diào)量發(fā)生下列時刻：,則有，最大過調(diào)量為,由于單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)，故單位階躍響應(yīng)的最大過調(diào)量Mp可以從相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)中求得，即單位脈沖響應(yīng)曲線從t=0到曲線第一次達(dá)到零這段下面所保圍的面積，其值等1+ Mp。 單位階躍響應(yīng)的峰值時間tp等于單位脈沖響應(yīng)與時間軸

22、第一次相交點的時間。,.,5.4 高階系統(tǒng),通常，高階系統(tǒng)的響應(yīng)是由一階系統(tǒng)的響應(yīng)和二階系統(tǒng)的響應(yīng)組合構(gòu)成的。,1、高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),圖示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,通常，G(s)和H(s)以s多項式比值形式出現(xiàn)，即,因此，上述閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫成：,為求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)方式，需將分母進行因式分解，寫成部分分式的形式。,.,5.4 高階系統(tǒng),若分子和分母被分解成因式，則有：,系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的響應(yīng),閉環(huán)極點均為不相同實數(shù)的情況,上述方程對單位階躍的響應(yīng)為,如果所有的閉環(huán)極點位于左半s平面，則留數(shù)的大小決定了C(s)展開式中各分量的相對重要性： 如果一個閉環(huán)極點和一個閉環(huán)零點靠得近，則

23、該極點上的留數(shù)很?。簩?yīng)于該極點的瞬態(tài)響應(yīng)項的系數(shù)也比較小，該瞬態(tài)響應(yīng)項對系統(tǒng)的影響很小，可以忽略。因此，一對靠得很近的極點和零點，彼此可以相互抵消。,.,5.4 高階系統(tǒng), 如果一個極點的位置距離原點很遠(yuǎn)，則該極點上的留數(shù)很小。 因此，對應(yīng)于如此遙遠(yuǎn)的極點的瞬態(tài)響應(yīng)項很小，且響應(yīng)時間也很短，該瞬態(tài)響應(yīng)項對系統(tǒng)的影響很小，可以忽略。,結(jié)論：在C(s)的展開項中，具有很小留數(shù)的項，對瞬態(tài)響應(yīng)的影響將很小，因而可以忽略這些項，高階系統(tǒng)可以用低階系統(tǒng)來近似。,閉環(huán)極點由實數(shù)極點和成對的共軛復(fù)數(shù)極點組成的情況,一對共軛復(fù)數(shù)極點可以形成一個s的二階多項式。因此，高階系統(tǒng)的特征方程的因式包括一階項和二階項

24、。,假設(shè)所有閉環(huán)極點都是不相同的，如果閉環(huán)極點包含多個極點，則C(s) 必然具有多極點項。因此，高階系統(tǒng)的響應(yīng)是由一些包含簡單函數(shù)的項組成的，這些簡單函數(shù)出現(xiàn)在一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)中。,.,5.4 高階系統(tǒng),由上述方程的拉氏反變換得到單位階躍的響應(yīng)c(t):,因此，穩(wěn)定的高階系統(tǒng)響應(yīng)曲線是由指數(shù)曲線和阻尼正弦曲線之和形成。 如果所有閉環(huán)極點都位于左半s平面內(nèi)，則隨時間t的增加，指數(shù)項和阻尼指數(shù)項將趨近于零，于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：c()=a。,結(jié)論：如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則原理j軸的閉環(huán)極點將具有很大的負(fù)實部，與這些極點相對應(yīng)的指數(shù)項將迅速衰減到零。 應(yīng)知1：從閉環(huán)極點到j(luò)軸的水平距離決定了

25、由該極點引起的瞬態(tài)響應(yīng)的過程的調(diào)整時間，水平距離越小，調(diào)整時間越長。 應(yīng)知2：瞬態(tài)響應(yīng)的類型由閉環(huán)極點確定，而瞬態(tài)響應(yīng)的形狀則由閉環(huán)零點確定。,.,5.4 高階系統(tǒng),2、閉環(huán)主導(dǎo)極點,閉環(huán)極點的相對主導(dǎo)作用取決于閉環(huán)極點的實部的比值，同時也取決于在閉環(huán)極點上求得的留數(shù)的相對大小。而留數(shù)的大小既取決于閉環(huán)極點，又取決于閉環(huán)零點。 若實部的比值超過5，且在極點附近不存在零點，則距離j軸最近的閉環(huán)極點對瞬態(tài)響應(yīng)特性起主導(dǎo)作用。 因為這些極點對應(yīng)于瞬態(tài)響應(yīng)中衰減最慢的項。 這些對瞬態(tài)響應(yīng)特性具有主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點。 閉環(huán)主導(dǎo)極點常以共軛復(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)，在所有閉環(huán)極點中，閉環(huán)主導(dǎo)極點是

26、最重要的。 通常對高階系統(tǒng)的增益進行調(diào)整，以使系統(tǒng)具有一對閉環(huán)主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點。穩(wěn)定系統(tǒng)中這樣的主導(dǎo)極點的存在，將會減小一些非線性因素，如死區(qū)、間隙、庫侖摩擦對系統(tǒng)性能的影響。,.,5.4 高階系統(tǒng),3、復(fù)平面上的穩(wěn)定性分析,閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以根據(jù)s平面上閉環(huán)極點的位置予以確定。 如果有任何一種極點位于右半s平面，則隨時間的增長，這些極點將上升至主導(dǎo)作用，從而使瞬態(tài)響應(yīng)呈現(xiàn)為單調(diào)上升過程，或是振幅逐漸增大的振蕩過程，表明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這類系統(tǒng)一旦被啟動，輸出量將隨時間而增大，并使系統(tǒng)最終遭到破壞，而不能正常工作。 如果全部閉環(huán)極點位于j軸左邊，則任何瞬態(tài)響應(yīng)最終會達(dá)到平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是穩(wěn)定

27、的。因此，在設(shè)計控制系統(tǒng)中，是不允許閉環(huán)極點位于右半s平面。 線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定是系統(tǒng)本身的一種屬性，與系統(tǒng)的輸入量或驅(qū)動函數(shù)無關(guān)。 輸入量或驅(qū)動函數(shù)的極點不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只影響系統(tǒng)解的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項。 當(dāng)閉環(huán)極點位于j軸上時，將形成等幅的振蕩過程。但在存在噪聲的情況下，振蕩的振幅可能會增加，增加的幅度也取決于噪聲的電平（幅值）。因此，控制系統(tǒng)不應(yīng)當(dāng)有閉環(huán)機電位于j軸上。,.,5.4 高階系統(tǒng),應(yīng)當(dāng)注意：即使所有的閉環(huán)極點都位于左半s平面，也不能保證系統(tǒng)具備滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性。如果主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點的位置靠近j軸，則瞬態(tài)響應(yīng)可能呈現(xiàn)強烈的振蕩特性，或緩慢的瞬態(tài)響應(yīng)過程。 因此，為保證系統(tǒng)的瞬態(tài)

28、響應(yīng)特性既快又具備良好的阻尼，必須使系統(tǒng)的閉環(huán)極點落在復(fù)平面內(nèi)的特定區(qū)域內(nèi)。,由于閉環(huán)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性與s平面上閉環(huán)極點零點的配置直接相關(guān)。因此，通常通過調(diào)整一個或多個系統(tǒng)參數(shù)，來獲得適當(dāng)?shù)臉O點-零點配置，以改善系統(tǒng)的控制特性。,.,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),如何判斷一個線性控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定，在什么條件下變成不穩(wěn)定，如何使其穩(wěn)定下來，是進行線性控制系統(tǒng)分析的首要問題。,對于一個線性控制系統(tǒng)，通常具有下列形式的閉環(huán)傳遞函數(shù)：,基于上述形式的閉環(huán)傳遞函數(shù)，采用勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠在不進行因式分解的條件下，確定位于右半s平面內(nèi)的閉環(huán)極點的數(shù)目，從而對系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出快速的判定。,1、勞斯穩(wěn)

29、定判據(jù),勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠表示出一個多項方程式中是否存在不穩(wěn)定的根，而不必實際求解方程。該判據(jù)只能應(yīng)用于有限項的多項式，當(dāng)用于控制系統(tǒng)時，能夠根據(jù)特征方程的系數(shù)，直接判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。,.,勞斯穩(wěn)定判據(jù)具體應(yīng)用方法：,（1）寫出s的多項式特征方程：,假設(shè) ，以排除任何零根的情況。,（2）如果在至少存在一個正系數(shù)的情況下，還存在等于零或等于負(fù)值的系數(shù)，則方程必然存在一個或多個虛根或具有正實部的根。此時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 因此，可知系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征多項式的所有系數(shù)必須是正值。即,一個具有實系數(shù)的s多項式總可以分解成線性（一次因子）和二次因子形式： 和 ，a、b、c均為實數(shù)。線性因子產(chǎn)生的

30、實根，二次因子產(chǎn)生的是多項式的共軛復(fù)根。只有當(dāng)b、c均為正值時，因子 才能給出具有負(fù)實部的根。為使所有的根具有負(fù)實部，所有因子中的a、b、c都必須為正值。,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),.,任意個只包含正系數(shù)的線性因子和二次因子的乘積，必定也是一個具有正系數(shù)的多項式。因此， s的多項式特征方程的所有系數(shù)都是存在，且都是正值是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，但非充分條件。,（2）若所有的系數(shù)都是正的，將多項式的系數(shù)排列成如下形式,系數(shù)b1、b2、b3， 系數(shù)c1、c2、c3， 系數(shù)d1、d2,在導(dǎo)出陣列的過程中，可以用一個正數(shù)去除或乘某一整行，以簡化其后的數(shù)值運算，而不改變穩(wěn)定性的特性。,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),

31、.,勞斯穩(wěn)定判據(jù)說明：,特征多項式方程具有正實部的根數(shù)，等于勞斯陣列中第一列系數(shù)符號的改變次數(shù)。第一列中各項系數(shù)的精確值沒有必要知道，只需知道它們的符號。 特征多項式方程的所有根都位于左半s平面的必要充分條件：特征多項式方程的全部系數(shù)都是正值，且勞斯陣列第一列中的所有項都具有正號。,應(yīng)用舉例, 設(shè)有一個三階多項式：,式中所有系數(shù)均為正數(shù)，試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)，求所有根都具有負(fù)實部的條件。, 設(shè)有一個高階多項式：,試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)判斷多項式中具有的正實部根的數(shù)目。,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),.,2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用的一些特殊情況,（1）如果勞斯陣列中某一行的第一列項等于零，但其余各項不等于零或者

32、沒有其余項，則可以用一個很小的正數(shù)來代替為零的項，并以此計算陣列中的其余各項。,舉例：,結(jié)論1：如果位于零（）上面的系數(shù)符號與位于零（）下面的系數(shù)符號相同，表明有一對虛根存在。上述方程中具有一對虛根為：s=j，將引起等幅振蕩。 結(jié)論2：如果位于零（）上面的系數(shù)符號與位于零（）下面的系數(shù)符號相反，表明有一個符號變化。 舉例說明：,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),.,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),（2）如果勞斯陣列中某一導(dǎo)出行中的所有系數(shù)都等于零，則表明在s平面內(nèi)存在大小相等位置徑向相反的根，即存在兩個大小相等符號相反的實根和兩個共軛虛根。 這時，可以利用最后一行系數(shù)構(gòu)成一個輔助多項式，且用該多項式方程導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組

33、成陣列的下一行。 s平面中，這些大小相等位置徑向相反的根，可以通過求解輔助方程得到，且根的數(shù)目總是成對出現(xiàn)（偶數(shù)）。,舉例說明：,.,5.5 勞斯穩(wěn)定判據(jù),3、勞斯穩(wěn)定判據(jù)在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用,勞斯穩(wěn)定性判據(jù)在線性控制系統(tǒng)分析中應(yīng)用具有一定局限性：由于該判據(jù)只解決了絕對穩(wěn)定性的問題，沒有指出如何改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，以及如何使不穩(wěn)定的系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。 但可以利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)檢查造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的參數(shù)值，確定一個或兩個系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 舉例說明：如何確定參數(shù)的穩(wěn)定范圍，如圖所示系統(tǒng)，確定K值的穩(wěn)定范圍。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,1、積分控制作用,若控制對

34、象的傳遞函數(shù)中不含積分器1/s，進行比例控制時，存在穩(wěn)態(tài)誤差。 若控制器中包含積分控制作用，可消除穩(wěn)態(tài)誤差（偏差）。 在積分控制器中，控制信號等于某瞬間之前作用誤差信號曲線下的面積。 分析： 當(dāng)作用誤差信號e(t)=0時，控制信號u(t)可能具有非零值。 在比例控制器中，由于非零控制信號需要非零的作用誤差信號，穩(wěn)態(tài)時的非零作用誤差信號存在偏差。,說明：積分控制作用在消除偏差的同時，也導(dǎo)致了使振幅緩幅衰減或不斷增加的振蕩響應(yīng)。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,2、系統(tǒng)的比例控制,對于單位階躍輸入信號，當(dāng)無積分器時，比例控制將造成穩(wěn)態(tài)誤差。 控制器中包含積分控制器時，可消除穩(wěn)態(tài)誤差

35、。,舉例說明：求系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)誤差。,結(jié)論：階躍響應(yīng)中總是存在穩(wěn)態(tài)誤差。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,3、系統(tǒng)的積分控制,舉例說明：求系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)誤差。,結(jié)論：系統(tǒng)的積分控制消除了階躍輸入響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)誤差。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,4、對轉(zhuǎn)矩擾動的響應(yīng)（比例控制）,分析具有轉(zhuǎn)矩擾動的響應(yīng)。負(fù)載：轉(zhuǎn)動慣量、粘性摩擦，比例控制器：T,結(jié)論：增大增益Kp，可減小穩(wěn)態(tài)誤差，但會造成系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩性增大。,穩(wěn)態(tài)時，比例控制器的輸出轉(zhuǎn)矩：-Td,量值為Td的階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差：,階躍擾動轉(zhuǎn)矩引起的穩(wěn)態(tài)輸出：,.,5.6 積分和微分控

36、制作用對系統(tǒng)性能的影響,5、對轉(zhuǎn)矩擾動的響應(yīng)（比例-積分控制）,為消除轉(zhuǎn)矩擾動的造成偏差，在控制器中加入積分控制作用（慣量+粘性）,若系統(tǒng)是穩(wěn)頂?shù)?，特征方?具有負(fù)實部。,結(jié)論：比例-積分控制器消除了系統(tǒng)對階躍擾動轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)態(tài)誤差。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,5、對轉(zhuǎn)矩擾動的響應(yīng)（比例-積分控制）,分析： 增加積分控制作用，會把原來的二階系統(tǒng)變成三階系統(tǒng)，可能使特征方程具有正實部的根，使系統(tǒng)變成不穩(wěn)定的。, 對于二階系統(tǒng)的微分方程，如方程系數(shù)都是正值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 若控制器是一積分控制器，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，其特征方程具有帶正實部的根：,結(jié)論：比例控制作用趨于使系統(tǒng)穩(wěn)定，

37、積分控制作用趨于使消除或減小對各種輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,6、微分控制作用,比例控制器中加入微分控制作用可以獲得高靈敏度控制器。 優(yōu)點：能夠反映誤差信號的變化速度，且在作用誤差的值變得很大之前，產(chǎn)生有效的修正。因此，微分控制作用可預(yù)測作用誤差，使修正提前發(fā)生，有助于增強系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 微分控制作用不直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，而是通過增加系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)獲得比較大的增益K值，來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 結(jié)論：微分控制作用是基于作用誤差的變化速度，而不是基于作用誤差本身。因此，這種方法不能單獨使用，必須和比例控制作用，或比例+積分控制作用組合使用。,.,5

38、.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,7、帶慣性負(fù)載系統(tǒng)的比例控制,分析具有慣性負(fù)載的比例控制系統(tǒng),閉環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程：,因此，特征方程的根為一對虛根，對單位階躍輸入的響應(yīng)是無限的持續(xù)振蕩。系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)，需增加阻尼進行改善，使系統(tǒng)穩(wěn)定。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,8、具有慣性負(fù)載系統(tǒng)的比例+微分控制,分析具有慣性負(fù)載的比例+微分控制系統(tǒng),比例+微分控制器傳遞函數(shù)為,控制器產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩與 成比例。,微分控制作用是超前的，可以測量瞬時誤差速度，提前預(yù)測大的過,調(diào)量，并在產(chǎn)生過調(diào)量之前，產(chǎn)生適當(dāng)?shù)姆醋饔谩?特征方程：,結(jié)論：對與正的J、Kp、Td，特征方程具有兩個負(fù)

39、實部的根，帶來了阻尼效應(yīng)。,.,5.6 積分和微分控制作用對系統(tǒng)性能的影響,9、二階系統(tǒng)的比例+微分控制,二階系統(tǒng)的比例+微分控制,比例+微分控制作用可以瞬態(tài)特性與穩(wěn)態(tài)特性之間取得折衷效果。,特征方程：,分析：系統(tǒng)的有效阻尼系數(shù)B+Kd，而不是B。系統(tǒng)的阻尼比為 通過減小B，增大Kp和Kd，使落在0.40.7之間，使系統(tǒng)對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差和對階躍輸入的最大過調(diào)量都達(dá)到較小的數(shù)值。,單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差：,.,5.7 單位反饋控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差,瞬態(tài)過程中的，參考輸入信號的變化，引起誤差及穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)中元件的缺陷：靜態(tài)摩擦、間隙、放大器漂移、老化、磨損等 這些誤差形式是由于系統(tǒng)沒有能力跟

40、蹤特定形式的輸入信號而造成的。,引起控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多：,任何物理控制系統(tǒng)，對其特定的輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)，存在固有的穩(wěn)態(tài)誤差。 同一系統(tǒng)對階躍輸入可能沒有穩(wěn)態(tài)誤差，但對斜坡輸入可能存在穩(wěn)態(tài)誤差。 對給定形式的輸入信號，系統(tǒng)是否產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 能夠消除系統(tǒng)因輸入信號的不同帶來的穩(wěn)態(tài)誤差的唯一方法是改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。,.,5.7 單位反饋控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差,1、控制系統(tǒng)的分類,實際的輸入信號是由階躍輸入、斜坡輸入、拋物線輸入等信號的組合，可依據(jù)對上述輸入信號的跟蹤進行分類。 由單獨的輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差大小表明了系統(tǒng)的優(yōu)良度。,考慮單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),說明： sN項表示在原點處有N重極點。依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目進行分類：N=0，N=1，N=2，則系統(tǒng)分別稱為0型，1型，2型，系統(tǒng)。 隨著類型號數(shù)的增加，系統(tǒng)的精度將得到改善，但增加類型號數(shù)會使穩(wěn)定性變差。,.,5.7 單位反饋控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差,2、穩(wěn)態(tài)誤差,圖示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),誤差信號 與輸入信號 的傳遞函數(shù)：,因此，穩(wěn)態(tài)誤差,說明： 通常采用靜態(tài)誤差常數(shù)作為描述控制系統(tǒng)品質(zhì)的指標(biāo)，該常數(shù)越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。 一般把輸出稱為“位置”，輸出量的變化率稱為“速度”。忽略輸出量的物理形式。,.,5.7 單位反饋控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差,3、