多元復合函數(shù)的求導法則.ppt

1、,第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則,一、 鏈鎖法則,二、 全微分的形式不變性,一、鏈鎖法則,引入：,復合函數(shù),怎樣求它的偏導數(shù)？,問：,若上面三個函數(shù)都是具體函數(shù)，,那么，,它們的,復合函數(shù)也是具體函數(shù)，,當然，,我們會求它的,偏導數(shù)。,但是，,若上面三個函數(shù)中至少有一個是抽象函數(shù)，,那么，它們的復合函數(shù)也是抽象函數(shù)，,它的偏導數(shù),又怎么求？,這是一個新問題，,要求出這樣一個函數(shù)的偏導數(shù)，,還需要新的公式。,這就是下面要研究的多元函數(shù),的求導法則（或鏈鎖法則）。,定理1 設(shè)函數(shù) 及 都在點t可導，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v) 具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) 在點t可導 ，且有,1、復合函數(shù)

2、的中間變量均為一元函數(shù)的情形,按照多元復合函數(shù)不同的復合情形，分兩種情形來討論：,將上式兩邊同時除以 ，得,證：,這時,的對應(yīng)增量為,獲得增量,由第三節(jié)定理2 的證明過程，我們可得到,由此，函數(shù)z=f(u,v)相應(yīng)地,其中，,令,取極限，得,，,即,即,=,=,=,如果函數(shù) 都在點 t 可導，函數(shù)z=f(u,v,w)在對應(yīng)點(u,v,w) 具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) 在點 t 的導數(shù)存在， 且有,注,2、復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形,定理2 如果函數(shù) 及 在點(x,y)具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v) 具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) 在點(x,y)的兩個偏導數(shù)

3、存在，且有,已知,對y的偏導數(shù)，,在點(x,y)具有對x及,函數(shù) z=f (u,v) 在對應(yīng)點 (u , v) 具有,連續(xù)偏導數(shù)，,現(xiàn)在，將 y 取定為常數(shù)，,則由定理1得,+,得復合函數(shù),對 x 的偏導數(shù)存在，且有,同理，將 x 取定為常數(shù)，,則可得（4）式.,此即（3）式.,為了掌握復合函數(shù)的求導法則，可畫復合函數(shù)結(jié)構(gòu)示意圖，由示意圖可清楚地看出哪些是中間變量，哪些是自變量，以及中間變量和自變量的個數(shù)，公式(3)、(4)的示意圖如下：,z,u,v,x,y,在點(x,y)的兩個偏導數(shù)都存在，且可用下列公式計算：,設(shè) 都在點(x,y) 具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對應(yīng)點(

4、u,v,w)有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù),注,(1),求下列函數(shù)的復合函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù),(3),(2),解,(1),+,=,+,=,+,(2),+,+,=,+,+,+,+,=,(3),+,相同,但所表示的意思不同!,必須加以區(qū)別!,對 自 變 量 x 的 偏 導 數(shù),對中間變量 x的偏導數(shù),為了避免混淆,一般地,將對中間變量的偏導數(shù)記為,將對自變量的偏導數(shù)記為,例如上面的(3),可寫為:,+,+,=,+,+,+,=,+,注意：,這里 與 是不同的， 是把復合函數(shù) 中的y看作常數(shù)而對x的導數(shù), 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常數(shù)而對x的導數(shù). 與 也有類似的區(qū)別.,由復合函數(shù)求導法則得

5、,解：,=,+,=,+,例2,解：,+,=,+,=,+,=,+,+,+,=,=,例3,解：,+,+,=,+,+,解：,+,=,+,解,注,例6 設(shè) ，f 具有二階連續(xù)偏導數(shù), 求,這里下標1表示對第一個中間變量u求偏導數(shù)， 下標2表示對第二個中間變量v求偏導數(shù).,解,同理有,因所給函數(shù)由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz復合而成，所以根據(jù)復合函數(shù)求導法則，有,=,=,+,+,根據(jù)復合函數(shù)求導法則，有,+,=,+,+,=,+,仍是 x, y, z的復合函數(shù),，,=,+,+,+,=,+,例7 設(shè)u=f(x,y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù)，把下列表達式轉(zhuǎn)換為極坐標系中形式.,解,=,=,由（1）式得,這樣，,可看作由,復合而成.,得,兩式平方后相加，得,根據(jù)復合函數(shù)求導法則，得,=,+,=,再求二階偏導數(shù)，得,=,+,=,=,=,+,同理可得,兩式相加，得,二、全微分形式不變性: 設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分,若u、v又是x、y的函數(shù), ，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù),的全微分為,所謂全微分的形式不變性是指: 無論z是自變量 u、v的函數(shù)或中間變量 u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個性質(zhì)叫做全微