試驗誤差與數(shù)據(jù)處理.ppt

1、第3章 誤差的合成,3.1 誤差的相關(guān)性及相關(guān)系數(shù),3.2 間接測量的誤差,3.3 誤差的合成,3.4 間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟,把各項誤差求總誤差的過程稱為誤差的合成。,誤差的合成，須具體考慮以下幾個方面：,1、確定誤差的性質(zhì),2、確定誤差的分布規(guī)律,3、分項誤差的相關(guān)性,5、確定被測量與各影響因素之間的函數(shù)關(guān)系,實際情況非常復(fù)雜，誤差合成應(yīng)根據(jù)具體情況進行，采取抓主要舍次要的原則，使誤差合成的最后結(jié)果能夠簡便而真實地表示出測量結(jié)果與精度。,4、誤差項的劃分及數(shù)目,3.1 誤差的相關(guān)性及相關(guān)系數(shù),3.1.1相關(guān)的概念,如果一個變量的變化，受另一個變量的影響，且兩個變量之間有一定的非函數(shù)關(guān)聯(lián)，則

2、稱兩個變量相關(guān)，其間的關(guān)聯(lián)關(guān)系為相關(guān)關(guān)系。,3.1.2相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)是兩個隨機變量（兩分項誤差）之間線性相關(guān)緊密程度的表征值，用符號來表示。,概率論中，相關(guān)系數(shù)的定義為：任意兩個隨機變量x與y的協(xié)方差cov(x,y)與兩個變量的標(biāo)準(zhǔn)差乘積之比。即,一、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),1、相關(guān)系數(shù)的絕對值不大于1，即| | 1。,、隨機變量放大或縮小時，其相關(guān)系數(shù)不變。,其中,的數(shù)學(xué)期望,為,(1),0,稱為正相關(guān)，即隨機變量x增大，隨機變量y也增大,(2),0，,稱為負(fù)相關(guān)，即隨機變量x增大，隨機變量減小,（3）,1，稱完全正相關(guān)，即x與y呈正的線性函數(shù)關(guān)系,（4）,-1 稱完全負(fù)相關(guān)，即x與y呈負(fù)的線性

3、函數(shù)關(guān)系,（5）,0，則兩個變量之間不相關(guān)。,注意： 不相關(guān)和獨立是兩個不同的概念，若兩個隨機變量相互獨立， 則兩個變量必不相關(guān)；但是兩個變量不相關(guān)，并不能說明一定是 相互獨立的，可能存在著其它的非線性的相關(guān)關(guān)系。只有當(dāng)兩個 隨機變量都服從正態(tài)分布時，不相關(guān)和獨立才是等價的。,1、判斷,（1）兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響。,（3）兩變量相互有影響，但影響甚微，可忽略。,（2）當(dāng)一個變量依次增大，引起另一變量無規(guī)則的正負(fù)交替變化，反之亦然。,該法應(yīng)用簡便，適合于定性分析和測量數(shù)據(jù)較少的情況。缺點是可信賴程度差，難以求得確切的相關(guān)系數(shù)。,2、判斷,（1）兩分量之間近似成正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)

4、系。,（2）當(dāng)一個變量依次增大，引起另一變量依次增大或減小，反之亦然。,（3）兩變量屬于同一體系的分量，則完全相關(guān)。,二、相關(guān)系數(shù)的求法,（ 一）直觀判斷法,（二）測量數(shù)據(jù)估計法,1、觀察法,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的殘差作圖，與標(biāo)準(zhǔn)圖形進行比較，求出相關(guān)系數(shù)的估計值。,觀察法只能定性的確定相關(guān)系數(shù)，不能確定相關(guān)系數(shù)的具體大小。,2、簡單計算法,該方法以各分項誤差服從正態(tài)分布為前提 ，可以求得比較確切的相關(guān)系數(shù)。,3、統(tǒng)計計算法,當(dāng)測量次數(shù)n足夠大時,這種方法是建立在統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，適合測量次數(shù)較多的情況。,相關(guān)系數(shù)的獲取比較困難，應(yīng)盡量避開。對于數(shù)值小的誤差間的相關(guān)系數(shù)，可用物理直觀判斷法，對于數(shù)值大的，

5、可采用成對觀測，進行簡單或嚴(yán)格的計算。,（三）實驗估算法,例：測量環(huán)路正弦交變電位差幅值V、電流幅值I和交流電位差對交流電的相移角 ，測得五組數(shù)據(jù)見表，用統(tǒng)計公式計算各輸入量之間的相關(guān)系數(shù)。,解：根據(jù)式,3.2 間接測量的誤差,間接測量的誤差是直接測量量及其誤差的函數(shù)，所以這種誤差又稱函數(shù)誤差。其實質(zhì)是研究誤差的傳播問題。,3.2.1間接測量系統(tǒng)誤差的計算,待測量y與各直接測量值x1,x2，x n 之間有函數(shù)關(guān)系,求微分,如果各直接測量量定值系統(tǒng)誤差為 ，且各系統(tǒng)誤差是微小的，則用各 代替上式中相應(yīng)的 后，即可得到間接測量量的系統(tǒng)誤差為,上式中 稱為誤差的傳遞系數(shù)（或靈敏度系數(shù)），對其所對應(yīng)的

6、誤差起到放大或縮小的作用。,例： 用弓高弦長法測圓弧的半徑R，如圖。已測得弦長S=360 mm，弓高H=30mm，測量中弦長和弓高的定值系統(tǒng)誤差為 求圓弧的半徑R及系統(tǒng)誤差。,又因為,代入數(shù)據(jù),對半徑R進行修正,解 ：,各量的函數(shù)關(guān)系式為,根據(jù)測量值可得,3.2.2間接測量隨機誤差的計算,隨機誤差一般用標(biāo)準(zhǔn)差來評定，因此，研究間接測量的隨機誤差，也就是研究間接測量量y的標(biāo)準(zhǔn)差與直接測量量x1,x2，xm的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義，對上式平方得,對n個直接測量量進行m次等精度測量，相應(yīng)的隨機誤差為 ，yi的隨機誤差為yi，設(shè)直接測量量與待測量之間的函數(shù)關(guān)系為 ，則,假設(shè)待測量隨各直接測

7、量量連續(xù)變化，且各個誤差都很小，將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，取其一階項作為近似值，可得：,各方程求和得,用m除上式兩邊，并根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義，得,相關(guān)系數(shù)定義,（i=1，2，m）,則間接測量量的標(biāo)準(zhǔn)差為：,此式為間接測量量標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式，通常稱為隨機誤差傳遞公式。其中 為誤差傳遞系數(shù)（或靈敏系數(shù)）。,如果各直接測量值的誤差相互獨立，且測量次數(shù)較大，則,上式簡化為,或,實際測量中，各直接測量量的誤差之間往往是無關(guān)的，或人為安排使各量獨立測量，所以第二式是常用的計算式。,例：已知線性函數(shù)關(guān)系 y=a1x1+a2x2+anx n ，試求y的隨機誤差計算式。,例：已知非等精度測量值的加權(quán)平均值為 求：加權(quán)平均

8、值 的標(biāo)準(zhǔn)差 。,則,如果測量為等精度，那么p1=p2=p n ，且i=，則,解 ：,解法三：由y=3x知x與y的誤差之間滿足線性關(guān)系，因而, ，則,二、誤差分配,待測量的允許誤差確定后，根據(jù)該允許誤差確定各直接測量的允許誤差稱為誤差的分配。是間接測量誤差合成的逆問題。,不考慮系統(tǒng)誤差的影響，只研究隨機誤差的情況。設(shè)各量的誤差相互獨立，有,若給定了間接測量量標(biāo)準(zhǔn)差的允許值,即,上式關(guān)于Di 或xi的解是不確定的，為求確定解，通常采用下列步驟確定 ：,1、按等作用原則初步分配誤差,認(rèn)為各直接測量量的誤差對待測量誤差的影響相同，即,2、按現(xiàn)有條件合理調(diào)整誤差,則,即：,調(diào)整原則：根據(jù)實現(xiàn)各量所要求

9、精度的難易程度，對精度較低，易于測量的誤差項，可適當(dāng)減小誤差的允許值；對難以測量的誤差項，可增大其誤差的允許值；對其他誤差項可先不做調(diào)整。,3.檢驗誤差調(diào)整的合理性,作用：合理地對測試方法或測試裝置進行設(shè)計，分析測量技術(shù)線路是否合理，比較和評價各種測量方法或測量裝置的優(yōu)缺點，充分發(fā)揮現(xiàn)有的技術(shù)潛力，降低實驗成本。,選擇測量儀器：直徑：最小刻度為0.02mm的游標(biāo)卡尺 20mm范圍內(nèi)的極限誤差為0.04mm,高：最小最小刻度為0.1mm的游標(biāo)卡尺 50mm范圍內(nèi)的極限誤差為0.150mm,檢驗：,測量儀器：都選用最小刻度為0.05mm的游標(biāo)卡尺 50mm范圍內(nèi)的極限誤差為0.08mm,再檢驗：,

10、調(diào)整后只需用一把游標(biāo)卡尺就可以測量直徑和高度，并且保證了測量的準(zhǔn)確度。,三 、最佳測量方案的確定,標(biāo)準(zhǔn)：一方面要考慮經(jīng)濟性，另一方面要盡量減小測量誤差。要在經(jīng)濟、易實現(xiàn)的前提下，充分提高測量精度。,1、選擇最佳的測量方法及函數(shù)公式,實驗儀器在確定的條件下，對某量進行測量，可能有幾種精度不同的測量方法和函數(shù)計算公式。通過分析和計算，應(yīng)按照精度最高的方法進行測量，選擇合理的函數(shù)公式進行計算。,例：用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺測量某箱體上兩軸的中心矩L，如圖所示，試確定最佳測量方案 。,解：測量方法有三種：,測量兩軸直徑d1,d2 和外尺寸 L1， 則 函數(shù)式為：,測量兩軸直徑d1,d2 和內(nèi)尺

11、寸 L2， 則函數(shù)式為,測量外尺寸L1和內(nèi)尺寸 L2 ，則 函數(shù)式為：,若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,3種方法的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,【方法一】,【方法三】,【方法二】,測量時應(yīng)選擇誤差小，直接測量量數(shù)目較少、函數(shù)式較簡單的測量方法。,2、確定最有利的測量條件,最有利測量條件：是指按該條件測量時，使待測量的誤差最小。選擇最有利的測量條件時應(yīng)設(shè)法使各個分項誤差的傳遞系數(shù) 為零或達到最小，從而減小系統(tǒng)誤差。,例： 現(xiàn)有一球形儲油罐，內(nèi)徑為R，用測量液面高度H的辦法求儲油量VH，如圖所示。試問液面在什么位置時，測量儲油量VH的誤差最?。?解：,儲油量與液面的關(guān)系式為,液面高度H的誤差傳遞系數(shù),按照最有利

12、條件要求 ，令,則,從而,結(jié)果說明容器裝滿油或空時，測量儲油量VH誤差最小。然而，容器空時無實際意義，裝滿時對減小測量誤差和充分利用設(shè)備都是有利的。 但實際使用時，不宜裝滿，要留出 溫度升高液體膨脹的空間。,因此：,假設(shè)采用同一尺子進行測量，因此L1和L2的標(biāo)準(zhǔn)差相等，即：,因此要使上式取最小值，系數(shù)需最小，,令,，將,代入上式得：,得：,解 ：,相對誤差為,例： 電工實驗中，常用 測量金屬導(dǎo)線的電阻率。其中 分別為電阻率、長度、直徑和電阻。試問 如何取值對測量有利？哪一項應(yīng)測得更準(zhǔn)？,若 ，則d對電阻率誤差影響最大，因此直徑d應(yīng)測得更準(zhǔn)些。,當(dāng)測量條件 一定時，欲減小 ，應(yīng)選擇長而粗，阻值大

13、的導(dǎo)線來測量。,四、微小誤差取舍準(zhǔn)則,已知待測量y的標(biāo)準(zhǔn)差,若部分誤差 Dk 與其他部分誤差 Di 相比很小，與 y 相比可以忽略 。則忽略后y的標(biāo)準(zhǔn)差為,根據(jù)微小誤差定義，若Dk 為微小誤差，則,對一般精度的測量，誤差的有效數(shù)字取一位。這時上式成立的條件為：,對于精度比較高的測量，誤差的有效數(shù)字可取二位，這時,取舍準(zhǔn)則為：對于隨機誤差或者未定系統(tǒng)誤差，被舍去的誤差應(yīng)小于總誤差的1/31/10，對于已定系統(tǒng)誤差，則可以忽略。,多項微小誤差同時存在，如 Dk ,Dk+1 ,Dk+2 皆為微小誤差，即,或,可以將這些部分誤差一起舍去，不須逐個舍棄。,另外，微小誤差除了簡化計算外，在選用校驗儀表的標(biāo)

14、準(zhǔn)儀表時，也有重要用途。,3.3 誤差的合成,3.3.1隨機誤差的合成,一、按標(biāo)準(zhǔn)差合成,總標(biāo)準(zhǔn)差,一般情況各誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù) ，則,用標(biāo)準(zhǔn)差進行合成時簡單方便，且不考慮各分項隨機誤差的概率分布如何。,各分項隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 極限誤差 誤差傳遞系數(shù),直接測量,間接測量,二、按極限誤差合成,總極限誤差,若各分項隨機誤差取同一置信概率,各分項隨機誤差的置信概率不相同,轉(zhuǎn)換后總標(biāo)準(zhǔn)差,總極限誤差,若各分項隨機誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，且互不相關(guān)，則,上式簡便，且具有一定的實際意義，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式，但應(yīng)該注意應(yīng)用的條件。,3.3.2系統(tǒng)誤差的合成,一、已定系統(tǒng)誤差

15、的合成,設(shè)測量過程中已定系統(tǒng)誤差為 , 相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1 ,a2,an?？偟囊讯ㄏ到y(tǒng)誤差可按代數(shù)和法合成,直接測量a1 =a2=,=an=1，因此,間接測量 ，因此,總未定系統(tǒng)誤差極限誤差,其中,當(dāng)各分項未定系統(tǒng)誤差互不相關(guān)時，有,當(dāng)各分項均服從均勻分布時,當(dāng)各分項誤差均服從正態(tài)分布時,例：在立式光學(xué)計上，用3等量塊為基準(zhǔn)，檢定L0=20mm的量規(guī)。已知3等量塊長度的實際偏差為+0.22m，檢定誤差e=0.15m。在恒溫條件下測量10次，得到數(shù)據(jù)如表所示。 試對檢定數(shù)據(jù)進行處理，并寫出檢定結(jié)果。,解：,由于,回顧等精度直接測量列的數(shù)據(jù)處理步驟,4.判斷有無系統(tǒng)誤差，并盡量減小其影響,5.判斷粗大誤差，檢驗數(shù)據(jù)的合理性,6. 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,7.算術(shù)平均值的極限誤差,1.求算術(shù)平均值,2.求殘差,3. 測量列（單次）測量的標(biāo)準(zhǔn)差,8.測量結(jié)果,或,3.4間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟,殘差觀察法殘差觀察法,設(shè)間接測量量y與各直接測量量x1,x2,，x