大學(xué)物理2-1第六章(振動(dòng)與波)習(xí)題答案

1、習(xí) 題 六6-1 一輕彈簧在60N的拉力下伸長(zhǎng)30cm?，F(xiàn)把質(zhì)量為4kg物體懸掛在該彈簧的下端，并使之靜止，再把物體向下拉10cm，然后釋放并開(kāi)始計(jì)時(shí)。求：(1)物體的振動(dòng)方程；(2)物體在平衡位置上方5cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力；(3)物體從第一次越過(guò)平衡位置時(shí)刻起，到它運(yùn)動(dòng)到上方5cm處所需要的最短時(shí)間。解 (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為正方向，建立坐標(biāo)系 設(shè)振動(dòng)方程為 時(shí) 故振動(dòng)方程為 (2)設(shè)此時(shí)彈簧對(duì)物體作用力為F，則其中 因而有 (3)設(shè)第一次越過(guò)平衡位置時(shí)刻為，則 第一次運(yùn)動(dòng)到上方5cm處時(shí)刻為 ，則 故所需最短時(shí)間為： 6-2 一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過(guò)

2、點(diǎn) A時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t0)，經(jīng)過(guò)2s后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，再經(jīng) 2s后，質(zhì)點(diǎn)第二經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB=10cm，求：(1)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：(1)質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率。解 由旋轉(zhuǎn)矢量圖和可知s由于(1) 以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向右方。t=0時(shí), t=2s時(shí)， 由以上二式得 因?yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以所以，運(yùn)動(dòng)方程為：(2)速度為： 當(dāng)t=2s時(shí) 6-3 一質(zhì)量為M的物體在光滑水平面上作諧振動(dòng)，振幅為 12cm，在距平衡位置6cm處，速度為24，求：(1)周期T； (2)速度為12時(shí)的位移。解 (1) 設(shè)振動(dòng)方程為以、代入，得： 利用則解得 (2) 以

3、代入，得：解得： 所以 故 6-4 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，求振動(dòng)方程。解 設(shè)振動(dòng)方程為： 根據(jù)振動(dòng)曲線可畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖由圖可得： 故振動(dòng)方程為 6-5 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率，試分別寫出以下兩種初始狀態(tài)的振動(dòng)方程；(1)其初始位移7.5 cm，初始速度；(2)其初始位移7.5 cm，初速度。解 設(shè)振動(dòng)方程為 (1) 由題意得： 解得： A=10.6cm 故振動(dòng)方程為： (2) 同法可得： 6-6 一輕彈簧在60 N的拉力作用下可伸長(zhǎng)30cm?，F(xiàn)將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，它們的總質(zhì)量為4kg待其靜止后再把物體向下拉10cm，然后釋放。問(wèn)：(1)此小物體是停止在

4、推動(dòng)物體上面還是離開(kāi)它?(2)如果使放在振動(dòng)物體上的小物體與振動(dòng)物體分離，則振幅A需滿足何條件?二者在何位置開(kāi)始分離?解 (1)小物體停止在振動(dòng)物體上不分離。(2) 設(shè)在平衡位置彈簧伸長(zhǎng)，則又 故 當(dāng)小物體與振動(dòng)物體分離時(shí) ，即 ，故在平衡位置上方0.196m處開(kāi)始分離。6-7 一木板在水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅是12cm，在距平衡位置6cm處，速度是24。如果一小物塊置于振動(dòng)木板上，由于靜摩擦力的作用，小物塊和木板一起運(yùn)動(dòng)(振動(dòng)頻率不變)，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)到最大位移處時(shí)，物塊正好開(kāi)始在木板上滑動(dòng)，問(wèn)物塊與木板之間的靜摩系數(shù)是多大?解 設(shè)振動(dòng)方程為 則： 以x=6cm v=24cm/s代入得：解得 最

5、大位移處： 由題意，知 6-8 兩根倔強(qiáng)系數(shù)分別為和的輕彈簧串接后，上端固定，下端與質(zhì)量為m的物體相連結(jié)，組成振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng)物體被拉離平衡位置而釋放時(shí)，物體是否作諧振動(dòng)?若作諧振動(dòng)，其周期是多少?若將兩彈簧并聯(lián)，其周期是多少?解 (1) 串接：物體處平衡位置時(shí)，兩彈簧分別伸長(zhǎng)、 (1) (2) 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)向下為正，令物體位移為x，兩彈簧再次伸長(zhǎng)、，則由(1)知 (3)又 (4) (5)由(4)、(5)得 (6)將(6)代入(3)得 看作一個(gè)彈簧 所以 因此物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率周期 (2) 并接：物體處于平衡位置時(shí)， (7)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正，令物體有位移x則 式中、

6、分別為兩彈簧伸長(zhǎng) 所以 將(7)代入得 看作一個(gè)彈簧 所以 因此該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其角頻率 因此周期 6-9 在豎直平面內(nèi)半徑為R的一段光滑圓弧軌道上放一小物體，使其靜上于軌道的最低點(diǎn)，如圖所示。若觸動(dòng)小物體，使其沿圓弧形軌道來(lái)回作小幅度運(yùn)動(dòng)，試證明：(1)此物體作諧振動(dòng)；(2)振動(dòng)周期。證明 取最低點(diǎn)為平衡位置，物體與O點(diǎn)連線偏離的角為。(1) 物體與O點(diǎn)連線偏離角時(shí)，指向平衡位置的力矩很小，故，所以 (1)可見(jiàn)該力矩為指向平衡位置的線形回復(fù)力矩，故物體作諧振動(dòng)。(2) 由于 根據(jù)(1)式有 令 則 6-10 如圖所示，半徑為R的圓環(huán)靜止于刀口點(diǎn)O上，令其在自身平面內(nèi)作微小的擺動(dòng)。(1

7、)求其振動(dòng)的周期；(2)求與其振動(dòng)周期相等的單擺的長(zhǎng)度。解 (1) 設(shè)圓環(huán)偏離角度為 所作振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 所以 (2) 等效單擺周期為的擺長(zhǎng)為。6-11 如圖所示，質(zhì)量為m、半徑為R的半圓柱，可繞圓柱的軸線O在重力作用下作微振動(dòng)，已知半圓柱的質(zhì)心在距軸處，求其振動(dòng)周期。解 OC偏離中垂線角時(shí)指向中間的力矩根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理 其中 代入得 即 所以 6-12 測(cè)量液體阻尼系數(shù)的裝置如圖所示。若在空氣中測(cè)得振動(dòng)頻率為，在液體中測(cè)得振動(dòng)頻率為，求在液體中物體振動(dòng)時(shí)的阻尼因子。解 在空氣中振動(dòng)方程為 在液體中振動(dòng)方程 (為阻尼系數(shù))對(duì)應(yīng)的振動(dòng)角頻率 則 即 所以 6-13 一彈簧振子，當(dāng)位移是振幅之半時(shí)，該

8、振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能與總能量之比是多少?位移為多大時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量之半? 解 設(shè)振幅為A，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)為k， (1) 當(dāng)位移是振幅之半時(shí) (2) 位移為x時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能各占總能量的一半則有 所以 6-14 一彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，當(dāng)物體以初動(dòng)能0.2J和初勢(shì)能0.6J振動(dòng)時(shí)，(1)求諧振動(dòng)的振幅；(2)位移是多大時(shí)，勢(shì)能與動(dòng)能相等?(3)位移是振幅之半時(shí)，勢(shì)能是多大?解 (1) 設(shè)振幅為A，由機(jī)械能守恒定律，得 (2) 動(dòng)能、勢(shì)能相等時(shí)有 因此 (3) 位移為振幅一半時(shí)，勢(shì)能為 6-15 如圖所示，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，重物的質(zhì)量為m 6 kg，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水

9、平恒力F10 N向左作用于物體(無(wú)摩擦)，使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05 m，此時(shí)撤去力F。當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最大位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求物體的振動(dòng)方程。解 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正方向建立坐標(biāo)系, 設(shè)振幅為A，由功能原理可得 因此 又因物體運(yùn)動(dòng)到左邊最大位移處開(kāi)始計(jì)時(shí),故初相為故得運(yùn)動(dòng)方程為 6-16 兩諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為 (SI) 試求其合振動(dòng)的振幅和初相位。解 由振動(dòng)合成公式，得結(jié)合矢量圖得6-17 兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為 20cm，合振動(dòng)與第一個(gè)諧振動(dòng)的相位差為。若第一個(gè)諧振動(dòng)的振幅為cm，求第二個(gè)諧振動(dòng)的振幅及第一、二兩諧振動(dòng)的相位差。解 由題意可畫出兩簡(jiǎn)諧

10、振動(dòng)合成的矢量圖，由圖知 易證 故第一、二兩振動(dòng)的相位差為 6-18 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)互相垂直的振動(dòng) (S1)求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2)質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的作用力。解 (1) y方向的振動(dòng)可化為消去三角函數(shù)部分可得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為(2) 由 可得 同理 因此 6-19 一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，振幅A10cm，圓頻率，當(dāng)t1.0s時(shí)，x10cm處質(zhì)點(diǎn)的位移為零，速度沿負(fù)方向，此時(shí)x=20cm處質(zhì)點(diǎn)的位移為5.0cm，速度沿正方向。已知波長(zhǎng)10cm，試寫出該波的波函數(shù)。解 由已知得 A0.1m, ，波沿x軸正向傳播，故可設(shè)波函數(shù)為：m當(dāng)t=1s 時(shí)，x=0.1m處，y=

11、0m 故故有 (1)對(duì)t=1.0s ，x=0.2m 處，有故有 (2)對(duì)(1)、（2）兩式k取相同的值的根據(jù)是10cm由(1)、(2)得 故所求波函數(shù)為6-20 一簡(jiǎn)諧波的周期T=0.5s，波長(zhǎng)=10 m，振幅A 0.1 m。當(dāng)t=0時(shí)刻，波源振動(dòng)的位移恰好為正方向的最大值。若坐標(biāo)原點(diǎn)與波源重合，且波沿Ox軸正向傳播；求：(1)此波的波函數(shù)，(2)時(shí)刻，處質(zhì)點(diǎn)的位移；(3)時(shí)刻， 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。解 (1)由已知條件，可設(shè)波函數(shù)為： 由已知 t=0，x=0時(shí)，y=0.1m故 由此得因而波函數(shù)為(2) ，處:(3) ，處，振動(dòng)速度為6-21 一平面簡(jiǎn)諧波沿Ox軸正向傳播，其振幅為A，頻率為，波

12、速為u。設(shè)時(shí)刻的波形曲線如圖所示。求：(1)x=0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)該波的波函數(shù)。解 (1) 設(shè)x=0處該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為： 由時(shí)波形和波速方向知，；時(shí) 故 所以x=0處的振動(dòng)方程為:(2) 該波的波函數(shù)為：6-22 根據(jù)如圖所示的平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖，試求：(1)該波的波函數(shù)；(2)點(diǎn)P處的振動(dòng)方程。解 由已知，得，m (1) 設(shè)波函數(shù)為 當(dāng)t=0，x=0時(shí)，由圖知因此 (或)則波函數(shù)為(2) 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得6-23 已知一簡(jiǎn)諧平面波的波函數(shù)為。 (1)試求t=4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)表示式，并計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)最近的一個(gè)波峰的位置，該波峰何時(shí)通過(guò)原點(diǎn)?(2)畫出t4.

13、2 s時(shí)的波形曲線。解 (1) 波峰位置滿足條件所以 顯然k=8時(shí)，離坐標(biāo)原點(diǎn)最近，設(shè)通過(guò)原點(diǎn)時(shí)刻為t，則 所以 (2) t=4.2s時(shí)的波形曲線6-24 一平面簡(jiǎn)諧波沿Ox軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和，波速為u。設(shè)t0時(shí)的波形曲線如圖所示。(1)寫出該波的波函數(shù)；(2)求距點(diǎn)O分別為和兩處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(3)求距點(diǎn)O分別為和兩處質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的振動(dòng)速度。解 (1)由圖知，故 波函數(shù) (2) 時(shí) 時(shí) (3) 6-25 如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖，試畫出點(diǎn)P處質(zhì)點(diǎn)與點(diǎn)Q處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線，然后寫出相應(yīng)的振動(dòng)方程。解 ，P處振動(dòng)曲線振動(dòng)方程 (2) Q處的振動(dòng)曲線振動(dòng)方程 6

14、-26 如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖。設(shè)簡(jiǎn)諧波的頻率為250 Hz，且此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向向下，求：(1)該波的波函數(shù)；(2)在距點(diǎn)O為100m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程與振動(dòng)速度表達(dá)式。解 (1) ，又因P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向向下，則波向左傳播，設(shè)波函數(shù)為 t=0，x=0時(shí) ，則因，所以?。ɑ蛴尚D(zhuǎn)矢量圖知）故波函數(shù)為(2) x=100m時(shí)，當(dāng)x=100m時(shí)，6-27 如圖所示，兩列波長(zhǎng)均為的相干簡(jiǎn)諧波分別通過(guò)圖中的點(diǎn)和。通過(guò)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧波在平面反射后，與通過(guò)點(diǎn)簡(jiǎn)諧波在點(diǎn)P相遇。假定波在平面反射時(shí)有半波損失，和兩點(diǎn)的振動(dòng)方程分別為和，且，求：(1)兩列波分別在點(diǎn)P引起的振動(dòng)方程；(2)點(diǎn)P的合振動(dòng)方程

15、(假定波在傳播過(guò)程中無(wú)吸收)。解 (1) (2) 6-28 如圖所示，兩相干波源和之間的距離為d=30m，且波沿Ox軸傳播時(shí)不衰減，=9m和=12m處的兩點(diǎn)是相鄰的兩個(gè)因干涉而靜止的點(diǎn)。求兩波的波長(zhǎng)和兩波源間的最小相位差。解 由題意得 對(duì)m處 所以 因此 6-29 在均勻媒質(zhì)中，有兩列余弦波沿Ox軸傳播，波函數(shù)分別為和，試求Ox軸上合振幅最大與合振幅最小的那些點(diǎn)的位置。解 合振幅最大點(diǎn)滿足的條件是可得 合振幅最小點(diǎn)滿足的條件是可得 6-30 如圖所示，和為兩相干波源，相距，的相位比的相位超前，若兩波在連線方向上的強(qiáng)度均為，且無(wú)吸收。問(wèn)連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度如何?又在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)

16、度如何? 解 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向,建立坐標(biāo)系。外側(cè)，、傳出的波函數(shù)為故 、振動(dòng)方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅為零因此 外側(cè)，、傳出的波函數(shù)為合振幅為2A，又因波強(qiáng)正比于因此 6-3l 兩波在一根很長(zhǎng)的弦線上傳播，其波函數(shù)分別為求：(1)兩波的頻率、波長(zhǎng)和波速；(2)兩波疊加后的波節(jié)位置；(3)兩波疊加后的波腹位置。解 (1) 波動(dòng)方程可寫作標(biāo)準(zhǔn)形式為 故，(3) 節(jié)點(diǎn)條件滿足 故 ，(3) 波腹條件滿足 6-32 在彈性媒質(zhì)中有一沿Ox軸正向傳播的平面波，其波函數(shù)為 (S1)，若在x=5.00m處有一媒質(zhì)分界面，且在分界面處反射波有半波損失，波的強(qiáng)度不衰減。試寫出反射波的

17、波函數(shù)。解 處的振動(dòng)方程所以反射波波函數(shù)為 6-33 一弦上的駐波方程為 (S1) (1)若將此波視為兩列傳播方向相反的波疊加而成，求兩列波的振幅及波速；(2)求相鄰波節(jié)之間的距離，(2)求時(shí)，位于x0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。解 (1) 因故 由于 所以 ms(2) 相鄰波節(jié)間的距離 (3) 故當(dāng)，時(shí) 6-34 一列橫波在繩索上傳播，其波函數(shù)為 (SI)(1)現(xiàn)有另一列橫波(振幅也是0.05 m)與上述已知橫波在繩索上形成駐波。設(shè)這一橫波在x0處與已知橫波同相位，試寫出該波的波函數(shù)。(2)寫出繩索中的駐波方程，求出各波節(jié)的位置坐標(biāo)表達(dá)式，并寫出離原點(diǎn)最近的四個(gè)波節(jié)的坐標(biāo)數(shù)值。解 (1) 設(shè)

18、反射波的波函數(shù)為： 因x0處與已知波的波函數(shù)相位相同，故因而，波函數(shù)為 (2) 駐波方程 =波節(jié)處應(yīng)有： 即 (k=0,1,2,)離原點(diǎn)最近的四個(gè)波節(jié)的坐標(biāo)數(shù)值為： 1m, -1m , 3m, -3m6-35 簡(jiǎn)諧波在直徑d0.10m的圓柱形管內(nèi)空氣媒質(zhì)中傳播，波強(qiáng)度，波速為250，頻率為，試計(jì)算：(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2)兩相鄰?fù)辔幻?相距一個(gè)波長(zhǎng)的兩個(gè)波面)之間的波段中平均含有多少能量。?解 (1) 因 故 (2) 6-36 一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率Hz。若該媒質(zhì)的密度為800，求：(1)該波的能流密度；(2)一分鐘內(nèi)垂直通過(guò)面積的總能量。解 (1) 該波的平均能流密度(2) 一分鐘內(nèi)垂直通過(guò)面積的總能量為6-37 一汽笛發(fā)出頻率為1000Hz的聲波，汽笛以10