信號與系統(tǒng)信號的頻域分析.ppt

1、信號的頻域分析,連續(xù)周期信號的頻域分析 連續(xù)非周期信號的頻譜 常見連續(xù)時(shí)間信號的頻譜 連續(xù)時(shí)間Fourier變換的性質(zhì) 離散周期信號的頻域分析 離散非周期信號的頻域分析,連續(xù)周期信號的頻域分析,周期信號的傅立葉級數(shù)展開 周期信號的頻譜及其特點(diǎn) 傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì) 周期信號的功率譜,將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合,(1) 從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了途徑。,(2) 從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)而且每個(gè)正弦分量通過系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。,連續(xù)周期信

2、號的頻域分析,意義：,一、周期信號的傅立葉級數(shù)展開,1. 周期信號展開為傅立葉級數(shù)條件 周期信號fT(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即： (1) 絕對可積，即滿足 (2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)； (3) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。,注意：條件（1） 為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。,2. 指數(shù)形式傅立葉級數(shù),連續(xù)時(shí)間周期信號可以用指數(shù)形式傅立葉級數(shù)表示為,其中,兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來稱為信號的基波分量,的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來稱為信號的2次諧波分量,的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來稱為信號的N次諧波分量,物理含義：周

3、期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和。,3. 三角形式傅立葉級數(shù),若 f (t)為實(shí)函數(shù)，則有,利用這個(gè)性質(zhì)可以將指數(shù)Fourier級數(shù)表示寫為,令,由于C0是實(shí)的，所以b0=0，故,三角形式傅立葉級數(shù),純余弦形式傅立葉級數(shù),稱為信號的直流分量， An cos(n0t+ n)稱為信號的n次諧波分量。,例題1 試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號的傅立葉級數(shù)展開式。,解:該周期信號f (t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件， 必然存在傅立葉級數(shù)展開式。,可得，周期方波信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開式為,若=T/2，則有,由,因此，周期方波信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式為,例2 試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號

4、的傅立葉級數(shù)展開式。,解: 該周期信號f (t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，Cn存在,周期三角脈沖信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開式為,由,周期三角脈沖信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式為,二、 周期信號的頻譜及其特點(diǎn),周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和,Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。,不同的時(shí)域信號，只是傅里葉級數(shù)的系數(shù)Cn不同，因此通過研究傅里葉級數(shù)的系數(shù)來研究信號的特性。,1、頻譜的概念,2、頻譜的表示,直接畫出信號各次諧波對應(yīng)的An、 Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。,幅頻特性,相頻特性,例1周期矩形脈沖信號的頻

5、譜圖,3頻譜的特性,(1)離散頻譜特性,周期信號的頻譜是由 間隔為0的譜線組成,信號周期T越大，0就越小，則譜線越密。反之，T越小，0越大，譜線則越疏。,3頻譜的特性(2)幅度衰減特性,當(dāng)周期信號的幅度頻譜 隨著諧波nw0增大 時(shí)，幅度頻譜|Cn|不斷衰減，并最終趨于零。 若信號時(shí)域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號時(shí)域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。 f(t)不連續(xù)時(shí)， Cn按1/n的速度衰減 f(t)不連續(xù)時(shí)，Cn按1/n2的速度衰減,(3)信號的有效帶寬,02 / 這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度,即,信號的有效帶寬與信號時(shí)

6、域的持續(xù)時(shí)間成反比。 即 越大，其B越?。环粗?， 越小，其B越大。,物理意義：若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產(chǎn)生明顯影響。,說明：當(dāng)信號通過系統(tǒng)時(shí)，信號與系統(tǒng)的有效帶寬 必須“匹配”。,4 相位譜的作用,幅頻不變，零相位,幅頻為常數(shù)，相位不變,1. 線性特性,2. 時(shí)移特性,三、傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì),3.卷積性質(zhì),(1)若f(t)為實(shí)信號,若f1(t)和f2(t)均是周期為T0的周期信號，且,4. 微分特性,5. 對稱特性,5. 對稱特性,(2) 縱軸對稱信號fT(t)=fT(-t),縱軸對稱周期信號其傅立葉級數(shù)展開式中只含有直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)。,(3) 原點(diǎn)對稱信號fT(t)=-f

7、T(-t),原點(diǎn)對稱周期信號其傅立葉級數(shù)展開式中只含有正弦項(xiàng)。,(4) 半波重迭信號fT(t)=f(tT/2),半波重疊周期信號只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量。,(5) 半波鏡像信號fT(t)=-f(tT/2),半波鏡像周期信號只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量。,去掉直流分量后，,信號呈奇對稱，只含有正弦各次諧波分量。,因此該信號含有正弦各次諧波分量，直流分量。,說明：某些信號波形經(jīng)上下或左右平移后， 才呈現(xiàn)出某種對稱特性,例題3,四、周期信號的功率譜,物理意義：任意周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。,周期信號的

8、功率頻譜： |Cn|2 隨nw0 分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜。,帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理,例題4 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02p/t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。,解 周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為,將A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式,功率譜,信號的平均功率為,包含在有效帶寬(02p/t)內(nèi)的各諧波平均功率為,周期矩形脈沖信號包含在有效帶寬內(nèi)的各諧波平均功率之和占整個(gè)信號平均功率的90%。,吉伯斯現(xiàn)象,用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點(diǎn) 出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨

9、諧波分量增加而減少， 且 為跳變值的9% 。,吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因,時(shí)間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得 在間斷點(diǎn)傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。,N=5,N=15,N=50,N=500,周期信號的頻域分析小結(jié),分析問題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級數(shù) 最重要概念：頻譜函數(shù) 要點(diǎn) 1. 頻譜的定義、物理意義 2. 頻譜的特點(diǎn) 3. 頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號的頻譜 4. 功率譜的概念及在工程中的應(yīng)用,連續(xù)非周期信號的頻譜,從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別 傅里葉反變換 非周期矩形脈沖信號的頻譜分析,1從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換,討論周期T增加對離散譜的影響：,周期為T寬度為t的

10、周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為,物理意義: F(jw)是單位頻率所具有的信號頻譜， 稱之為非周期信號的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。,2. 頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別,(1) 周期信號的頻譜為離散頻譜， 非周期信號的頻譜為連續(xù)頻譜。,(2) 周期信號的頻譜為Cn的分布， 表示每個(gè)諧波分量的復(fù)振幅；,非周期信號的頻譜為T Cn的分布，表示每單位帶寬內(nèi) 所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。,兩者關(guān)系：,物理意義：非周期信號可以分解為無數(shù)個(gè)頻率為， 復(fù)振幅為F()/2pd 的復(fù)指數(shù)信號ejw t的線性組合。,T , 記nw0=w, w0=2p/T=dw,3. 傅里葉反變換,傅立葉正變換：,

11、傅立葉反變換：,符號表示：,狄里赫萊條件,狄里赫萊條件是充分不必要條件,（1）非周期信號在無限區(qū)間上絕對可積,（2）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號只有有限個(gè)最大值 和最小值。,（3）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號僅有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)， 且這些點(diǎn)必須是有限值。,例題 試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數(shù),解 非周期矩形脈沖信號f(t)的時(shí)域表示式為,由傅立葉正變換定義式，可得,分析：,2. 周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的 連續(xù)頻譜等間隔取樣求得,3. 信號在時(shí)域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)。,4. 信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過零點(diǎn) 之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。,5. 脈沖寬度越窄，有限帶

12、寬越寬，高頻分量越多。 即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用 的頻帶越寬。,1. 非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀 與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡(luò)線相似。,常見連續(xù)時(shí)間信號的頻譜,常見非周期信號的頻譜(頻譜密度) 單邊指數(shù)信號 雙邊指數(shù)信號e-|t| 單位沖激信號(t) 直流信號 符號函數(shù)信號 單位階躍信號u(t) 常見周期信號的頻譜密度 虛指數(shù)信號 正弦型信號單位沖激序列,1. 常見非周期信號的頻譜,(1) 單邊指數(shù)信號,幅度頻譜為,相位頻譜為,單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜與相位頻譜,(2) 雙邊指數(shù)信號e-|t|,幅度頻譜為,相位頻譜為,(3) 單位沖激信號(t),單位沖激信

13、號及其頻譜,(4) 直流信號,直流信號不滿足絕對可積條件,可采用極限的方法求出其傅里葉變換。,對照沖激、直流時(shí)頻曲線可看出:,時(shí)域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；,時(shí)域持續(xù)越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。,直流信號及其頻譜,（5） 符號函數(shù)信號,符號函數(shù)定義為,符號函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜,(6) 單位階躍信號u(t),單位階躍信號及其頻譜,2 常見周期信號的頻譜,(1) 虛指數(shù)信號,同理:,（ 2 ） 正弦型信號,余弦信號及其頻譜函數(shù),正弦信號及其頻譜函數(shù),（3）一般周期信號,兩邊同取傅立葉變換,（4）單位沖激序列,因?yàn)門(t)為周期信號，先將其展開為指數(shù)形式傅立葉級數(shù)：,單位沖激序列及其頻

14、譜函數(shù),1. 線性特性 2. 共軛對稱特性 3. 對稱互易特性 4. 展縮特性 5. 時(shí)移特性 6. 頻移特性,7. 時(shí)域卷積特性 8. 頻域卷積特性 9. 時(shí)域微分特性 10. 積分特性 11. 頻域微分特性 12. 能量定理,傅里葉變換的基本性質(zhì),1. 線性特性,其中a和b均為常數(shù)。,2.共軛對稱特性,當(dāng)f(t)為是實(shí)函數(shù)時(shí)，有 |F(j w)| = |F(-j w)| ， f(w) = -f(-w),F(jw)為復(fù)數(shù)，可以表示為,3 時(shí)移特性,式中t0為任意實(shí)數(shù),證明：,令x= t-t0，則dx=dt，代入上式可得,信號在時(shí)域中的時(shí)移，對應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域 中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持

15、不變。,例1試求圖示延時(shí)矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。,解 無延時(shí)且寬度為的矩形脈沖信號f(t) 如右圖，,因?yàn)?故，由延時(shí)特性可得,其對應(yīng)的頻譜函數(shù)為,4. 展縮特性,證明:,令x=at，則dx=adt ，代入上式可得,時(shí)域壓縮，則頻域展寬；時(shí)域展寬，則頻域壓縮。,例：尺度變換變換后語音信號的變化,f (t),f (1.5t),f (0.5t),0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,一段語音信號(“對了”) 。抽樣頻率 =22050Hz,f(t)

16、,f(t/2),f(2t),5.互易對稱特性,6. 頻移特性（調(diào)制定理）,若f(t) F(jw),式中0為任意實(shí)數(shù),證明： 由傅立葉變換定義有,則,信號f(t)與余弦信號cosw0 t相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移w0，幅度減半。,同理,例2 試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0 t相乘后信號的頻譜函數(shù)。,應(yīng)用頻移特性可得,解 已知寬度為的矩形脈沖信號對應(yīng)的頻譜函數(shù)為,7.時(shí)域微分特性,則,若f(t) F(jw),例3試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號的頻譜函數(shù)。,解,由時(shí)域微分特性,因此有,8.積分特性,若信號不存在直流分量，即F(0)=0,則,若f(t) F(jw),則,9.頻

17、域微分特性,則,若f(t) F(jw),將上式兩邊同乘以j得,證明：,例4 試求單位斜坡信號tu(t)的傅立葉變換。,解 已知單位階躍信號傅立葉變換為:,利用頻域微分特性可得:,10.時(shí)域卷積特性,證明：,11.頻域卷積特性(調(diào)制特性),證明：,12.非周期信號的能量譜密度,由于信號f(t)為實(shí)數(shù)，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式為,信號的能量可以由|F(jw)|2在整個(gè)頻率范圍的積分乘以1/2 來計(jì)算。,物理意義：非周期能量信號的歸一化能量在時(shí)域中與在頻域中相等，保持能量守恒。,能量頻譜密度函數(shù)(能量頻)：單位角頻率的信號能量,帕什瓦爾能量守恒定理,1. 線性特性 2. 對稱互易特性

18、3. 展縮特性 4. 時(shí)移特性 5. 頻移特性 6. 時(shí)域卷積特性 7. 頻域卷積特性 8. 時(shí)域微分特性 9. 積分特性 10. 頻域微分特性,傅立葉變換性質(zhì)一覽表,非周期信號頻域分析小結(jié),重要概念:非周期信號的頻譜 1)非周期信號的頻譜與周期信號的頻譜的區(qū)別 2)非周期信號頻譜的物理意義 3)非周期信號頻譜的分析方法:應(yīng)用常用基本信號的頻譜與傅里葉變換的性質(zhì) 分析問題使用的數(shù)學(xué)工具:傅里葉變換 工程應(yīng)用:調(diào)制、解調(diào)，頻分復(fù)用,離散Fourier級數(shù)（DFS）,DFS的定義 常用離散周期序列的頻譜分析 周期單位脈沖序列d Nk 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性質(zhì),一、DFS的定義,IDFS,DFS,0 k不是N的整數(shù)倍,N k是N的整數(shù)倍,DFS的物理含義,1)周期為N的任意序列可分解為基本序列 exp(2pkm/N