大學(xué)數(shù)學(xué)解決高中數(shù)學(xué)問題

1、1. 我們知道，一個函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)=0的話，使得f(x)=0的點就是極值點，那么，到底那個是極大(小)值呢？一般的方法是看它左右區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的正負(fù)吧。可是，同濟版高等數(shù)學(xué)告訴我們設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)=0，f(x0)不等于0，那么1.當(dāng)f(x0)0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值用這種方法，能夠快速判斷3次函數(shù)的極大值或極小值點。以及能求出導(dǎo)數(shù)中含有三角函數(shù)等難以用快速判斷極值點左右區(qū)間的正負(fù)的函數(shù)的極大值戶或極小值點。2. 湖北省部分重點中學(xué)2011屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科 11題：已知函數(shù)f(x)=a(x+1)(x-a)，若f(x)在x=a處取得極大值，

2、則a的取值范圍是_ (-1,0)對f(x)=a(x+1)(x-a)求2次導(dǎo)，f(x)=a(2x+1-a)，因為是極大值，所以f(a)=a(a+1)0所以 (-1,0)什么叫不動點？定義：方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點，其實也就是函數(shù)圖像y=f(x)和y=x的交點。利用遞推數(shù)列的不動點，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種方法稱為不動點法. 數(shù)列的差分什么叫數(shù)列的差分？簡單地說，就是相鄰兩項的差對任何數(shù)列A=a1, a2, ., 其差分算子(讀作delta)定義如下:a1=a2a1,a2=a3a2,a3=a4a3, .,一般地, 對任何n有an=an+1

3、an.應(yīng)用這個算子, 從原來的數(shù)列A構(gòu)成一個新的數(shù)列A, 從數(shù)列A可得到數(shù)列2A=2an,這里D2 an =(an)=an+1an=an+2an+1an+1+an=an+22an+1an,稱之為數(shù)列A的二階差分, 二階差分2an的差分, 3an稱為三階差分, 二階及二階以上的差分稱為高階差分, 而稱an為一階差分.下面有幾個定理 都很好理解定理1.1 若c和b為常數(shù)且對所有n=1, 2, 3,.有an=cn+b,則:1. 對所有n, 數(shù)列an的差分為常數(shù);2. 當(dāng)畫an關(guān)于n的圖形時, 這些點都落在一條直線上.定理1.2 若an=c, 其中c是一個與n無關(guān)的常數(shù), 則有一個an的線性函數(shù)(即存

4、在常數(shù)b使an =cn+b).定理1.3若數(shù)列an由一個二次多項式定義,則該數(shù)列具有性質(zhì):其二階差分為常數(shù),2an =c.定理1.4 若數(shù)列an具有性質(zhì): 對一切n有2an =c, c為一個常數(shù),則該數(shù)列的項遵從二次變化模式, 而且表達其通項的公式是一個二次多項式.注: 一般地, 由k次多項式定義的數(shù)列的k+1階差分為零,反之,若數(shù)列an的k+1階差分為零, 則存在一個生成該數(shù)列的k次多項式.定理：若ak0), 則數(shù)列A=an在第k項處是遞增的。若akak+1(或akak+1而akak-1(或ak-10而ak0), 數(shù)列A在第k項處達到相對極大。若ak0), 數(shù)列A在第k項處達到相對極小。若akak-1(2ak-10).數(shù)列A在第k項處圖形為上凹,若akak-1(2ak-1=0時候不小于0，可以看出f(0)=0我們只需要證明f(x)在0,+)上遞增即可求導(dǎo) f(x)=ex -1 -2ax ，可以看出f(0)仍然等于0，我們只需要證明f(x)在0,+)上遞增即可 再求一次導(dǎo),f(x)=ex