阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)選賽試題

1、本次競(jìng)賽有三道題。每道題有a, b, c共3小題。 第一題：在下面所有小題中，我們不考慮退貨。 a. “雙十一”期間，一家電商店鋪A有滿60返5塊的優(yōu)惠券，可疊加使用（比如，買120塊的東 西，用兩張優(yōu)惠券，只需付12052 = 110塊） 。此外，電商平臺(tái)全場(chǎng)提供滿299返60的優(yōu)惠 券（可湊單） ，每單限用一張，可與店鋪的優(yōu)惠券疊加使用（比如，原價(jià)299塊的一單，最 終價(jià)格是2995460 = 219。原價(jià)不滿299則不能減去全場(chǎng)折扣60。不足299時(shí)，用戶可 以在別家商店湊單。 ） 請(qǐng)問：小明打算在這家店鋪買一款250塊的耳機(jī)和一款600塊的音箱，怎么買最劃算? b. 現(xiàn)在您開了一家電商

2、店鋪，賣與A店同款的耳機(jī)和音箱，標(biāo)價(jià)相同。您計(jì)劃提供滿99返x的 優(yōu)惠券，x為大于0、小于99的整數(shù)。與A店不同的是，您的優(yōu)惠券每單限用一張（比如，買250塊， 需付250 x 塊，而不是 2502x 塊） 。 “雙十一”期間，電商平臺(tái)全場(chǎng)滿299返60仍然適用。 請(qǐng)問：x 至少等于多少時(shí)，小明在您的店鋪買耳機(jī)和音箱其中一種會(huì)更便宜 (至少1元)? 又 請(qǐng)問：x 至少等于多少時(shí)，小明在您的店鋪既買耳機(jī)又買音箱總和會(huì)更便宜（至少1元）? c. 建模題。對(duì)比單賣和捆綁銷售下的利潤期望。假設(shè)耳機(jī)（產(chǎn)品1）和音箱（產(chǎn)品2）的單件銷 售的單位成本分別是c1和c2（包含生產(chǎn)、儲(chǔ)存、運(yùn)輸、促銷等所有成本）

3、。一個(gè)訪問店鋪的 客戶對(duì)兩件產(chǎn)品的心理價(jià)值分別是均勻分布在0,u1和0,u2的區(qū)間上隨機(jī)變量S1和S2。假 設(shè)S1和S2相互獨(dú)立。本題有三小問。 1. 如何分別設(shè)定產(chǎn)品價(jià)格p1和p2，以最大化每個(gè)到訪客戶帶來的利潤期望。這里假設(shè)c1 u1；當(dāng)且僅當(dāng)p1 S1時(shí)，客戶會(huì)購買一件產(chǎn)品1；用戶不買的話不計(jì)損失。對(duì)產(chǎn)品2做 類似假設(shè)。請(qǐng)以公式形式給出最優(yōu)價(jià)格p 1和p 2以及對(duì)應(yīng)的最大利潤期望r 1和r 2。 2. 現(xiàn)在假設(shè)產(chǎn)品1和2捆綁銷售，成本是c12= t(c1+ c2)。因?yàn)楣?jié)省了包裝和運(yùn)輸成本，所 以假設(shè)0 t 1。其余的條件不變。請(qǐng)以公式形式給出捆綁下的最優(yōu)價(jià)p 12。 3. 單賣和捆綁銷

4、售，哪個(gè)利潤更優(yōu)，還是不一定? 為什么? 第二題： a. 附圖中有一個(gè)無向圖，其中圈內(nèi)數(shù)字代表一個(gè)地點(diǎn)，邊e上數(shù)字代表長度Le（雙向相同） 。 一位外賣小哥在起點(diǎn)A，要去3個(gè)商家（B1, B2, B3）取餐，送到3個(gè)對(duì)應(yīng)的地方（C1, C2, C3） ，即B1至C1，B2至C2， B3至C3。小哥的電動(dòng)助力車的箱子同時(shí)最多裝下2份外賣。 1 12 A 3 B1 4 B3 567 B2 8 91011C2 12 C1 13 C3 1415 121 122 3 111 111 31 221 211 請(qǐng)問: 小哥該怎么走最短路徑？這個(gè)最短路徑的長度是多少？這里，A是出發(fā)點(diǎn)，最后一餐 （不限次序）送達(dá)

5、地為終點(diǎn)。為了簡化問題，假設(shè)商家已經(jīng)備好了外賣，小哥取餐送餐不用 等。又假設(shè)每份外賣重量大小一樣。 b. 此題與上圖無關(guān)，而是考慮一個(gè)一般的圖，圖中有很多點(diǎn)和邊。外賣小哥剛剛?cè)×艘环萃?賣，計(jì)劃經(jīng)過圖上的邊e1,e2,.,em送給目的地。途中經(jīng)過每條邊e的時(shí)候，以概率Pe 0,1會(huì) 收到至送相同地址的另一單外賣。 （一個(gè)條邊上收到另兩單及以上的概率小，暫忽略不計(jì)。 ） 假設(shè)對(duì)應(yīng)邊e1,e2,.,em的概率為P1,P2,.,Pm。 請(qǐng)問: 送一次外賣，小哥平均能收到幾個(gè)送去相同地址的新單（不考慮電動(dòng)車的箱子容量） ？ 小哥收到至少一個(gè)去相同地址的新單的概率是多少？ c. 此題延續(xù)上題，但不再固定

6、路徑，而是對(duì)路線進(jìn)行優(yōu)化。假設(shè)小哥每送一單外賣有固定收 益r，但是總路徑長度（途中經(jīng)過的每邊e的長度e之和）是成本?？偸找媸莚 。 （為了簡 化，這里設(shè)成本系數(shù)為1） ?，F(xiàn)在小哥剛剛出發(fā)，車上只有一份外賣，箱子最大容量仍設(shè)為兩 份外賣，請(qǐng)問怎么走能夠最大化收益？ （提示：這里不但要考慮路徑長短，還要考慮可能收 到送至相同地址的另一單外賣而帶來的無額外成本的收益r。假設(shè)0 Pe mine/r,1） 。 第三題： a. 馬教授的領(lǐng)域內(nèi)有n個(gè)不同但是等價(jià)的邏輯陳述，A1,A2,.,An，現(xiàn)在需要證明它們是等價(jià) 的。每個(gè)學(xué)期，馬教授選兩個(gè)不同的陳述Ai和Aj，以“Ai Aj”的證明作為研究課題，指 導(dǎo)

7、一位本科生完成。假設(shè)每個(gè)學(xué)期只完成一個(gè)證明。要注意的是，在“Ai Aj”和“Aj Ak”被證明之后， “Ai Ak”也已經(jīng)被（自動(dòng)地）證明了，因此不能再作為一個(gè)新的課題 2 讓學(xué)生去完成?？傊?，如果一個(gè)課題是之前若干學(xué)生已經(jīng)完成課題的直接推論，則不能作 為新課題再發(fā)給另一個(gè)學(xué)生。隨著越來越多的推出關(guān)系被證明，剩下可選的課題也越來越 少。請(qǐng)問，馬教授可以最多依次指導(dǎo)多少個(gè)學(xué)生呢？為什么？ b. H是一個(gè)nn的方陣，其第i行第j列的元素是hij，所有hij 1,1，并且H的任意不同的 兩行看作向量是相互垂直的（即，它們的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積為0） 。假設(shè)H有一個(gè)a b的子矩陣（1 a,b n） ，子矩陣內(nèi)的元素均為1。請(qǐng)證明：ab n。 c. G是一個(gè)群。e是該