優(yōu)化設(shè)計(jì)(ch3)

1、第三章設(shè)計(jì)的優(yōu)化，設(shè)計(jì)概論的優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念的一維搜索方法無約束設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法有約束設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法在設(shè)計(jì)的幾個(gè)問題LINGO的優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，3.1設(shè)計(jì)概論的優(yōu)化，設(shè)計(jì)的優(yōu)化和設(shè)計(jì)實(shí)例的優(yōu)化：也稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)。 它是基于數(shù)學(xué)規(guī)劃理論，以電子計(jì)算機(jī)為輔助工具的設(shè)計(jì)方法。 首先，以規(guī)定的形式構(gòu)建設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型，選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法，選擇或編制計(jì)算機(jī)程序，通過計(jì)算機(jī)計(jì)算獲得最佳設(shè)計(jì)方案。 優(yōu)化方法：直接法：直接計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，比較目標(biāo)函數(shù)值，將其作為迭代、收斂依據(jù)的求導(dǎo)法：基于多變量函數(shù)的極值理論。3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論、優(yōu)化問題的分類無約束問題單變量多變量約束問題線性約束、線性目標(biāo)函數(shù)線性約束、非線

2、性目標(biāo)函數(shù)、3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論、優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型識(shí)別應(yīng)確定的未知變量識(shí)別目標(biāo)，寫最小化函數(shù)識(shí)別問題的約束或約束的方程式或不等式的例題：容積7850立方厘米的圓罐頭確定d和h的值，優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，最小化設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)：優(yōu)化限制：3.1設(shè)計(jì)概論，設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)變量：設(shè)計(jì)方案可以用一系列參數(shù)表示，一些參數(shù)預(yù)先給出，在被稱為設(shè)計(jì)常數(shù)的設(shè)計(jì)中優(yōu)化選擇設(shè)計(jì)空間：某個(gè)方案有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，構(gòu)成一個(gè)n維列向量。 該向量可以在以n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸的n維空間中用1點(diǎn)表示。 該n維空間被稱為設(shè)計(jì)空間，空間內(nèi)的任何點(diǎn)被稱為設(shè)計(jì)點(diǎn)，表示設(shè)計(jì)方案。 通常，在保證設(shè)計(jì)精度的基礎(chǔ)上盡可能少設(shè)計(jì)變量。 設(shè)計(jì)變量有

3、連續(xù)和離散兩種，3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論，約束條件和可執(zhí)行域約束條件：設(shè)計(jì)變量的可能值范圍必須有約束，或滿足一定條件，對(duì)該設(shè)計(jì)變量的約束被稱為約束條件。 制約條件的分類：等式制約和不等式制約邊界制約和性能制約：前者取值范圍制約的后者指力學(xué)性能要求的限制。 3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論，約束條件和可執(zhí)行區(qū)域：的不等式約束將設(shè)計(jì)空間分成滿足約束條件的部分和不滿足約束條件的部分，一些不等式約束將設(shè)計(jì)空間分成兩個(gè)區(qū)域，陰影線內(nèi)側(cè)區(qū)域的點(diǎn)都滿足不等式約束，稱為可執(zhí)行區(qū)域。 在有方程式制約的情況下，只能取可執(zhí)行域內(nèi)的方程式制約線的值。 方程式約束大幅度縮小了可執(zhí)行域，優(yōu)化了二維設(shè)計(jì)問題約束的幾何關(guān)系，3.1設(shè)計(jì)概論，目標(biāo)

4、函數(shù)定義：優(yōu)化設(shè)計(jì)用函數(shù)式表示設(shè)計(jì)變量與某個(gè)基準(zhǔn)的關(guān)系，追求該函數(shù)值為最小(或最大)，求出一組設(shè)計(jì)變量值，從而得到最佳設(shè)計(jì)方案。 這個(gè)函數(shù)被稱為目標(biāo)函數(shù)。 (想在設(shè)計(jì)中達(dá)成的目標(biāo))作用：測(cè)量設(shè)計(jì)方案的標(biāo)準(zhǔn)。 目標(biāo)類型：產(chǎn)品設(shè)計(jì)：技術(shù)性能、成本、價(jià)格、壽命等零件設(shè)計(jì)：承載能力、可靠性、重量、體積等機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)：運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)誤差等。 3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論、優(yōu)化設(shè)計(jì)的幾何解釋目標(biāo)函數(shù)： max F(X)=60 x1 120 x2約束材料約束： g1(X)=9x1 4x2360工時(shí)約束： g2(X)=3x1 10 x2300電力約束： g3(X)=4x1 5x2200邊界約束： G4 (x c是

5、g2(X )和g3(X )的交點(diǎn)，3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論，優(yōu)化設(shè)計(jì)的幾何解釋目標(biāo)函數(shù)：約束條件，非線性優(yōu)化問題的圖式。 如果優(yōu)化、3.1設(shè)計(jì)概論，按照目標(biāo)函數(shù)的等值線(面)的順序，使目標(biāo)函數(shù)F(X )等于常數(shù)C1、C2、C3等，就可以在目標(biāo)函數(shù)曲面上得到等值曲線(面)族。3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概論，線性和非線性規(guī)劃線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束條件為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)時(shí)，列出并求解此數(shù)學(xué)模型的過程非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束中的一個(gè)或多個(gè)非線性函數(shù)為設(shè)計(jì)變量時(shí)，列出并解決此公式的過程。 3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，描述函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度偏導(dǎo)數(shù)：一元函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率多變量函數(shù)中的偏導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的

6、變化率僅相對(duì)于一個(gè)自變量而變化。 對(duì)于n函數(shù)，該函數(shù)沿著各坐標(biāo)軸的一次偏振導(dǎo)數(shù)或變化率分別優(yōu)化：3.2設(shè)計(jì)的基本概念，并且是在給定點(diǎn)的函數(shù)方向?qū)?shù)和梯度向?qū)Ш瘮?shù)：上沿預(yù)定方向的變化率。 函數(shù)的方向?qū)?shù)，式中：cos，cos是某個(gè)方向s的方向馀弦，n元函數(shù)是點(diǎn)x0，沿s方向的方向?qū)?shù)上式是方向?qū)?shù)和偏振導(dǎo)數(shù)的函數(shù)關(guān)系方向?qū)?shù)是偏振函數(shù)概念的推進(jìn)方向?qū)?shù)是函數(shù)F(X )的點(diǎn)X(0)，沿s方向的變化率這是標(biāo)量在點(diǎn)s方向上增加的- :函數(shù)F(X )在X(0)點(diǎn)s方向上減少，3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度二元函數(shù)的梯度，梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，梯度的幅度是函數(shù)變化率的最大值。 梯

7、度方向與等值線的關(guān)系：是單位方向向量。 多變量函數(shù)的梯度、梯度模式：函數(shù)的梯度方向垂直于函數(shù)的等值面，即等價(jià)面垂直于通過x0的所有曲線。 梯度的量值因點(diǎn)而不同，也就是說函數(shù)點(diǎn)的最大變化率不同。 因此，梯度是函數(shù)的局部性質(zhì)。 在函數(shù)的點(diǎn) 3，2 t和 2，0 t處的梯度解的點(diǎn)x (1)= 3，2 t，x(2)=2， 0在t處獲得梯度，若取某一點(diǎn)處的極值，則該點(diǎn)的所有一階偏導(dǎo)數(shù)一定為零，即梯度為零，優(yōu)化3.2設(shè)計(jì)的基本概念，不限制目標(biāo)函數(shù)的極值條件的一維函數(shù)的極值要求： F(x )連續(xù)微小且充分的要求： F(x )。 3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，無約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件一元函數(shù)的極值多元函數(shù)的泰勒展

8、開式：有函數(shù)點(diǎn)附加的近似式多元函數(shù)的泰勒展開式一元函數(shù)被泰勒展開式：二元函數(shù)被泰勒展開式展開： n元函數(shù)被泰勒展開式展開：一元函數(shù)泰勒展開式aylor展開式對(duì)二元函數(shù)TRER展開式只取兩項(xiàng)，被稱為Hessian矩陣、二次偏導(dǎo)矩陣，常用H(X )表示。n元函數(shù)Taylor展開式，存在點(diǎn)第二項(xiàng)為零時(shí)得到：3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，沒有制約的目標(biāo)函數(shù)的極值條件二次型函數(shù)二次型：包含n個(gè)變量x1，x2，xn的二次齊次多項(xiàng)式二次型函數(shù)：如果aij都是實(shí)常數(shù)，就簡(jiǎn)稱為實(shí)二次型。1 .對(duì)于所有非零向量x，如果： F(X )為正，2 .對(duì)于所有非零向量x，如果： F(X )為負(fù)，3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，無限

9、制目標(biāo)函數(shù)的極值條件多變量函數(shù)的極值要求：實(shí)二次型函數(shù)： aij全部對(duì)于、極大值點(diǎn)、附近內(nèi)所有x，和二次型函數(shù)的性質(zhì)，也可以僅用Hessian矩陣來判斷。極小值點(diǎn)、鞍點(diǎn)、H(X* )是正定，X*是極小值點(diǎn)H(X* )是負(fù)定，X*是極大值點(diǎn)H(X* )是不定，X*是鞍點(diǎn)，矩陣的正定條件是，各階級(jí)的主君式(對(duì)應(yīng)的各階級(jí)行列式)都大于零的負(fù)條件是該各階級(jí)的主式負(fù)的正相間。 如果奇數(shù)階小于零偶次數(shù)大于零，且沒有約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件，則例：目標(biāo)函數(shù)如下求出極值點(diǎn)和性質(zhì)。解：首先，求子函數(shù)的一次偏導(dǎo)數(shù)，它等于0，解定點(diǎn)。 即定在點(diǎn)求(1，1 ) h (x )矩陣，正定，定在點(diǎn)(1，1 )是極小值f ()

10、=4，3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件函數(shù)的凸性多元函數(shù)的凸性約束問題的極值條件，3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件函數(shù)的凸性單元取凸函數(shù)的凹函數(shù)，單項(xiàng)函數(shù)的凸性，線段的任意點(diǎn)x(3)，凸函數(shù)式：幾何意義：任意兩點(diǎn)間的曲線總是在連接該兩點(diǎn)的直線之下。 3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件函數(shù)凸性多變量函數(shù)的凸性：研究凸集后再研究函數(shù)的凸性。 凸集合幾何特征：其中任意兩點(diǎn)間的連接線在該集合內(nèi)有凸集合的意義：區(qū)域內(nèi)部沒有空洞，不凹陷到區(qū)域邊界，凸函數(shù)，凸集合d內(nèi)任意兩點(diǎn)X(1)，X(2)和0D )，任意兩點(diǎn)F(X )在D1上有二次連續(xù)導(dǎo)數(shù)，D1內(nèi)的凸集合，

11、凸函數(shù)的函數(shù)凸性的判定：如果F(X )是D1上的一次連續(xù)導(dǎo)數(shù)，d是D1內(nèi)部的凸集合，則F(X )是d上的凸函數(shù)的充分條件，如果F(X )是D1上的二次連續(xù)導(dǎo)數(shù)，d是D1內(nèi)部的凸集合，則F(X )是d上的凸函數(shù)的充分條件，即：F(X 也就是說，H(X) 0說，F(xiàn)(X )的定義域是凸集合，如果它是凸集合內(nèi)的凸函數(shù)，則凸集合內(nèi)只有一個(gè)極小值，它必定是該集合內(nèi)的全局最小值。 凸規(guī)劃的局部極小點(diǎn)一定是全局極小點(diǎn)，是3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，制約目標(biāo)函數(shù)的極值條件制約問題的極值條件目標(biāo)函數(shù)和制約函數(shù)都是凸函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和制約函數(shù)，有作為非凸函數(shù)的結(jié)論的庫恩-塔克條件(制約極值的存在的必要條件)， 3.2具有

12、優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念的約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件有約束問題的極值條件目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)不一定都是凸函數(shù)約束的最優(yōu)點(diǎn)是自然極值點(diǎn)，3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，有約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件約束問題的極值條件目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在非凸函數(shù)的可能區(qū)域出現(xiàn)兩個(gè)以上的相對(duì)極小點(diǎn)、3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件約束問題的極值條件結(jié)論：約束優(yōu)化必須解決“約束極值存在條件”和“全局最優(yōu)點(diǎn)”問題。3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念，存在約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件約束問題的極值條件庫恩-塔克條件KT: (約束極值的存在的必要條件)不是足夠的條件，因此無法確定全局最優(yōu)解。 只判斷是否是局部最佳解。 內(nèi)容：目標(biāo)函數(shù)梯度是約束面梯

13、度線性組合的負(fù)值，即q :此設(shè)計(jì)點(diǎn)x處的約束面數(shù):拉格朗日乘數(shù)。、coon-tacker條件的制約函數(shù)梯度方向與起到一個(gè)作用的制約條件目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向一致，coon-tacker條件的兩個(gè)作用的制約條件目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向處于兩個(gè)制約函數(shù)梯度的角度內(nèi)、coon-tacker條件具有多個(gè)作用的制約庫恩-塔克條件是優(yōu)化極值所需的條件，并不是充分的條件。 只有在目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況下，才是充分的條件。例：確定目標(biāo)函數(shù)約束條件是否是極小點(diǎn)解：目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在x點(diǎn)處的梯度中，1=1，2=1，3=0滿足counter條件，并且X*是約束的極小值。g1(X )、g2(X )發(fā)揮作用，一

14、維搜索和一維搜索的優(yōu)化方法，在使用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求多變量函數(shù)的極值點(diǎn)的情況下，通常進(jìn)行一系列的迭代計(jì)算：在給定的方向上，求最佳步長(zhǎng)因子是一維函數(shù)3360，求極值問題的過程3.3維搜索方法：1維搜索，3.3維搜索方法，0.618法：也稱為黃金分割法的啟發(fā)式單谷(峰)區(qū)間：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)谷值(極大或極小)的函數(shù)稱為單峰函數(shù)，該區(qū)間稱為單谷區(qū)間。 單峰函數(shù)的特征：函數(shù)值：”的大小-大小圖形：“高-低-高”，在單谷區(qū)間一定能求出極小點(diǎn)。 啟發(fā)式原理： F(X )在區(qū)間a，b中是單峰凸函數(shù)，為了縮小該區(qū)間，中間取兩點(diǎn)a1、a2。 與F(a1 )和F(a2 )的大小相比，搜索區(qū)域變小，并且可以得到正確的

15、估計(jì)位置。 如、(F(a1)F(a2 )那樣，縮小后的新區(qū)間為a1，b； 如(F(a1)=F(a2 )那樣，縮小后的新的區(qū)間是a1，a2，刪除原則：刪除大的函數(shù)值側(cè)的區(qū)間。 3.3維搜索方法，0.618法：也稱黃金分割法的0.618法黃金分割律：公元前6世紀(jì)，希臘大數(shù)學(xué)家皮塔哥拉斯發(fā)現(xiàn)：將一條線段分成兩個(gè)部分，長(zhǎng)條和短條的長(zhǎng)度之比為1:0.618，整條線段和長(zhǎng)條之比也為1:0.618， 進(jìn)行與金一樣完美的分割這一點(diǎn)，在保留有黃金分割點(diǎn)基本思想：的單峰區(qū)間中，持續(xù)刪除一部分區(qū)間，越縮小區(qū)間越小，并且每次的區(qū)間縮短率相等，新的區(qū)間長(zhǎng)度為原來的區(qū)間長(zhǎng)度的0.618，極小點(diǎn)所在的區(qū)間越小，直到滿足精度要求為止對(duì)函數(shù)的要求：把單峰、區(qū)間分為三段，用黃金分割法，在剩下的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)而形成的區(qū)間的新三段要求具有與原區(qū)間的三段相同的比例分布。 3.3維搜索方法、插值法(也稱為二次插值法、拋物線法)的基本思想：在選定的單峰區(qū)內(nèi)取一點(diǎn)，對(duì)每個(gè)兩端點(diǎn)，用該三點(diǎn)函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)二次多項(xiàng)式，進(jìn)行原函數(shù)的近似，將該二次多項(xiàng)式的極小值作為原函數(shù)的近似最佳值求出。 把，1，2次多項(xiàng)式P(x )的結(jié)構(gòu)及其極小點(diǎn)作為原來的目標(biāo)函數(shù)的初始單峰區(qū)間設(shè)為x1，x3。 在函數(shù)的x1、x2、x3這3點(diǎn)上，函數(shù)值分別求出F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，保留系數(shù)a，b和c，代入上式