概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題帶答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及題解 沈志軍 盛子寧第一章 概率論的基本概念1設(shè)事件及的概率分別為及，試求及2若相互獨(dú)立，試證明：亦必相互獨(dú)立。 3試驗(yàn)為擲2顆骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。每種結(jié)果以記之，其中分別表示第一顆、第二顆骰子的點(diǎn)數(shù)。設(shè)事件，事件。試求和4某人有5把鑰匙，但忘了開房門的是哪一把，只得逐把試開。問：（1）恰好第三次打開房門鎖的概率？（2）三次內(nèi)打開的概率？（3）如果5把里有2把房門鑰匙，則在三次內(nèi)打開的概率又是多少？5設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中裝有個白球、個紅球，乙袋中裝有個白球、個紅球。今從甲袋中任意取一個放入乙袋中，再從乙袋中任意取一個，問取到白球的概率是多少？6在時間間隔5分鐘內(nèi)的任何時

2、刻，兩信號等可能地進(jìn)入同一收音機(jī)，如果兩信號進(jìn)入收音機(jī)的間隔小于30秒，則收音機(jī)受到干擾。試求收音機(jī)不受干擾的概率？7甲、乙兩船欲?？客淮a頭，它們在一晝夜內(nèi)獨(dú)立地到達(dá)碼頭的時間是等可能的，各自在碼頭上停留的時間依次是1小時和2小時。試求一船要等待空出碼頭的概率？8某倉庫同時裝有甲、乙兩種警報系統(tǒng)，每個系統(tǒng)單獨(dú)使用的有效率分別為0.92,0.93,在甲系統(tǒng)失靈的條件下乙系統(tǒng)也失靈的概率為0.15。試求下列事件的概率：（1）倉庫發(fā)生意外時能及時發(fā)出警報；（2）乙系統(tǒng)失靈的條件下甲系統(tǒng)亦失靈？9設(shè)為兩隨機(jī)變量，試求解下列問題：（1） 已知。求：；（2） 已知。求：。10先把長為的木棍折斷為兩部分，

3、再把較大的那一部分折斷成兩部分。試求所得三部分能成三角形的概率？11甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，假設(shè)他們的命中率都是。又若只有一人命中時，飛機(jī)墜毀的概率為；若恰有二人命中時，飛機(jī)墜毀的概率為；若三人同時命中，則飛機(jī)必然墜毀。試求：（1）飛機(jī)墜毀的概率；（2）若飛機(jī)已經(jīng)墜毀，則墜毀的飛機(jī)是因?yàn)榍∮卸嗣械母怕剩?2今有門高射炮獨(dú)立地向一飛機(jī)射擊，每門炮能擊中飛機(jī)的概率為。（）同時各射一彈，試求飛機(jī)被擊中的概率；（）欲以以上的把握擊中飛機(jī)，試問至少要布置多少門炮同時射擊？13某工廠有職工名，每名職工生日在一年中某一天的概率為，試求下列事件的概率：（）恰有名職工生日在同一天；（）至少有名職工生日

4、在同一天（）？14假設(shè)飛機(jī)的每個發(fā)動機(jī)在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各發(fā)動機(jī)故障與否是相互獨(dú)立的。如果至少有的發(fā)動機(jī)正常，飛機(jī)可成功飛行。問對于多大的，個發(fā)動機(jī)比個發(fā)動機(jī)更為保險？15設(shè)事件滿足：試求三事件至少有一發(fā)生的概率？16某地區(qū)氣象資料表明，鄰近的甲、乙兩城市中的甲市全年雨天比例為，乙市全年雨天比例為，甲、乙兩市至少的一城市為雨天比例為，試求下列事件的概率：（）甲、乙兩市同為雨天；（）在甲市雨天的條件下乙市亦為雨天；（）在乙市無雨的條件下甲市亦無雨？17某地以英文字母及阿拉伯?dāng)?shù)字組成位牌照。試求下列事件的概率：（）牌照的前位是英文字母、后位是阿拉伯?dāng)?shù)字（）；（）牌照中有位是英文字母、另外

5、位是阿拉伯?dāng)?shù)字（）？18甲、乙兩個乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行單打比賽，如果每賽一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對甲更有利？19平面上畫有平行線若干、其間距交替地等于厘米及8厘米。今任意地向平面投擲一半徑為厘米的圓片。試求該圓與任一平行線不相交的概率？20甲、乙兩人相約于一小時內(nèi)在某地會面，商定先到者等候10分鐘，過時即可離去。試求他們能會到面的概率？21平面上畫有距離為的平行線若干條。今向此平面任意投一長為的小針。試求小針與平行線之一相交的概率？22若相互獨(dú)立，則（1）獨(dú)立；（2）獨(dú)立；（3）獨(dú)立。23當(dāng)擲五枚硬幣時，已知至少出現(xiàn)兩個正面，求正

6、面數(shù)剛好是三個的條件概率？24擲三顆骰子，若已知沒有兩個相同的點(diǎn)數(shù)，試求至少有一個一點(diǎn)的概率？25設(shè)事件的概率分別為和，試求下列三種情況下的值：（1）與互斥；（2）；（3）26將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯子中球數(shù)的最大值分別為1，2，3的概率？27袋中有12個球，其中8個白球，4個黑球，現(xiàn)從中任取兩個，求：（1）兩個均為白球的概率？（2）兩個球中一個是白的，另一個是黑球的概率？（3）至少有一個黑球的概率？28將10本書隨意放在書架上，求：其中指定的5本書放在一起的概率？29甲、乙二班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué)40名，設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女生15名，求：在碰到甲班同學(xué)時，正好碰到一名女

7、同學(xué)的概率？30設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的次品率依次為0.1,0.2,0.3，從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件產(chǎn)品，求：取得正品的概率？31某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一型號的螺釘，各車間的產(chǎn)量分別占該廠螺釘產(chǎn)品的25%，35%，40%，各車間成品中次品分別為各車間產(chǎn)量的5%，4%，2%，今從該廠的產(chǎn)品中任取一個螺釘經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的概率是多少？32有產(chǎn)品100件，其中10件次品，90件正品?，F(xiàn)從中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？33100人參加數(shù)理化考試，其結(jié)果是：數(shù)學(xué)10人

8、不及格，物理9人不及格，化學(xué)8人不及格，數(shù)學(xué)、物理兩科都不及格的有5人，數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科都不及格的有4人，物理、化學(xué)兩科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。問全部及格的有多少人？34兩臺機(jī)器加工同樣的零件，第一臺機(jī)器的產(chǎn)品次品率是0.05，第二臺機(jī)器的產(chǎn)品次品率是0.02。兩臺機(jī)器加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺機(jī)器加工的零件數(shù)量是第二臺機(jī)器加工出來的零件數(shù)量的兩倍。從這些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，經(jīng)檢驗(yàn)是次品，求：它是由第二臺機(jī)器生產(chǎn)的概率？35有槍8支，其中5支經(jīng)過試射校正，3支未經(jīng)過試射校正。校正過的槍，擊中靶的概率是0.8；未經(jīng)校正的槍，擊中靶

9、的概率是0.3。今任取一支槍射擊，結(jié)果擊中靶，問此槍為校正過的概率是多少？36某射手射擊一發(fā)子彈命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3。求：該射手射擊三發(fā)子彈而得到不小于29環(huán)成績的概率？37設(shè)，試求：及38已知，求：39某舉重運(yùn)動員在一次試舉中能打破世界紀(jì)錄的概率是，如果在比賽中他試舉三次，求：他打破世界紀(jì)錄的概率？40工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的一級品率是40%，問需要取多少件產(chǎn)品，才能使其中至少有一件一級品的概率不小于95%？41假設(shè)每個人的生日在任何月份內(nèi)是等可能的，已知某單位中至少有一個人的生日在一月份的概率不小于0.96，問該單位有多少人？42從5雙不同尺碼的鞋子中任取4只，問4

10、只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？43儀器中有三個元件，它們損壞的概率是0.1，并且損壞與否相互獨(dú)立。當(dāng)一個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.25；當(dāng)兩個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.6；當(dāng)三個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.95；當(dāng)三個元件都不損壞時，儀器不發(fā)生故障。求：儀器發(fā)生故障的概率？44在套圈游戲中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分別是0.1,0.2,0.3，已知三個人中某一個人投圈4次而套中一次，問此投圈者是誰的可能性最大？45在40個同規(guī)格的零件中誤混入8個次品，必須逐個查出，求：正好查完22個零件時，挑全了8個次品的概率？46設(shè)事件與相互獨(dú)立，兩事件中只有發(fā)生及

11、只有發(fā)生的概率都是，求與第二章 隨機(jī)變量及其分布1一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時刻每個設(shè)備被使用的概率為，問在同一時刻：（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率？（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率？（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率？2設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中有95件正品，5件次品。現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取10件，試以觀察抽得的次品數(shù)為隨機(jī)變量，寫出其分布律，并求次品數(shù)不超過3的概率？3設(shè)的分布律為X012p0.30.60.1求的分布函數(shù)？4設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為。試求：（1）系數(shù)；（2）落在（-1，1）內(nèi)的概率？（3）的概率密度？5設(shè)隨機(jī)變量服從的指數(shù)分布，試求：（1）；（2）若要，則應(yīng)在什

12、么范圍內(nèi)？6設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求的分布函數(shù)？7設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為：求的分布函數(shù)？8設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求：（1）系數(shù)；（2）的概率密度；（3）。9設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求：（1）的概率密度；（2）落在（3，6）內(nèi)的概率？10隨機(jī)變量的概率密度為試求：（1）系數(shù) ；（2）；（3）的分布函數(shù)？11某種電子管的使用壽命（單位：小時）的概率密度為設(shè)某儀器內(nèi)裝有三個這樣的電子管。試求：（1）試用的最初150小時內(nèi)沒有1個電子管損壞的概率；（2）這段時間內(nèi)只有1個電子管損壞的概率？12設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X-10123p1/121/41/61/125/12試求：（1）的分布律；（2）

13、的分布律？13設(shè)的概率密度為，求的概率密度？14設(shè)隨機(jī)變量在（0，1）上服從均勻分布，試求：（1）的概率密度；（2）的概率密度？15設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布。求隨機(jī)變量的概率密度？16設(shè)隨機(jī)變量。試求：的概率密度？17設(shè)隨機(jī)變量。試求：的概率密度？18設(shè)電流是一個隨機(jī)變量，它均勻分布在911安之間。若此電流通過2歐的電阻，試求功率的概率密度？19設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求的概率密度；若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的概率密度？20某種商品一周內(nèi)的需要量是一個隨機(jī)變量，其概率密度為，設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，求：（1）兩周；（2）三周的需要量的概率密度？21設(shè)是一個隨機(jī)變量，在（-1，

14、1）上服從均勻分布，求的概率密度？22設(shè)求：（1）；（2）使的？注：23同時擲兩顆骰子，觀察它們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。記為兩顆骰子出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)，試求的分布律？24某批產(chǎn)品的次品率為1/4，現(xiàn)對這批產(chǎn)品進(jìn)行測試，以表示首次測得正品的測試次數(shù)，求的分布律？25設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù)？26電話總機(jī)在1小時內(nèi)平均接到60次呼喚，試問在30秒內(nèi)1次呼喚也沒有接到的概率有多大？27對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中時為止。若每次射擊的命中率為，試求射擊次數(shù)的分布律？28設(shè)盒中有5個球，其中3個黑球、2個白球，從中隨機(jī)抽取3個球，求：“抽得白球個數(shù)”的概率分布？29某射手每

15、次射擊打中目標(biāo)的概率都是，現(xiàn)在他連續(xù)射擊30次，求：他至少打中兩次的概率？30某射手每次打中目標(biāo)的概率都是，現(xiàn)在他連續(xù)向一個目標(biāo)射擊，直到第一次擊中目標(biāo)為止。求：他射擊次數(shù)不超過5次就能把目標(biāo)擊中的概率？31設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為試求：（1）常數(shù)（2）。32已知隨機(jī)變量的分布律為試求：的分布律？33設(shè)某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的泊松分布，問在月初進(jìn)貨時應(yīng)進(jìn)多少件此種商品，才能保證當(dāng)月此種商品不脫銷的概率為？34設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，問當(dāng)為何值時能使最大？35同時投擲兩顆骰子，直到至少有一顆骰子出現(xiàn)六點(diǎn)為止，試求：投擲次數(shù)的分布？36一臺儀器在10000個工作小時內(nèi)平均發(fā)

16、生10次故障，試求：在100個工作小時內(nèi)故障不多于兩次的概率？37設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試求：（1）系數(shù)；（2）落在的概率；（3）的分布函數(shù)。38設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求：常數(shù)及。39設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，為使，問允許的最大值是多少？40設(shè)測量兩地間的距離時帶有隨機(jī)誤差，其概率密度函數(shù)為試求：（1）測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2）接連測量三次，每次測量相互獨(dú)立進(jìn)行，求至少有一次誤差不超過30的概率。41設(shè)隨機(jī)變量分別服從與區(qū)間上的均勻分布，試求：的概率密度函數(shù)。42已知隨機(jī)變量只取-1，0，1，2四個數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次是：，試求：常數(shù)43設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 試求：

17、（1）常數(shù)；（2）隨機(jī)變量落在內(nèi)的概率；（3）的概率密度函數(shù)。44將三封信逐封隨機(jī)地投入編號分別為1，2，3，4的四個空郵筒，設(shè)隨機(jī)變量表示“不空郵筒中的最小號碼”（例如，“”表示第1，2號郵筒中未投入信，而第3號郵筒中至少投入了一封信），試求：（1）隨機(jī)變量的分布律；（2）的分布函數(shù)。45設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 試證明：隨機(jī)變量與服從同一分布。46轟炸機(jī)共帶三顆炸彈去轟炸敵方鐵路。如果炸彈落在鐵路兩旁40米內(nèi)，就可以使鐵路交通遭到破壞，已知在一定投彈準(zhǔn)確度下炸彈落點(diǎn)與鐵路距離的概率密度為 如果三顆炸彈全部投下去，問敵方鐵路被破壞的概率是多少？47設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求：的概率密

18、度函數(shù)。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布1袋中裝有四個球，分別編號為1，2，2，3，現(xiàn)不放回地任取兩次，每次抽取一個球，以分別記第一次和第二次所取球的編號，求的分布律？2設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）常數(shù)的值；（2）3將一硬幣連擲三次，以表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，試求二維隨機(jī)變量的分布律？4已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為試求：（1）常數(shù)的值；（2）；（3）的分布函數(shù)？5設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布。求的概率密度與分布函數(shù)？6設(shè)的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）7設(shè)在由軸、軸及直線所圍成的三角形區(qū)域上服從均勻分布。求關(guān)于及關(guān)于的邊緣

19、概率密度？8設(shè)的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）關(guān)于及關(guān)于的邊緣概率密度？9設(shè)的聯(lián)合分布律如表所示： 0 1 0 056 024 1 014 006判斷與是否相互獨(dú)立？10一電子器件包含兩個部分，分別以，記這兩部分的壽命（單位：小時），設(shè)的分布函數(shù)為問：（1）與是否相互獨(dú)立？（2）求11設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為問：（1）與是否相互獨(dú)立？（2）求12設(shè)和是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在上服從均勻分布，的概率密度為，求：（1）的聯(lián)合概率密度；（2）13設(shè)在三角形區(qū)域上服從均勻分布。求的概率密度？14對某種電子裝置的輸出測量5次，設(shè)觀察值是相互獨(dú)立且服從同一分布，其概率密度為求：15設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)

20、變量，其分布律分別為證明隨機(jī)變量的分布律為16在一簡單電路中，兩電阻和串聯(lián)聯(lián)接。設(shè)和相互獨(dú)立，它們的概率密度分別為求總電阻的概率密度？17設(shè)的概率密度為求的概率密度？18設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，在（0，1）上服從均勻分布，在（0，2）上服從均勻分布。求和的概率密度？19將三個球隨機(jī)地放入三個盒子內(nèi)，每個球可放入任一盒子中，記分別為放入第一個、第二個盒子中球的個數(shù)，求二維隨機(jī)變量的分布律？20設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）；（2）的分布函數(shù)；（3）關(guān)于及關(guān)于的邊緣概率密度；（4）判斷與是否相互獨(dú)立？21設(shè)的概率密度為求：關(guān)于及關(guān)于的邊緣概率密度？22設(shè)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，分別服從參數(shù)為的泊松分

21、布，證明：服從參數(shù)為的泊松分布。23設(shè)表示平面上的區(qū)域，它是由拋物線和直線所夾的區(qū)域。服從上的均勻分布，求聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度，并問與是否相互獨(dú)立？24離散型隨機(jī)變量的概率分布如下表所示，試求邊緣分布，并問與是否相互獨(dú)立？ 0 1 2 3 4 5 6 0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.011 25設(shè)隨機(jī)變量為連續(xù)型的，其聯(lián)合概率密

22、度為 試求：（1）常數(shù)；（2）邊緣密度函數(shù)；（3）問與是否相互獨(dú)立？26設(shè)與是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從0，2上均勻分布，服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試求27設(shè)與是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從0，1上均勻分布，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，試求的概率密度函數(shù)。28設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)。29設(shè)隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求30設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）證明與相互獨(dú)立。31箱子里裝有件正品和件次品，依次從箱子中任取一件，取兩次，每次取后不放回。隨機(jī)變量與如下定義：試寫出隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，邊緣分布律，并問與是

23、否相互獨(dú)立？32隨機(jī)地?cái)S兩顆骰子，設(shè)表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示這兩顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的最大值。試寫出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，的邊緣分布？33袋中有個球，其中個紅球，個白球，個黑球。每次從袋中任取一球，共取次。設(shè)分別表示取出的個球中紅球與白球的個數(shù)，試求下列兩種情況下的聯(lián)合分布：（1） 每次取出的球仍放回去（有放回抽樣）；（2） 每次取出的球不放回去（無放回抽樣）。34已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為試求邊緣分布。35設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)？36設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)？37設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，并且概率密度函數(shù)分別為試求的概率密度函數(shù)？38隨

24、機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，試證明：39設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從0，1上的均勻分布，求的分布？40設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的概率密度函數(shù)？41設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求的概率密度函數(shù)？42若隨機(jī)變量只取一個值，試證明：與任何隨機(jī)變量都相互獨(dú)立。第四章 數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）2設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求及3設(shè)是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為求：4已知隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差分別為和，令，求5已知，求6證明：的充要條件是為常數(shù)。7設(shè)在圓域內(nèi)服從均勻分布，求，并判斷是否相互獨(dú)立？8設(shè)二維隨機(jī)變量

25、的分布律為-101-1001驗(yàn)證：和不相關(guān)，但和不是相互獨(dú)立的9設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求，并判斷是否相互獨(dú)立？10設(shè)二維隨機(jī)變量在平面區(qū)域上服從均勻分布，求11設(shè)相互獨(dú)立，且在（0，1）上服從均勻分布，試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算的近似值？（注：）12把三個球隨機(jī)地放入三個盒子中去，每個球可投入任一盒子中，記為空盒子的個數(shù)，求13設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的幾何分布，求 14一本書500頁中有100個印刷錯誤，設(shè)每頁錯誤個數(shù)服從泊松分布：（1）隨機(jī)地取一頁，求這一頁上錯誤不少于2個的概率？（2）隨機(jī)地取4頁，求這4頁上錯誤不少于5個的概率？（3）隨機(jī)地取8頁，求這8頁上錯誤

26、不少于5個的概率？15共有把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開上的鎖。用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖，設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立且等可能的，若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望：（1）寫出的分布律；（2）不寫出的分布律。16設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：17設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律為0123100300求18設(shè)的概率密度為求19對于隨機(jī)變量，已知，求：20某校報名選修心理學(xué)課的學(xué)生人數(shù)是服從均值為100的泊松分布的隨機(jī)變量。教務(wù)部門決定，如報名人數(shù)不少于120人，就分成兩個班講授；如果少于120人，就集中在一個班講授。試問此課程將分兩個班講授的概率是多少？（注：）21對圓的直徑

27、作近似測量，設(shè)其值均勻地分布在內(nèi)，求圓面積的數(shù)學(xué)期望？22設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，試求隨機(jī)變量的方差？23.一批零件中有9個合格品3個次品，在安裝機(jī)器時從這批零件中任取一個。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已經(jīng)取出的次品個數(shù)的期望及方差？24.由統(tǒng)計(jì)物理學(xué)知道，氣體分子運(yùn)動的速率服從麥克斯威爾分布，其概率密度函數(shù)為這里，是參數(shù)。試求分子運(yùn)動速率的期望及方差？25.自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)次品的概率為，生產(chǎn)中若出現(xiàn)次品時立即進(jìn)行調(diào)整，求兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差？26.已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試求的數(shù)學(xué)期望及方差？27.設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)且，試證明：

28、28.設(shè)某校車上有50名職工，自校門開出，有10個停車點(diǎn)，如果某停車點(diǎn)沒人下車，則不停車。設(shè)每位職工在每個停車點(diǎn)下車是等可能的，表示停車次數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望？29.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，求：。30.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為1的泊松分布，試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算31.船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于的概率為，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有2950030500次縱搖角度大于的概率是多少？32.袋裝茶葉用機(jī)器裝袋，每袋的凈重為隨機(jī)變量，其期望值為，一大盒內(nèi)裝200袋，求一大盒茶葉凈重大于的概率？33.電冰箱的壽命服從指數(shù)分布，每臺電冰箱平均壽命是10年

29、。現(xiàn)工廠生產(chǎn)了1000臺電冰箱，問10年之內(nèi)，這些電冰箱出現(xiàn)故障的臺數(shù)小于600臺的概率？34.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為并且已知，求常數(shù)35.把4只球隨機(jī)地投到4個盒子中去，求空盒子個數(shù)的期望及方差？36.擲兩顆骰子，設(shè)表示第一顆出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示兩顆中出現(xiàn)的較大的點(diǎn)數(shù)，試求：37.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且它們的概率密度分別為試求的均值？38.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且它們的概率密度分別為試求的數(shù)學(xué)期望39.已知隨機(jī)變量與的方差及相關(guān)系數(shù)分別為,試求40.設(shè)隨機(jī)變量與之間存在線性關(guān)系：，這里為常數(shù)。試證明：它們之間的相關(guān)系數(shù)為41.將只球（分別標(biāo)號為號）隨機(jī)地放入只盒子（分別標(biāo)號為號）。將某號碼

30、球裝入同號碼的盒子中，稱為一個配對，用表示配對的數(shù)目，求。42.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且求：43.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，并且都服從正態(tài)分布，令,這里，為常數(shù)。試求與的相關(guān)系數(shù)？44.設(shè)隨機(jī)變量表示由四個數(shù)字1，2，3，4中任意選取的數(shù)字，隨機(jī)變量表示由其中任意選的不小于的數(shù)字，試求：45.獨(dú)立試驗(yàn)序列中，設(shè)事件在各次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，求事件發(fā)生次時已進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望？46.一個工人負(fù)責(zé)臺同類型機(jī)床的維修。這臺機(jī)床從左到右排列在一條直線上。相鄰兩臺之間的距離都等于，工人對某一臺機(jī)床檢修完畢，再到另一臺先要求檢修的機(jī)床去進(jìn)行檢修。假定臺機(jī)床中任何一臺機(jī)床發(fā)生故障的概率相等，且相互獨(dú)立。試

31、計(jì)算這個工人檢修一臺機(jī)床要走的平均路程？47.有五個相互獨(dú)立的電子裝置，它們的壽命都服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（1）如果將它們串聯(lián)成整機(jī)，則其中任一裝置發(fā)生故障，整機(jī)就不能工作；（2）如果將它們并聯(lián)成整機(jī)，則當(dāng)所有裝置都發(fā)生故障時，整機(jī)才不能工作。在上述兩種情況下，分別求整機(jī)壽命的數(shù)學(xué)期望？第五章 樣本、抽樣分布及參數(shù)估計(jì)1設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)。求的矩估計(jì)量？2設(shè)有總體，且存在，試求的矩估計(jì)量？3設(shè)總體在上服從均勻分布，未知；為的樣本值。求的極大似然估計(jì)值？4對容量為的樣本，求密度函數(shù)為中參數(shù)的矩估計(jì)量？5在密度函數(shù)為中，參數(shù)的極大似然估計(jì)量是什么？矩估計(jì)量是什么？6設(shè)總體的概率密度為

32、，求參數(shù)的極大似然估計(jì)值？7設(shè)總體的概率密度為,其中為已知常數(shù)，未知參數(shù)，試求的極大似然估計(jì)量？8設(shè)總體的均值為為的樣本。試證和都是的無偏估計(jì)量。9設(shè)是總體的樣本。試證下列統(tǒng)計(jì)量都是的無偏估計(jì)量：，并說明其中哪一個最有效？10設(shè)總體。證明的極大似然估計(jì)是一致無偏估計(jì)量11設(shè)總體在上服從均勻分布，未知；的樣本值為，試求的矩估計(jì)值？12設(shè)總體服從二點(diǎn)分布，為它的樣本，試求成功的概率的矩估計(jì)量？13隨機(jī)地抽取7只軸承，測得它們直徑（單位：）為，試求總體均值及方差的矩估計(jì)值，并求樣本方差？14設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，為未知， 是樣本觀測值，試求的矩法估計(jì)值？15已知某種白熾燈泡壽命服從正態(tài)分布

33、，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機(jī)抽取10只，測得其壽命（單位：）為：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948。設(shè)總體期望與方差均未知，試用最大似然估計(jì)來估計(jì)該星期生產(chǎn)燈泡能使用以上的概率？16設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的01分布，為未知參數(shù)，為樣本觀測值，試求參數(shù)的極大似然估計(jì)值？17設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為未知， 是樣本觀測值，試求矩法估計(jì)值？18設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本觀測值，已知，試求的極大似然估計(jì)值？19設(shè)總體服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，其中，已知而未知。為樣本觀測值，求參數(shù)的極大似然估計(jì)值？20設(shè)總體的概率密度函數(shù)為，又為來自的容量為的樣本，試求

34、未知參數(shù)的（1）矩估計(jì)，（2）極大似然估計(jì)？21設(shè)為來自總體的容量為的樣本，是未知參數(shù)。試證明： ,都是的無偏估計(jì)，哪個更有效？22設(shè)是參數(shù)的兩個相互獨(dú)立的無偏估計(jì)量，且，試求常數(shù)使也是的無偏估計(jì)量，并且使它在所有這種形狀的估計(jì)量中方差最??？23設(shè)總體服從上的均勻分布，即，其中是未知參數(shù)（正整數(shù)），試求的矩估計(jì)量？24設(shè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是來自總體的容量為5的樣本。試求常數(shù)，使統(tǒng)計(jì)量服從分布，并問自由度是多少？25設(shè)總體是來自的容量為2的樣本，試求常數(shù)，使26設(shè)總體的均值與方差都存在，為來自的容量為的樣本，為樣本均值。對于，試求：27現(xiàn)有兩批導(dǎo)線，從批導(dǎo)線中隨機(jī)地抽取4根，從批導(dǎo)線中隨機(jī)地抽取

35、5根，測得它們的電阻（單位：）為批導(dǎo)線 0.143, 0.142, 0.143, 0.137批導(dǎo)線 0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140設(shè)這兩批導(dǎo)線的電阻分別服從正態(tài)分布，并且它們相互獨(dú)立，均未知，試求的95%置信區(qū)間？28設(shè)總體，均未知。為來自的容量為的樣本，試求：的極大似然估計(jì)，這里，是給定的數(shù)。29在正態(tài)總體中隨機(jī)抽取一個容量為36的樣本，試求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率？30由正態(tài)總體分別得到容量為10與15的相互獨(dú)立的樣本，求其樣本均值差的絕對值大于的概率？31設(shè)總體為未知。由總體得樣本觀測值， ，試求總體數(shù)學(xué)期望的置信度為的置信區(qū)間？32設(shè)

36、總體，均未知。由得到容量為16的樣本觀測值算得，試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為的置信區(qū)間？33設(shè)來自正態(tài)總體的一容量為15的樣本均值，來自正態(tài)總體的一容量為20的樣本均值，并且兩樣本相互獨(dú)立，試求：的90%置信區(qū)間？第六章 假設(shè)檢驗(yàn)1所生產(chǎn)的某零件重量，其中。采用新工藝后，所生產(chǎn)的零件重量的方差不變，為考察均值是否變化，隨機(jī)抽取6個樣品，測得重量（單位：）如下：14.7, 15.1, 14.8, 15.0, 15.2, 14.6 問平均重量是否仍可以認(rèn)為是15？2正常人的脈搏平均為72次/分。某醫(yī)生測得10例慢性中毒患者的脈搏為：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69（次/分）。

37、已知中毒患者的脈搏仍服從正態(tài)分布，問中毒患者與正常人的脈搏有無顯著差異？3某輪胎廠宣稱所生產(chǎn)的汽車輪胎的平均使用壽命不低于5萬公里。假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布，并隨機(jī)地抽取12只輪胎試用，它們的壽命為（單位：萬公里）4.61, 5.02, 4.38, 5.2, 4.85, 4.6, 4.58, 4.7, 5.1, 4.68, 4.72, 4.32.問從中能得出什么結(jié)論？4比較甲、乙兩種安眠藥的療效，將20個患者分成兩組，每組10人。甲組病人服用甲種安眠藥，乙組病人服用乙種安眠藥。已知服藥后延長睡眠時間近似服從正態(tài)分布，延長睡眠時間如表中所示，并且可以認(rèn)為它們的方差相等。問這兩種安眠藥的療效有無

38、顯著差異？序號12345678910安眠藥甲1.90.81.10.1-0.14.45.51.64.63.4安眠藥乙0.7-1.6-0.21.2-0.13.43.70.802.05某種作物有甲、乙兩種品種。為了比較它們的優(yōu)劣，兩個品種各種10畝。假設(shè)畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布。收獲后測定甲品種畝產(chǎn)量（）均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為；乙品種畝產(chǎn)量均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，取顯著性水平為，問能否認(rèn)為兩種品種的產(chǎn)量沒有顯著差異？6測定某溶液中的水份，得10個測定值，由它們得出，。設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，均未知。對于顯著性水平,試檢驗(yàn)7要求某種導(dǎo)線電阻標(biāo)準(zhǔn)差不超過（單位：）。今在所生產(chǎn)的導(dǎo)線中隨機(jī)抽取9根，測得電阻為，經(jīng)計(jì)算得，

39、設(shè)電阻總體服從正態(tài)分布。問在顯著性水平下，能認(rèn)為這批導(dǎo)線電阻的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大嗎？8檢查部門從甲乙兩燈泡廠各取30個燈泡進(jìn)行取檢，甲廠燈泡平均壽命為1500h,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為80h；乙廠燈泡平均壽命為1450h，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為94h。設(shè)各廠燈泡壽命都服從正態(tài)分布。問是否可斷定甲廠燈泡比乙廠的好？9根據(jù)1963年的觀察資料，某地每年夏季（59月）發(fā)生暴雨天數(shù)的記錄如下：暴雨天數(shù) 0 1 2 3 45 6 7 8 年 份 數(shù) 4 8 14 19 10 4 2 1 1 0問能否由此表明該地夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)服從泊松分布？10按孟德爾遺傳定律，讓開粉紅花的豌豆隨機(jī)交配，子代可分成開紅花、粉紅花和白花三類，比

40、例為1：2：1，為檢驗(yàn)這個理論進(jìn)行了試驗(yàn)，結(jié)果是：100株豌豆中開紅花30株，開粉紅花48株，開白花22株。問這些數(shù)據(jù)與孟德爾遺傳定律是否符合？第七章 填空題與選擇題(綜合)填空題1.設(shè)二事件相互獨(dú)立，且已知則 。2.某射手在3次射擊中至少命中1次的概率為0.875，則此射手在1次射擊中命中的概率為 。3.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，6件合格品，從中任取2件。已知所取2件產(chǎn)品中有1件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是 。4. 4個人獨(dú)立地猜一謎語，他們能夠猜破的概率都是，則此謎語被猜破的概率是 。5.已知則 。6.某市有50%住戶訂日報，65%住戶訂晚報，85%住戶至少訂這兩種報紙中的

41、一種，則同時訂這兩種報紙的住戶所占的百分比是 。7.甲，乙2人投藍(lán)，命中率分別為0.7與0.6，每人投3次，則甲比乙進(jìn)球數(shù)多的概率是 。8.設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，則方程有實(shí)根的概率是 。9.某電路是由元件與兩個并聯(lián)元件串聯(lián)而成，若斷路與否相互獨(dú)立，且它們斷路的概率分別為，則此電路斷路的概率是 。10.同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)三個正面的概率是 ，恰出現(xiàn)一個正面的概率是 。11.設(shè)某批電子元件的正品率為，次品率為?，F(xiàn)從中任取一個對其測試，如果是次品，再取一個進(jìn)行測試，直至測得正品為止，則測試次數(shù)的分布律是 。12.若隨機(jī)變量的分布為 則應(yīng)滿足的條件是 ，若相互獨(dú)立，則 。 。13.設(shè)

42、隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，隨機(jī)變量，則的分布函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 。14.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)在數(shù)軸某區(qū)間的表達(dá)式為，而在其它部分為常數(shù)，試寫出此分布函數(shù)的下述完整表達(dá)式： ，當(dāng) = ，當(dāng) 15.已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則 ， ， ，概率密度 。16.已知隨機(jī)變量且，則 。17.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為則的邊緣密度 ， 。18.已知服從正態(tài)分布，則 。19.若是正態(tài)總體的容量為的簡單隨機(jī)樣本，則其均值為服從 。20.設(shè)，則的協(xié)方差矩陣為 ，相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng) 。21.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，則 。22.設(shè)隨機(jī)變量且與相互獨(dú)立，則 。23.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為則 ， 。24.隨

43、機(jī)變量則此二項(xiàng)分布中參數(shù) ， 。25.設(shè)與是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且在上服從均勻分布，服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則= ， 。26.投擲枚骰子，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望是 。27.設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，為正整數(shù)，則與的相關(guān)系數(shù)= 。28.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且則 。29.設(shè)隨機(jī)變量且與相互獨(dú)立，則 ， 。30.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則的概率密度函數(shù)是 。31.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，其概率密度分別為 則 。32.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其中服從上的均勻分布，服從正態(tài)分布，服從參數(shù)為的泊松分布，令， 則 ， 。33.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差分別為與，則由契比雪夫不等式，有 。34.設(shè)是來自總

44、體的容量為的簡單隨機(jī)樣本，則由契比雪夫不等式得到 。35.設(shè)每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率為，現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，表示事件出現(xiàn)的次數(shù)，利用中心極限定理得 。36.設(shè)是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，為樣本均值，則服從 。37.設(shè)是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，為樣本均值，則 ， 。38.設(shè)總體，且已知，設(shè)是來自的容量為的樣本，為樣本均值，總體均值的置信度為的置信區(qū)間是，則 。39.設(shè)是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，其中參數(shù)和均未知，設(shè)，則檢驗(yàn)假設(shè)所用的統(tǒng)計(jì)量是 ，它服從 分布，自由度是 。40.設(shè)是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，其中參數(shù)和均未知，設(shè)，為檢驗(yàn)假設(shè)，則（1）所用的統(tǒng)計(jì)量是 ，（2）對于顯著性水平

45、相應(yīng)的拒絕域是 。41.設(shè)隨機(jī)變量且與相互獨(dú)立，且均未知。由的樣本為，由得到的樣本為，為檢驗(yàn)假設(shè)，應(yīng)選取 檢驗(yàn)，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量是 。選擇題1.設(shè)則 （ ）事件與互不相容 事件與互相對立事件與互不獨(dú)立 事件與相互獨(dú)立2.設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的方差分別是和，則隨機(jī)變量的方差是 （ ）8 1628 443.設(shè)與是任意兩個不相容的事件，且概率都不為0，則下列結(jié)論中肯定正確的是 （ ）與不相容 與相容 4.對任意兩個隨機(jī)變量，若，則 （ ） 與相互獨(dú)立 與相互不獨(dú)立 5.設(shè)與是任意兩個事件，且，則下列結(jié)論肯定正確的是 （ ） 6.設(shè)與是任意兩個事件，且，下列結(jié)論中肯定正確的是 （ ）事件與互不相容

46、7.設(shè)離散隨機(jī)變量的分布律為0120.30.50.2其分布函數(shù)為，則為 ( )0 0.30.8 18.設(shè)與為兩個互斥事件，且，則結(jié)論正確的是（ ） 9.設(shè)與為兩個隨機(jī)事件，且有則結(jié)論正確的是（ ） 習(xí)題解答第一章 13456設(shè)=“收音機(jī)不受干擾”，記為兩信號進(jìn)入收音機(jī)的時刻。于是，樣本空間為：，有利于事件的區(qū)域?yàn)椋?設(shè)=“一船要等待空出碼頭”。記甲、乙兩船一晝夜內(nèi)到達(dá)碼頭的時刻分別為，于是：有利于的區(qū)域?yàn)?總設(shè)=“甲系統(tǒng)有效”，=“乙系統(tǒng)有效”則，910設(shè)為木棍的兩個分點(diǎn)，且記，于是能構(gòu)成三角形，于是，樣本空間為：11設(shè)“第人射擊命中飛機(jī)”，1（甲），2（乙），（丙）；“恰有人命中”“飛機(jī)墜毀”。12設(shè)“第門炮擊中飛機(jī)”，；“飛機(jī)被擊中”，故至少應(yīng)有門炮同時射擊才能有以上的把握擊中飛機(jī)。13本題原是的重貝努里試驗(yàn)，在的轉(zhuǎn)換下，將使用泊松分布近似地完