2025版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)7.1概率學(xué)案文

PAGE1-第1講概率eq\a\vs4\al\co1()考點1古典概型1．古典概型的概率：P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事務(wù)A中所含的基本領(lǐng)件數(shù),試驗的基本領(lǐng)件總數(shù)).2．古典概型的兩個特點：(1)全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個；(2)每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．[例1](1)[2024·全國卷Ⅱ]生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)(2)[2024·全國卷Ⅲ]兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【解析】(1)本題主要考查古典概型；考查學(xué)生的邏輯推理和運算求解實力；考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析．記5只兔子分別為A，B，C，D，E，其中測量過某項指標的3只兔子為A，B，C，則從這5只兔子中隨機取出3只的基本領(lǐng)件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10種，其中恰有2只測量過該指標的基本領(lǐng)件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6種，所以所求事務(wù)的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)本題考查古典概型，以現(xiàn)實生活中常見的學(xué)生排隊問題為背景，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)問的應(yīng)用意識．設(shè)兩位男同學(xué)分別為A、B，兩位女同學(xué)分別為a、b，則四位同學(xué)排成一列，全部可能的結(jié)果用樹狀圖表示為共24種結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果有12種，∴P(兩位女同學(xué)相鄰)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，故選D.【答案】(1)B(2)D古典概型求解的三步(1)推斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事務(wù)為A；(2)分別計算基本領(lǐng)件的總個數(shù)n和所求的事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事務(wù)A的概率.『對接訓(xùn)練』1．[2024·廣東深圳模擬]拋兩個各面上分別標有1,2,3,4,5,6的質(zhì)地勻稱的骰子，向上一面的兩個數(shù)字之和為3的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,36)D.eq\f(1,18)解析：向上的兩個數(shù)之和為3的有(1,2)，(2,1)兩種狀況，拋擲兩個骰子一共有36種狀況，故向上一面的兩個數(shù)字之和為3的概率是eq\f(1,18)，故選D.答案：D2．[2024·四川成都一診]齊王有上等、中等、下等馬各一匹；田忌也有上等、中等、下等馬各一匹．田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場競賽，若有優(yōu)勢的馬肯定獲勝，則齊王的馬獲勝的概率為()A.eq\f(4,9)B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(7,9)解析：設(shè)齊王的上等、中等、下等馬分別為A，B，C，田忌的上等、中等、下等馬分別為a，b，c，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場競賽，基本領(lǐng)件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9種，∵有優(yōu)勢的馬肯定獲勝，∴齊王的馬獲勝包含的基本領(lǐng)件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6種，∴齊王的馬獲勝的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選C.答案：Ceq\a\vs4\al\co1()考點2幾何概型1．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).2．幾何概型應(yīng)滿足兩個條件：基本領(lǐng)件的無限性和每個基本領(lǐng)件發(fā)生的等可能性．[例2](1)[2024·長沙聯(lián)考]長郡中學(xué)夏季運動會上，鐵餅項目運動員往一矩形區(qū)域進行扔餅訓(xùn)練，該矩形長為6，寬為4，鐵餅是半徑為1的圓，該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區(qū)域內(nèi)，則該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區(qū)域的概率為()A.eq\f(π,24)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(π,8)(2)[2024·陜西漢中二模]某電視臺每天中午12：30到13：00播放當(dāng)?shù)匦侣?，在此期間將隨機播出時長5分鐘的當(dāng)?shù)匚幕麚P片．若小張于某天12：50打開電視，則他能完整收看到這個宣揚片的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)【解析】(1)由題意，得該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區(qū)域內(nèi)，即鐵餅圓心所在區(qū)域為矩形ABCD，要使該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區(qū)域，則鐵餅圓心所在矩形為EFGH，由幾何概型的概率公式，得該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區(qū)域的概率為P＝eq\f(4×2,6×4)＝eq\f(1,3)，故選C.(2)他能完整收看到這個宣揚片的時間是12：50到12：55，共5分鐘，12：30到12：55，共25分鐘，∴所求概率P＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).故選C.【答案】(1)C(2)C(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮運用幾何概型求解；(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事務(wù)發(fā)生的區(qū)域的找尋，有時須要設(shè)出變量，在坐標系中表示所須要的區(qū)域.『對接訓(xùn)練』3．[2024·江西上饒“山江湖”協(xié)作體三模]如圖，若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，其中AB＝2，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)(陰影部分)的概率是()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D.eq\f(π,16)解析：依據(jù)幾何概型概率的計算公式，可知所求概率為eq\f(\f(1,2)π×12,2×2)＝eq\f(π,8)，故選C.答案：C4．[2024·山東青島調(diào)研]有一底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點O為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點A，則點A到點O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)解析：設(shè)點A到點O的距離小于或等于1的概率為P1，則P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故點A到點O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故選B.答案：B考點3概率與其他學(xué)問的交匯概率考點是近幾年高考的熱點之一，主要考查隨機事務(wù)的概率、古典概型、幾何概型等學(xué)問，近幾年高考對概率的考查由單一型向?qū)W問交匯型轉(zhuǎn)化，多與統(tǒng)計、函數(shù)、方程、數(shù)列、平面對量、不等式(線性規(guī)劃)等學(xué)問交匯命題．[例3][2024·四川成都摸底]2024年央視大型詩詞文化音樂節(jié)目《經(jīng)典詠流傳》熱播，掀起了全民誦讀詩詞的熱潮．某高校社團調(diào)查了該校文學(xué)院300名學(xué)生每天誦讀詩詞的時間(全部學(xué)生誦讀的時間不超過兩小時)，并按時間(單位：min)分成六個組：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校文學(xué)院的學(xué)生每天誦讀詩詞的平均時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)若2名同學(xué)誦讀詩詞的時間分別為x，y，當(dāng)x，y滿足|x－y|＞60時，這2名同學(xué)組成一個小組，已知從每天誦讀時間小于20min和大于或等于80min的全部學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機選取2人，求選取的2人能組成一個小組的概率．【解析】(1)各組數(shù)據(jù)的頻率之和為1，即全部小矩形的面積和為1，故(a＋a＋6a＋8a＋3a＋a)×20＝1，解得a＝0.0025，所以該校文學(xué)院的學(xué)生每天誦讀詩詞的平均時間為10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64(min)．(2)由頻率分布直方圖知誦讀詩詞的時間在[0,20)，[80,100)，[100,120]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)的頻率之比為1：3：1，故抽取的5人中誦讀詩詞的時間在[0,20)，[80,100)，[100,120]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為1,3,1.設(shè)在[0,20)內(nèi)的1名學(xué)生為A，在[80,100)內(nèi)的3名學(xué)生分別為B，C，D，在[100,120]內(nèi)的1名學(xué)生為E，則抽取2人的全部基本領(lǐng)件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10種．選取的2人能組成一個小組的狀況有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，共4種．故選取的2人能組成一個小組的概率為P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟『對接訓(xùn)練』5．[2024·貴州貴陽監(jiān)測]互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也起先成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁恍谢蛉钡囊徊糠郑甅市某調(diào)查機構(gòu)針對該市市場占有率最高的兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣A、外賣B)的服務(wù)質(zhì)量進行了調(diào)查，從運用過這兩家外賣服務(wù)的市民中隨機抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分數(shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：分數(shù)種類[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]外賣A(人數(shù))50150100400300外賣B(人數(shù))100100300200300表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿足．若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評價較高．現(xiàn)將分數(shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標”劃分成以下四個檔次：分數(shù)[0,40)[40,60)[60,80)[80,100]服務(wù)質(zhì)量指標0123用頻率表示概率，解決問題：從參加調(diào)查的市民中隨機抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標”的差的肯定值等于2的概率．解析：記外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標”為事務(wù)Ai，外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標”為事務(wù)Bi，i∈{0,1,2,3}，則其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標”的差的肯定值等于2的概率為P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.課時作業(yè)16概率1．[2024·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團二中模擬]有一枚質(zhì)地勻稱的骰子，拋擲兩次，得到向上一面的兩個點數(shù)，則下列事務(wù)中，發(fā)生的概率最大的是()A．點數(shù)都是偶數(shù)B．點數(shù)的和是奇數(shù)C．點數(shù)的和小于13D．點數(shù)的和小于2解析：畫出樹狀圖如下：由圖可知共有36種狀況，其中點數(shù)都是偶數(shù)的狀況有9種，點數(shù)的和為奇數(shù)的狀況有18種，點數(shù)和小于13的狀況有36種，點數(shù)和小于2的狀況有0種，故選C.答案：C2．[2024·湖北宜昌聯(lián)考]某次下課后，某教室里還剩下2位男同學(xué)和1位女同學(xué)，若他們依次走出教室，則第2個走出的是女同學(xué)的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)解析：由題意知共有6個基本領(lǐng)件，第2個走出的是女同學(xué)包含2個基本領(lǐng)件，所以第2個走出的是女同學(xué)的概率是eq\f(1,3).答案：B3．[2024·山東青島調(diào)研]已知某運動員每次投籃投中的概率是40%.現(xiàn)采納隨機數(shù)法估計該運動員三次投籃中，恰有兩次投中的概率：先由計算器隨機產(chǎn)生0～9中的整數(shù)，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．現(xiàn)產(chǎn)生了如下10組隨機數(shù)；907966191925271431932458569683.估計該運動員三次投籃恰有兩次投中的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,10)解析：隨機模擬產(chǎn)生了10組隨機數(shù)，在這10組隨機數(shù)中，表示三次投籃恰有兩次投中的有191,271,932，共3組，故所求概率為eq\f(3,10)，故選C.答案：C4．[2024·廣東佛山調(diào)研]將一根長為6mA.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)解析：繩子的長度為6m，剪成兩段后，設(shè)其中一段的長度為xm，則另一段的長度為(6－x)m，記“其中一段的長度大于另一段長度的2倍”為事務(wù)A，則A＝{x|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<6，,x>26－x或6－x>2x))}＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝eq\f(2,3)，故選B.答案：B5．[2024·河北九校聯(lián)考]如圖，矩形的長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機撒300顆黃豆，落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積為()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68解析：由題意，可估計橢圓的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(96,300)))×6×4＝16.32.故選A.答案：A6．[2024·河南中原名校聯(lián)盟一模]市場調(diào)查發(fā)覺，大約eq\f(4,5)的人喜愛在網(wǎng)上購買家用小電器，其余的人則喜愛在實體店購買家用小電器．經(jīng)工商局抽樣調(diào)查，發(fā)覺網(wǎng)上購買的家用小電器的合格率約為eq\f(17,20)，而實體店里的家用小電器的合格率約為eq\f(9,10).現(xiàn)工商局接到一個關(guān)于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購買的可能性是()A.eq\f(6,7)B.eq\f(5,6)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2,5)解析：∵大約eq\f(4,5)的人喜愛在網(wǎng)上購買家用小電器，網(wǎng)上購買的家用小電器的合格率約為eq\f(17,20)，∴某家用小電器是在網(wǎng)上購買的，且被投訴的概率約為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(17,20)))＝eq\f(3,25)，又實體店里的家用小電器的合格率約為eq\f(9,10)，∴某家用小電器是在實體店里購買的，且被投訴的概率約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq\f(1,50)，故工商局接到一個關(guān)于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購買的可能性P＝eq\f(\f(3,25),\f(3,25)＋\f(1,50))＝eq\f(6,7).答案：A7．[2024·湖北六校聯(lián)考]在長為10cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于16cmA.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：設(shè)AC＝x，則BC＝10－x，由題意知x(10－x)＜16，所以x＜2或x＞8，又0＜x＜10，所以該矩形的面積小于16cm2的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：B8．[2024·黑龍江齊齊哈爾模擬]隨著計算機的出現(xiàn)，圖標被給予了新的含義，有了新的用武之地．在計算機應(yīng)用領(lǐng)域，圖標成了具有明確指代含義的計算機圖形．如圖所示的圖標是一種被稱為“黑白太陽”的圖標，該圖標共分為三部分．第一部分為外部的八個全等的矩形，每一個矩形的長為3、寬為1；其次部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為3，小圓半徑為2；第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域．在整個“黑白太陽”圖標中隨機取一點，則此點取自圖標第三部分的概率為()A.eq\f(π,24＋9π)B.eq\f(4π,24＋9π)C.eq\f(π,18＋9π)D.eq\f(4π,18＋9π)解析：圖標第一部分的面積為8×3×1＝24，圖標其次部分的面積和第三部分的面積和為π×32＝9π，圖標第三部分的面積為π×22＝4π，故此點取自圖標第三部分的概率為eq\f(4π,24＋9π)，故選B.答案：B9．[2024·河北省級示范聯(lián)合體聯(lián)考]袋子中有四個小球，分別寫有“和”“平”“世”“界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到才算完成．用隨機模擬的方法估計恰好取三次便完成的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，0,1,2,3代表的字分別為“和”“平”“世”“界”，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，隨機模擬產(chǎn)生了以下24組隨機數(shù)組：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估計，恰好取三次便完成的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,24)解析：由題意可知，滿足條件的隨機數(shù)組中，前兩次抽取的數(shù)中必需包含0或1，且0與1不能同時出現(xiàn)，第三次必需出現(xiàn)前面兩個數(shù)字中沒有出現(xiàn)的1或0.易知符合條件的數(shù)組只有3組：021,130,031，故所求概率P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).故選A.答案：A10．[2024·云南昆明摸底]法國學(xué)者貝特朗于1899年針對幾何概型提出了貝特朗悖論，內(nèi)容如下：在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一條弦，問：其長超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長eq\r(3)的概率為多少？基于對“隨機地取一條弦”的不同說明，存在著不同答案．現(xiàn)給出其中一種說明：固定弦的一個端點A(如圖)，另一端點在圓周上隨機選取，其答案為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：記圓內(nèi)接等邊三角形為△ABC，弦的另一個端點為P.如圖，若弦AP的長超過AB的長，則點P落在劣弧上，所以所求概率為eq\f(1,3).故選B.答案：B11．[2024·廣東肇慶聯(lián)考]已知某條線的地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，則乘客到達站臺馬上乘上車的概率是________．解析：由于地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，故所求概率P＝eq\f(1－0,10－0)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)12．[2024·貴州貴陽監(jiān)測]甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______．解析：設(shè)“乙獲勝”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,3).因為甲輸便是乙獲勝，所以甲不輸?shù)母怕适?－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)13．[2024·河北張家口模擬]已知四棱錐P－ABCD的全部頂點都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2.現(xiàn)在球O的內(nèi)部任取一點，則該點取自四棱錐P－ABCD內(nèi)部的概率為________．解析：將四棱錐P－ABCD補形為正方體，則正方體的體對角線的長是球O的直徑，設(shè)球O的半徑為R，則2eq\r(3)＝2R，即R＝eq\r(3)，則四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)，球O的體積為eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π，則該點取自四棱錐P－ABCD的內(nèi)部的概率P＝eq\f(\f(8,3),4\r(3)π)＝eq\f(2\r(3),9π).答案：eq\f(2\r(3),9π)14．[2024·百校聯(lián)盟培優(yōu)訓(xùn)練]在一個正五邊形的頂點中隨機選取三個不同的頂點，則正五邊形的中心位于所選三個點構(gòu)成的三角形內(nèi)部的概率為________．解析：如圖，設(shè)正五邊形的5個頂點分別為A，B，C，D，E任選三個，狀況有10種，為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.其中符合正五邊形的中心位于所選三個點構(gòu)成的三角形內(nèi)部的狀況有ABD，ACD，ACE，BCE，BDE，共5種，故所求的概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．[2024·廣東汕頭第一次聯(lián)考]某學(xué)校有初級老師21人，中級老師14人，高級老師7人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從這些老師中抽取6人對績效工資狀況進行調(diào)查．(1)求從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從抽取的6名老師中隨機抽取2名進行進一步分析，求抽取的2名老師均為初級老師的概率．解析：(1)抽樣比為eq\f(6,21＋14＋7)＝eq\f(1,7)，則21×eq\f(1,7)＝3,14×eq\f(1,7)＝2,7×eq\f(1,7)＝1，所以從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數(shù)為3,2,1.(2)在抽取的6名老師中，3名初級老師分別記為A1，A2，A3,2名中級老師分別記為A4，A5,1名高級老師記為A6，則抽取2名老師的全部可能結(jié)果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．將“從6名老師中抽取的2名老師均為初級老師”記為事務(wù)B，則事務(wù)B發(fā)生的全部可能結(jié)果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).16．[2024·河南洛陽市尖子生其次次聯(lián)考]某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位停靠的時間(單位：時)，停靠時間不足半小時按半小時計，超過半小時且不足1小時按1小時計，以此類推，統(tǒng)計結(jié)果如下表：停靠時間/時2.533.544.555.56輪船數(shù)量/艘12121720151383(1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為a小時，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船須要在該泊位各?？縜小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船有一艘在?？繒r必需等待的概率．解析：(1)a＝eq\f(1,100)×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.(2)設(shè)甲船到達的時間為x，乙船到達的時間為y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤24，,0<y≤24，))若這兩艘輪船在停靠時有一艘須要等待，則|y－x|<4，符合題意的區(qū)域如圖中陰影部分(不包括x，y軸)所示．記“這兩艘輪船有一艘在?？繒r必需等待”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(24×24－2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(11,36).故這兩艘輪船有一艘在?？繒r必需等待的概率為eq\f(11,36).17．[2024·黑龍江哈爾濱六中段考]如圖是某市3月1日至3月14日的空氣質(zhì)量指數(shù)折線圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天(包括到達當(dāng)天)．(1)求此人到達當(dāng)日空氣優(yōu)良的概率；(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；(3)由圖推斷從哪天起先連續(xù)3天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．(干脆寫出結(jié)論，不要求證明)解析：(1)由圖看出，1日至13日這13天內(nèi)，空氣優(yōu)良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日，共6天．由古典概型概率計算公式得，此人到達當(dāng)日空氣優(yōu)良的概率P＝eq\f(6,13).(2)此人在該市停留的兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)可能為(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,160