北師大版七年級數(shù)學下冊同步訓練：平方差公式和完全平方公式（10類熱點題型）解析版

第06講平方差公式和完全平方公式(10類熱點題型講練)

學習目標

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用;

2.理解平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運用公式進行簡單的運算;

3.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

思維導(dǎo)圖

平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個

數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方

差.

平方差公式和完全平方完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,

公式等于它們的平方和加(減)它們積

的2倍.

平方差和完全平方差區(qū)別

知識清單

知識點01平方差公式

平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

即(a+b)(a-b)="-b2

公式的幾種變化：

①位置變化：(6+。)(-6+。)=(a+b)(a-Z?)=a2~b2；

(-a-b)(a-b)=(rb-a)(V+a)=(~b+a)(-b-a)=(-￡>)2-a1=b2~a2

②系數(shù)變化：(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=4〃-9〃

③指數(shù)變化：(〃+〃)("_")=(〃)2_g2=a4-b4

④增項變化：Q-b-c)(a-b+c)=(a~b)2

44

⑤連用公式變化：(a+b)(a-b)(〃+〃)=—(/+〃)=(")2_g^a-b

⑥公式逆運算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知識點02完全平方公式

完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差(a-Z?)2=a2-2ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍

(2)公式的變化：

①儲+62=(。+6)2-2。6；②〃$=(a-b)2+2ab；③(a+6)2=(a-6)z+4a6；④(?-/?)2=(?+/?)2-^ab

⑤(a+b)2~(a-b)2=4ab

知識點03平方差和完全平方差區(qū)別

平方差公式：(a+b)(a-&)=〃-〃

完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍

題型精講

題型01判斷是否可用平方差公式運算.

【例題】下列各式中不能用平方差公式計算的是()

A.+2bH-2“B.(-2x+3y)(-3y-2x)

C.(—2x+y)(_2x-y)D.

【答案】D

【詳解】解：4&+2,&--(26))可以使用平方差公式;

3、(-2x+3y)(-3y-2x)=(-2域-(3y『，可以使用平方差公式;

C、(-2x+y)(-2x-j)=(-2x)2-y2,可以使用平方差公式;

。、(x-l)(-x+l),兩項都不相同，可變形為完全平方公式，不能使用平方差公式.

故選：D.

【變式訓練】

1.下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(3+x)B.(-x+j)(x-y)C.(5m+n)(-5m-n)D.(3m+n)(3m—n)

【答案】D

【詳解】解：4不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；

2、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；

C、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；

D,能使用平方差公式，故本選項符合題意；

故選：D

2.下列各式中，不能用平方差公式計算的是()

A.(2x-j)(2x+y)B.(-x+j)(x-y)

C.(/?-fl)(Z?+a)D.(x-y)(-y-x)

【答案】B

【詳解】解：A、(2x-y)(2x+y),能用平方差公式進行計算，不符合題意；

2、(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y),不能用平方差公式進行計算，符合題意;

C、(b-a)(b+a),能用平方差公式進行計算，不符合題意；

D、(x-yX-y-x)=-(x-y)(x+y),能用平方差公式進行計算，不符合題意;

故選8.

題型02運用平方差公式進行運算.

【例題】(2023上?全國?八年級專題練習)計算：

⑴(。+6)(。_2);⑵1-^卜+野；

(3)(m+n)(m-A2)；

(4)(o.i-x)(o.i+x)；⑸(x+y)(-y+x).

【答案］(1)a2+ba-2a—2b

⑵--;

(3)"「一”2

(4)0.01-x2

(5)x2-y2

【分析】本題主要考查多項式乘以多項式，平方差公式：

(1)利用多項式乘以多項式的法則即可求解；

(2)利用平方差公式即可求解；

(3)利用平方差公式即可求解；

(4)利用平方差公式即可求解；

(5)利用平方差公式即可求解.

掌握多項式乘以多項式以及平方差公式的法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：(。+6)(。一2)=。2+6。一2”一防；

⑵解:(“?。塾?>2-；；

(3)解:(m+n){rn—n)=m2—n2；

(4)角軍：(0.1—x)(0.1+犬)=0.01—%2；

(5)解：(x+y)(-y+x)=x2-y2.

【變式訓練】

1.(2023上?八年級課時練習)計算：

(1)(5/M—3H)(5m+3??)；(2)(—2/+5Z?)(—2〃—56)；

⑶(++?%+，；(4)(-3y-4x)(3y-4x).

【答案】⑴25m2-9/

(2)4/一25〃

(3)y2--x2

16

(4)16x2-9y2

【分析】(1)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；

(2)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；

(3)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；

(4)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；.

【詳解】(1)(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2;

(⑶2)(—2〃2+5〃)(一2.2—5Z=?)="(—"2Q2一)—(5%6)2?=4a4_25匕2

(4)(-3y-4x)(3y-4x)=(-4x+3y)(Tx-3y)=(-4^)2-(3y)2=16x2-9y2.

【點睛】此題考查了運用平方差公式進行計算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.(2023?上海?七年級假期作業(yè))計算：

⑴(2。-3)(2“+3乂44+9)；⑵+.

【答案】⑴161-81

(2)〉工

10

【分析】(1)連續(xù)運用平方差公式求解即可；

(2)連續(xù)運用平方差公式求解即可；

【詳解】(1)(2。-3)(r+3乂4/+9)

=(4a2-9)(4o2+9)

=16fl4-81;

=(7a。-從)(］。2+^2)

=-a4-b\

16

【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.

題型03利用平方差公式進行簡便運算.

【例題】(2023上?吉林長春?八年級?？茧A段練習)用簡便方法計算：

(1)498x502⑵20222-2023x2021

【答案】⑴249996

(2)1

【分析】(1)根據(jù)498x502=(500-2)x(500+2),利用平方差公式計算即可得；

(2)根據(jù)20222-2023x2021=20223-(2022+l)x(2022-1),利用平方差公式計算即可得.

【詳解】(1)解：M=(500-2)x(500+2)=5002-22=250000-4=249996.

(2)解：原式=2022?-(2022+1)x(2022-1)=2022?-(20222=2022?一2022z+1=1.

【點睛】本題考查了利用平方差公式進行運算，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.(2023上?八年級課時練習)計算：

(1)10.3x9.7；(2)2020x2022-20212.

【答案】⑴99.91

(2)-1

【分析】(1)根據(jù)平方差公式計算即可；

(2)根據(jù)平方差公式計算即可.

【詳解】(1)解：10.3x9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91；

(2)解：2020x2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=202F-1-20212=-1.

【點睛】本題考查了平方差公式，熟記平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵.

2.(2023上?八年級課時練習)計算：

13

(l)100-x99-.

(2)198x202.

(3)________________

20222-2023x2021'

【答案】⑴999走

(2)39996

⑶2022

【分析】(1)(2)(3)運用平方差公式即可求解.

【詳解】(1)解：原式=(100+111004=100-=10000」=9999”

I4八4J41616

(2)解：原式=(200-2)x(200+2)=2002-2?=40000-4=39996

__________2022__________20222022

⑶解：原式-20222_(2022+1)、(2022-1)20222-(20222-1)=20222-20222+1=2°22

【點睛】本題考查平方差公式的運用.熟記公式形式(。+切(。-9=/-62是解題關(guān)鍵.

題型04平方差公式與幾何圖形.

【例題】(2023上?江蘇泰州?七年級靖江市靖城中學校聯(lián)考期中)圖1、圖2分別由兩個長方形拼成.

⑴圖1中圖形的面積為片一"，圖2中圖形的面積為(a-6)x_.(用含有a、b的代數(shù)式表示)

⑵由(1)可以得到等式：

⑶根據(jù)你得到的等式解決下列問題：

①計算：68.52-31.52.

②若m+4〃=2,求(m+l)2-nv+(2〃+1)~-(2n-l)2的值.

【答案】⑴(。+6)

(2)a2-b1=^a-b)^(a+b)

⑶①3700；②5

【分析】本題考查平方差公式與幾何面積.

(1)利用長方形的面積公式作答即可；

(2)根據(jù)兩個圖形的面積相等，即可得出等式；

(3)①利用(2)中的等式進行計算即可；②先用平方差公式進行化簡，再代值計算即可.

解題的關(guān)鍵是得到a2-b2=(a-b)x(a+b).

【詳解】(1)解：圖2中圖形的面積為(4-。)*(4+。)；

故答案為：(。+))；

(2)由(1)可得:"=(a—b)x(a+6)；

故答案為：a2-b2=(tz-Z?)x(6Z+Z?)；

(3)①68S-31S

=(68.5-31.5)x(68.5+31.5)

=37x100

=3700；

②回租+4〃=2,

[?](m+l)2-m2+(2n+l)2-(2H-1)2

=(m+l—+—2n+l)(2zi+l+2n—1)

=2m+l+8n

=2(m+4n)+l

=2x2+1

【變式訓練】

1.（2023上?陜西安康?八年級校聯(lián)考階段練習）【實踐操作】

（1）如圖1,在邊長為。的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（。＞。），把圖1中L形的紙片按圖②剪

拼，改造成了一個大長方形如圖③，用含。、6的式子表示圖③中大長方形的面積為

圖①圖②圖③

（2）請寫出圖①、圖②、圖③驗證的乘法公式為：；

【應(yīng)用探究】

（3）利用（2）中驗證的公式簡便計算：499x501+1；

(4)計算:“一七

【答案】(1)a2-Zj2；(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.(3)250000；

(4)—.

4048

【分析】（1）利用長方形的面積等于長乘以寬即可;

（2）圖③中大長方形的面積等于圖①的陰影部分面積，分別計算即可得出（。+3s--加；

（3）觀察（2）的的乘法公式的特點是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，故將499拆成500-1,將501拆成500+1即

可；

（4）利用。2-62=（。+6）（4一6）將各個因其進行因式分解后，再將各因式通分相加，發(fā)現(xiàn)每相鄰兩個的乘

積為1,故答案為第一個因式乘以最后一個因式；

本題考查了"數(shù)形結(jié)合"中的平方差公式及其靈活運用，解題的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律.

【詳解】（1）2（。-6）1一+

=^a-b）^a-b+2b）,

=（a-/?）（a+Z?）,

=a2—b2,

故答案為：a2-b2;

（2）圖③中大長方形的面積等于圖①的陰影部分面積，

團（a+6）（a_b）="_b?,

故答案為：（a+b）（a-b）=a2-b2；

（3）原式=（500-1）（500+1）-1,

=5002-l2-b

=5002=250000；

（4）原式=『JTU力i+卜“-擊（+盤］1-圭I"圭］,

1324352022202420232025

—___V___X/____V____y___V___yy___________X/___________X/___________\/___________

-2233442023202320242024?

12025

=——x,

22024

2025

-4048,

2.（2023上?山東濟南?七年級山東省濟南稼軒學校校考階段練習）實戰(zhàn)與探究，如圖1,邊長為a的大正方

形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）.

⑴上述操作能驗證的公式是(請選擇正確的一個).

A.a2+ab=a(^a+b)B.a2-b2=(o-fe)(a+Z?)C.a2-2ab+b2=(a-b'f

(2)請應(yīng)用上面的公式完成下列各題：

①已知4a之一從=24,2a+b=6,貝!]2。-6=；

②計算：1002-992+982-972+......+42-32+22-I2；

③計算：（2n）2一（2〃-以+（2〃-2）2-（2〃-3）2+……+42-32+22-I2（?>1）

【答案】⑴B

⑵①4；@5050；③2"+，，

【分析】本題考查平方差公式的證明與使用，考查求和公式，掌握這些是本題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)陰影部分寫出兩個圖形中陰影部分面積的代數(shù)式，再得出二者相等的結(jié)論；

（2）使用（1）得出的公式對本題中的平方差進行因式分解即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）解：圖一中的陰影部分面積為：cr-b1,

圖二中陰影部分面積為：（a+b）（a-b）,

而這兩者面積相等，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）.

故選：B.

（2）解：①4cr-b2=（2a+Z;）2（a-Z7）=24,

又2。+6=6,

:.2a-b=4.

②1002-992=（100+99）（100-99）=100+99,

982-972=（98+97）（98-97）=98+97,

22-12=（2+1）（2-1）=2+1,

；?原式=100+99+98+97+...+4+3+2+1=5050.

③（2n）2-（2n-l）2+（2n-2）2-（2n-3）2+...+42-32+22-I2（?>1）

=（2〃+2〃-1）（2〃-2〃+1）+（2〃-2+2〃-3）（2"-2+2〃+3）+……+（4+3）（4-3）+（2+l）（2-l）

—2〃+2幾—1+2〃—2+2n—3+...+4+3+2+1

_（2〃+1）22〃

一2

=2n2+n?

題型05運用完全平方公式進行運算

【例題】（2023上?河南信陽?八年級?？茧A段練習）用乘法公式計算

⑴（x+y+z）2

（2）（2x-3+y）（2x-y+3）

【答案1（l）x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

（2）4%2-y2+6y-9

【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知（。+力=/+2ab+b2,（a-勿（a+6）=/-k是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)完全平方公式進行求解即可；

(2)先把(y-3)看做一個整體利用平方差公式去中括號，再根據(jù)完全平方公式去小括號即可得到答案.

【詳解】(1)解：原式=(x+yy+2z(x+y)+z2

=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz；

(2)解：原式=[2x+(y-3)][2尤-(y-3)]

=4x?-(>-3)2

—4x2_6y+9)

=4x2-y2+6y-9.

【變式訓練】

1.(2023上?八年級課時練習)計算：

⑴(x+7?；

⑵(Ta+5力；

⑶(一2加一,J；

(4)(2x+3y)(-2x-3y).

【答案】⑴f+14孫+49/

⑵25〃-40316〃

(3)4m2—4mn+n2

(4)-4x2-12xy-9y2

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式計算即可；

(2)根據(jù)完全平方公式計算即可；

(3)根據(jù)完全平方公式計算即可；

(4)先提出負號，再完全平方公式計算即可；

【詳解】(1)解：(x+7y)2=x2+2-x-7y+(7y)2=x2+14xy+49y2；

(2)解：(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2-5b-4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2；

(3)解：(—2〃z—=(2〃z+〃)~=(2機)~+2?2〃工?〃+〃2=4〃/—4〃加+“2；

(4)解：(2x+3y)(-2x-3y)

=-(2元+34

=-[(2x)~+2.2x3y+(3y)]

=—4x2—12xy—9y2.

【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握這一公式的特征是解題的關(guān)鍵.

2.(2023上?八年級課時練習)計算：

⑴(x+2y-z)(尤-2y+z)；

⑵(5a+26-3c)2；

(3)(5o+3&-2c)(5a-3&+6c).

【答案】⑴x?-4y2+4yz—z?

(2)25a2+20ab-30ac+4b2-12bc+9c2

(3)25a2+20ac-9b2+24bc-12c2

【分析】(1)先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得答案；

(2)兩次利用完全平方公式計算即可得答案；

(3)將原式變形，利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得答案.

［詳解］(1)解：(x+2y-z)(x-2y+z)

=［x+(2y-z)］［x-(2y-z)］

=x2-(2y-z)2

=x2-(分?—4yz+z2^

=x2-4y2+4yz-z2.

（2）解：（5a+2b-3c）2

=［（5a+2Z?）-3c］~

2

=（5。+26）2-2（5。+26）.3c+（3c）

=25a2+20ab+（2Z?）2-30ac-12bc+9c2

=25a2+20ab—30ac+4b2-12bc+9c2.

（3）（5a+3b-2c）（5。-3b+6c）.

=［（5a+2c）+（3b-4c）］［（5a+2c）_（36-4c）］

=（5a+2c）~-（36-4<?y

=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2

=25a2+20ac-9b2+24bc-12c2.

【點睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：（。+6）（。-6）="一〃；完全平方公式：

（°±6）2="±2成+后；熟練掌握兩公式并靈活運用是解題關(guān)鍵，運用整體思想，將多項式看成一項，可創(chuàng)

造條件套用公式.

題型06利用完全平方公式進行簡便運算

【例題】用簡便方法計算：^X3.72-3.7X2.7+1X2.72.

22

【詳解】解：原式=；*(3.7?-2x3.7x2.7+2.72)

=1x(3.7-2.7)2

-2,

【變式訓練】

1.用簡便算法計算

(1)20172-2016X2018(2)2022+202x196+982

【詳解】(1)解：原式=20172-(2017-1)(2017+1)

=20172-(20172-I2)

=20172-20172+1

=1.

(2)解：原式=2022+2X202X98+982

=(202+98)2

=30()2

=90000

題型07通過對完全平方公式變形求值

【例題】(2023上,四川宜賓?八年級?？茧A段練習)已知：a+b^-3,ab=2,求下列各式的值:

(l)a2+b2;

⑵(aW.

【答案】⑴5

(2)1

【分析】本題考查了完全平方公式的計算，變形計算.

(1)根據(jù)公式(a+=片+2。人+〃變形計算即可.

(2)根據(jù)公式一2他+從計算即可.

【詳解】(1)解：團a+b=-3,ab=2,

22

團=9,+=a+2ab+b,

團9=Q2+2X2+〃，

角軍得/+/=5.

(2)解：回/+。2=5,ab=2,

1

團(］一/?)2=〃2_2ab+b,

團(a-bp=a1—lab+b1=5-4=1.

【變式訓練】

1.已知機-〃=T,mn=2,求下列代數(shù)式的值.

(1)m2+n2

(2)(m+l)(n-l)

【詳解】(1),

團("i一九『=16,

0m2—2mn+n2=16,

團mn=2,

團機2+〃2=16+2mn=16+4=20;

(2)(m+l)(n-l)

=2-(T)-1,

=5.

3.

2.已知a+b=5,ab=-,求下列式子的值：

(1)6?2-ab+b2;

⑵(

3

【詳角軍】(1)^\a+b=5,ab=—

2f

團Q2—cib+—(a+Z?)2—3ab

=52-3X-

2

_41

團(a-Z?)2=(a+一4ab

-52-4X-

2

=19.

題型08求完全平方式中的字母系數(shù)

【例題】已知關(guān)于x的式子4尤2+4+1是某個多項式的完全平方，那么A是.

【答案】4x、Tx和4/

【詳解】解：?E4X2+A+1=(2X)2+A+12,

0A=±2.2x-l=±4x,

②若A+4/+1是多項式的平方，

則A=4d；

故答案為：4x、Tx和4/.

【變式訓練】

1.若Y+m—l)x+25是一個完全平方式，則。=.

【答案】n或-9/-9或11

【詳解】解：回/+(。-1)》+25是一個完全平方式，

團(a—1)x=±2?x?5=±10x,

13a—1=±10,解得o=ll或一9,

故答案為：11或-9.

2.若整式4/+/+。是完全平方式，請寫出所有滿足條件的。是—.

【答案】±4V或士1或1

【詳解】解：①當。為4/和/的中間項時。=±4/；

②當4/為。和/的中間項時。=土爐；

③當V為。和4/的中間項時。=J；

故答案為：±4尤3或士爐或

4

題型09完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用

【例題】(2023上?江蘇?九年級專題練習)我們已經(jīng)學習了乘法公式(a±b)2="±2/+方2的多種運用，可

以運用所學知識解答：求代數(shù)式無2+4x+5的最小值.解答如下：

解:X?+4x+5=+4x+4+1=(x+2)+1,

(x+2)2>0,13當x=-2時，(+2)2的值最小,最小值是0,

ffl(x+2)2+l>l,團當(x+2)/時,(x+2)?+l的值最小，最小值是1,

回爐+4x+5的最小值是1.

請你根據(jù)上述方法，解答下列各題.

⑴知識再現(xiàn)：當天=時，代數(shù)式/一人+15的最小值是；

(2)知識運用：若》=*+6苫-15,當尸時，y有最______值(填"大"或"小")，這個值是

(3)知識拓展：若-爐+5苫+>+10=0,求y+x的最小值.

【答案】⑴2,II

(2)3,大，一6

(3)-14

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式將原式整理后即可確定最小值；

(2)將等式右邊配方后即可確定當x取何值時能取到最小值；

(3)首先得到有關(guān)x+y的關(guān)系式，根據(jù)完全平方公式將原式整理后確定最小值即可.

【詳解】(1)解：0X2-4X+15=(X-2)2+11,

團當x=2時，有最小值11；

故答案為：2,11;

(2)解：Ely=—尤？+6x—15=—(x—3)2—6,

回當x=3時有最大值-6；

故答案為：3,大，-6；

(3)解：a-x2+5x+y+10=0,

0x+y=x2-4.r-10=(x-2)2-14,

El(無一2)2NO,

0(X-2)2-14>-14,

團當x=2時，y+尤的最小值為-14.

【點睛】本題考查完全平方公式及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.例：求代數(shù)式爐+4彳-5的最小值.

222

解:x+4x-5=x+4.r+4-4-5=(x+2)-9,

V(X+2)2>0,A(X+2)2-9>-9,

當x=-2時,代數(shù)式爐+4尤-5有最小值-9,

仿照以上方法，完成下列問題：

⑴求代數(shù)式x2-3x+2023的最小值；

(2)求代數(shù)式一2/+尤+3的最大值.

【詳解】(1)解：/一3x+2023=f-3x+0+2023=(尤一￡|+2020：,

仆-。］>0,/尤-+2020->2020-1

I2jI2)44

33

.?.當％=時，代數(shù)式f_3%+2023有最小值2020-；

24

(2)一2x?+無+3=—2［尤2—g尤］+3=—21》一(1+3+［=—2［無一］］+y,

125

Ta”代數(shù)式"+"有最大值孩

2.我們已學完全平方公式：a2±2ab+b2=（.a±b）-,觀察下列式子:

x~+4x+2=(x~+4x+4)-2=(x+2)~-2,

.(x+2)2>0,.-.X2+4X+2=(X+2)2-2>-2,原式有最小值是一2；

-X2+2x_3=_(彳2_2x+1)-2=-(X-1)—2,

.~(x-1)~W0,—x2+2x—3=-(x—I)--2<—2,原式有最大值是—2；

并完成下列問題：

圍墻(大于100米)

x-------?

_________________|木屣

⑴代數(shù)式/一4尤+1有最（填大或小）值，這個值=.

⑵解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)

計一個盡可能大的花圃，如圖設(shè)長方形一邊長度為工米，完成下列任務(wù).

①用含x的式子表示花圃的面積；

②請說明當x取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？

【詳解】（1）解：X2-4X+1=（X-2）2-3,

團（無一2）2>0,

0（X-2）2-3>-3,

團代數(shù)式Y(jié)-4X+1有最小值，最小值為-3；

故答案為小，-3；

（2）解：①由圖可得花圃的面積：雙100-2工）=（-2—+100幻平方米；

②由①可知：-2/+100x=-2(x-25>+1250,

.當x=25時，100-2x=50<100,>-2(x-25)2<0,

.,.當x=25時，花圃的最大面積為1250平方米.

題型10完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用

【例題】現(xiàn)有長與寬分別為。、b的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個

圖1圖2圖3

⑴根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關(guān)于“、b的關(guān)系式：（用。、6的代數(shù)式表示出來）；

圖1表木：；圖2表示：；

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

（2）若x+y=8,x2+y2=40,貝尤；孫=；

（3）如圖3,點C是線段A3上的一點，以AC,8C為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=7,兩正方形的面積和

工+邑=16,求圖中陰影部分面積.

【詳解】（1）解：圖1中，由圖可知S大正方形=（a+4，

S組成大正方形的四部分的面積之和=。-+b?+2ab,

由題意得，S大正方形=S組成大正方形的四部分的面積之和，

即（a+%）~=4+b2+2ab,

故答案為：（。+6『=。2+廿+2。6.

圖2中，由圖可知S大正方形=（a+5）~,Sj、正方形=（。一6）2,S四個長方形=4ab,

由題圖可知,S大正方形=$小正方形+S四個長方形,

即（a+6）2=（a—Op+4ab,

故答案為：（。+6）~=（a-6y+4aZ?.

（2）解：（尤+?=x?+;/+2旬，

.■x+y=%,x2+y2=40,

...^=1(82-40)=12,

團(x-y)2=x2+y2-2孫=40-2x12=16.

故答案為：16；12.

(3)解：由題意得AB=AC+C3,

AB=7,

:.AC+CB=7,

S[+邑=16,

:.AC2+CB2=16,

(AC+BC)2=AC2+CB-+2ACCB,

AC-CB=-^AC+CB)2-(AC2+CB2)]

=3(7―6)

_33

33

OS陰影=CD.CB=AC.C8=萬.

33

即圖中陰影部分的面積為￡.

【變式訓練】

1.將完全平方公式(?！?)2=/±2"+〃進行適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學問題，例如：若。+匕=3,

ab=l,求a?+b2的值.

解:因為a+b=3,所以(a+6)2=9,Bpa1+2ab+b2=9.

又因為。6=1,所以。2+/=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

⑴若x+y=8,x2+y2=40,則沖=_；

(2)若x-y=6,xy=5,求x?+y2的值；

(3)兩個正方形ASCD、AEFG如圖擺放，面積和為34,BG=3,則圖中陰影部分面積和為.

【詳解】⑴解：.x+y=8,

/.(x+?=64,即f+2xy+y?=64,

22

又x+y=40f

2xy=64-40,

xy=12,

故答案為：12；

(2)解：團x—y=6,xy=5,

x2+y2=(x—y)2+2xy=36+2x5=46；

(3)解：設(shè)正方形ABC。的邊長為機、A￡FG的邊長為〃,

.?.m2+〃2=34,m+n=8,

m2+n2=(m+n)2—2mn,BP34=64—2mn,

mn=15,

2

(機—〃J=m+〃2_2mn=34-30=4,

m—n=2,

m+n=8,/.m—n=2,

解得：m=5,n=3,

陰影〃

S=gx(m_)XM=-x2x5=5

2

故答案為：5.

2.如圖①，正方形ABC。是由兩個長為。、寬為6的長方形和兩個邊長分別為“b的正方形拼成的.

⑴利用正方形ABCD面積的不同表示方法,直接寫出（a+6）2、/+〃、曲之間的關(guān)系式,這個關(guān)系式是

（2）若能滿足（2024-m丫+（機-2023）2=4047,請利用中的數(shù)量關(guān)系，求（2024-租）（m-2023）的值；

⑶若將正方形EFG"的邊FG、G”分別與圖①中的尸G、MG重疊，如圖②所示，己知Pb=8,NH=32,

求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）.

【詳解】（1）Ca+b）2=a2+b2+2ab

（2）設(shè)2024—m=a,m—2023=b,

貝!］（2024—m）（機一2023）=",a+b=\,

由已知得：/+/=4047

（。+6）+b"+2ab,

012=4047+2血

團公=—2023,

0（20242023）=-2023

（3）設(shè)正方形EFG”的邊長為x,則PG=x-8,NG=32-x,

0S陰=S正方衫APGM+2s長方形PBNG+S正為彩CQGN

OS陰=（無一8）2+2（X—8）（32—X）+（32—X）2

團（a+6）+2o6

El5陰=［（》-8）+（32-尤）1=242=576

強化訓練

一、單選題

1.(2023上?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考階段練習)下列算式能用平方差公式計算的是()

A.(x+y)(y+x)B.(-x-y)(-x+y)

C.(x-j)(-x+y)D.(x—y)(y-x)

【答案】B

【分析】本題主要考查了平方差公式.根據(jù)平方差公式特征，逐項判斷，即可求解.

【詳解】解：4(x+y)(y+x)=(x+y)2,不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；

B、(-x-y)(-x+y)=(x+y)(x-y),能用平方差公式計算，故本選項符合題意；

C、(x-y)(-x+y),不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；

。、(x-y)(y-x)，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；

故選：B

2.(2023上?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中)下列式子：①(x+y)2=(-x-4；②(彳_?=(y一打；③

(-%-y)(-x+y)=x2-y2,其中正確的是()

A.①②③B.只有①②C.只有②D.只有①

【答案】A

【分析】本題考查平方差公式：（4+6）（。-。）="-〃、完全平方公式：（4±32="±2"+〃，根據(jù)公式

一一判斷即可.

【詳解】解：（T-y）2=[-（x+y）『=G+y）2,故①符合題意；

（x-y）2=%2-2xy+y2,（y-x）2=y2-2xy+x2,故②符合題意；

（-x-j）（-x+y）=（-x）2-y2=x2-y2,故③符合題意；

故選：A.

3.（2023上?四川宜賓,八年級?？茧A段練習）若。+人=-3,ab=-10,則/+〃的值是（）

A.27B.28C.29D.30

【答案】C

【分析】本題考查運用完全平方公式的變形計算，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:a2+b2=（?+Z7）2-2aZ?=（-3）2-2x（-10）=29,

故選C

4.（2023上?山東濟南?七年級山東省濟南稼軒學校?？茧A段練習）若a=2023°,8=2021x2023-20222,

（>2022<Y023

c十;3x|4，則。，6,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【分析】本題考查零指數(shù)幕，平方差公式，積的乘方，先分別計算。，6,c的值，再比較即可.

【詳解】解：（7=2023°=1,

6=2021x2023-20222=（2022-1）x（2022+1）-20222=20222-1-20222=-1,

4

因為所以6<a<c,

故選:B.

5.（2023上?山東青島?八年級統(tǒng)考期中）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可

以得到一個數(shù)學等式.例如由圖1可以得到M+3必+%2=（。+%乂。+3.若已知

a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=3S,由圖2所表示的數(shù)學等式，貝!|a+b+c的值為（）

b

a

abb

11

bba

圖1

A.12D.9

【答案】B

【分析】本題考查了多項式乘以單項式與圖形的等面積，根據(jù)多項式乘以多項式與圖形的面積得出等式,

即可求解.

【詳解】解：由圖2可得(<7+Z?+c)~=合+〃+/+2ab+2"c+2ac

0a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=3S,

EI(a+6+c)2-a2+6?+c2+2"6+6c+ac)=45+2?38=121,

又Ela+6+c>0

0a+Z>+c=ll

故選為：B.

二、填空題

6.(2023上?上海楊浦?七年級統(tǒng)考期末)計算：(-x-2y)(-x+2v)=.

【答案】%2-4/

【分析】此題考查平方差公式，解題關(guān)鍵在于掌握公式的運算法則.

【詳解】A￥：(-x-2y)(-x+2j)=(-x)2-(2_y)2=x2-4y2,

故答案為：x2-4y2.

7.(2023上?重慶開州?八年級校聯(lián)考階段練習)若--(a+l)x+4是一個完全平方式，那么。=

【答案】3或-5

【分析】本題考查了完全平方公式.熟練掌握(?！?)2=片±2必+加是解題的關(guān)鍵.

由題意知，-(。+1口=±4尤，計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，X2-(a+l)x+4=x2-(a+l)x+(2)2,

0-(a+l)x=±4x,

解得，。=3或a=—5,

故答案為：3或-5.

8.(2023上?河南新鄉(xiāng)?八年級?？茧A段練習)如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為6的小正方形

(a＞垃,把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式.

b

【答案】a2-b2=(G-Z?)(a+/?)

【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵，先根

據(jù)左圖和右圖分別表示出陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等即可解答.

【詳解】解：由作圖可得：陰影部分的面積為"一/；

由右圖可得：陰影部分的面積為：；(2a+26)(a-6)=S+6)(a-6)；

所以/~b2=(4-。)(<7+萬).

故答案為J-匕2=(a-b)(a+b)

9.(2023上?黑龍江牡丹江?八年級統(tǒng)考階段練習)設(shè)6是實數(shù)，定義一種新運算；=(4-6)2.下面有

四個推斷：(1)a*b=b*a；@(a*Z?)2=a1*b1；(3)(-?)*￡>=?*(-￡>)；(4)o*(Z?+c)=a*b+a*c.其中正確推斷

的序號是.

【答案】①③/③①

【分析】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是新運算規(guī)則，對選項逐個進行判斷.

【詳解】解：a*b=(^a-by,b*a=(b-a)2=(a-Z?)2,故①正確；

=(a-b?,a2*b2=(a1-b1^=(a-Z?)2(a+Z?)2,故②錯誤；

(-a^*b=(-a-by=(a+Z?)2,a*(-6)=［a-(-b)T=(a+Z?)?,故③正確；

a*(b+c)=(a-b-c)2,a*b+a*c=(a-b^2+(a-c)2,故④錯誤；

即正確的為①③，

故答案為：①③.

10.(2023上?甘肅蘭州?七年級蘭州市第五十五中學?？奸_學考試)對于任意的代數(shù)式a,b,c,d,我們規(guī)

ab(x-y)2x

定一種新運算：jad-bc.根據(jù)這一規(guī)定，計算

ca-3y(x+y)

［答案］x2—y2+6xy

fx-y)2x-、

【分析】按照規(guī)定的運算方法把+化為(zx-H(x+y)+2x.3y，利用平方差公式計算整理即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

(x-y)2x

-3y(x+y)

=(尤-y)(x+y)+2x-3y,

=x2—y2+6xy.

故答案為：x2-y2+6xy.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，立意較新穎，讀懂規(guī)定運算的運算方法并列出算式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

H.(2023上?江蘇南通?八年級校聯(lián)考期中)計算：

(l)(4%-3y)2；

⑵(x+y+l)(x+y-1)；

(3)(2x+3y)~-(2x+y)(2x-y)；

(4)(-x2y5)-(xy)3.

【答案】⑴16尤2-24沖+9y2

(2)x2+2xy+y2-l

(3)12xy+10y2

⑷「

【分析】本題考查的是整式的混合運算.

(1)利用完全平方公式計算即可求解；

(2)先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可求解；

(3)利用完全平方公式和平方差公式計算即可求解；

(4)先乘方，再計算乘法.

【詳解】(1)解：(4x—3y『=16f-24孫+9y=

(2)解：(x+y+l)(x+y-l)

=(%+,)2T

=x2+2xy+y2-1；

(3)解：(2x+3?—(2%+y)(2x-y)

=4x2+12xy+9y2-4x2+y2

=12xy+10y2；

(4)解：(-丹5).(孫丫

=(-/打

12.(2023上?河南南陽?八年級?？茧A段練習)利用乘法公式計算下列各題

(1)(—2m—n)(2m—n)

⑵(r+3y廣

(3)1032+972

22

(4)(tZ+Z?)((2-Z?)_(Q_/?)(〃+Z?)(〃2+/)

【答案】⑴4療

(2)x2-6xy+9y2

(3)20018

(4)—2*+2/

【分析】本題考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平方差公式求解即可；

(2)利用完全平方公式求解即可；

(3)利用完全平方公式求解即可；

(4)利用平方差公式和完全平方公式求解即可.

【詳解】(1)(-2m-w)(2m-n)

二(-〃J—(2m)2

=n2—4m2;

(2)(-x+

=x2-6xy+9y2；

(3)1032+972

=(100+3)2+(100-3)2

=10000+600+9+10000-600+9

=20018；

(4)(a+0)2+〃)

=[(a+0)(a—/?)[2—(々2_人2)(〃2+人2)

=,2_〃)2_(八町

=a4-2a2b2+b4-a4+b4

=-2a2b2+2b4.

13.(2023上?四川宜賓?八年級校考階段練習)⑴已知34-4°-7=0,求代數(shù)式伽-以-⑺+外5-切-廿

的值.

(2)若x?---5,求x4H--r

XX

【答案】(1)8；(2)27

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，

(1)先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項化簡，再由3/一船-7=0得到3/一4°=7,

最后利用整體代入法求解即可；

111

(2)根據(jù)=5,才巴等式兩邊同時平方得至U—+2=25,貝U+=27.

XXX

【詳解】解：(1)(2a-l)2-(a+b)(a-b)-b2

=4a2-4Q+1-(Q?一b2)一62

=4片-4<2