江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.3圓的方程教案含解析

PAGEPAGE1§9.3圓的方程考情考向分析以考查圓的方程為主，與圓有關(guān)的軌跡問題、最值問題也是考查的熱點(diǎn)，屬中檔題．題型主要以填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，在解答題中也會出現(xiàn)．圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心為(a，b)半徑為r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F>0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)概念方法微思索1．如何確定圓的方程？其步驟是怎樣的？提示確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟：(1)依據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．(2)依據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組．(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？如何推斷？提示點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種．已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓．(×)(2)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0肯定表示圓．(×)(5)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)題組二教材改編2．[P111練習(xí)T4]圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是________．答案(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圓心坐標(biāo)為(2，－3)．3．[P111習(xí)題T1(3)]已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．答案(x－2)2＋y2＝10解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，易知eq\r(a－52＋－12)＝eq\r(a－12＋－32)，解得a＝2，∴圓心為(2,0)，半徑為eq\r(10)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝10.題組三易錯(cuò)自糾4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是________________．答案(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)解析將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圓可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).5．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案－1<a<1解析∵點(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.6．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由于圓心在第一象限且與x軸相切，可設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又圓與直線4x－3y＝0相切，∴eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.題型一圓的方程例1求經(jīng)過點(diǎn)A(－2，－4)，且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程．解方法一設(shè)圓心為C，所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∴kCB＝eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2)).∵圓C與直線l相切，∴kCB·kl＝－1，即eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－1. ①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0， ②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0. ③聯(lián)立①②③，可得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30，∴所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二設(shè)圓的圓心為C，則CB⊥l，可得CB所在直線的方程為y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0. ①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)．又kAB＝eq\f(6＋4,8＋2)＝1，∴AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0. ②由①②聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,2)，,y＝－\f(3,2).))即圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，－\f(3,2))).∴所求圓的半徑r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－8))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－6))2)＝eq\r(\f(125,2))，∴所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(11,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(125,2).思維升華(1)干脆法：干脆求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·如皋模擬)已知圓C過點(diǎn)(2，eq\r(3))，且與直線x－eq\r(3)y＋3＝0相切于點(diǎn)(0，eq\r(3))，則圓C的方程為________________．答案(x－1)2＋y2＝4解析設(shè)圓心為(a，b)，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－\r(3),a)×\f(\r(3),3)＝－1，,a－22＋b－\r(3)2＝a2＋b－\r(3)2，))解得a＝1，b＝0，則r＝2，即所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.(2)一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2eq\r(7)，則該圓的方程為______________________．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，∴設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)，又所求圓與y軸相切，∴半徑r＝3|a|，又所求圓在直線y＝x上截得的弦長為2eq\r(7)，圓心(3a，a)到直線y＝x的距離d＝eq\f(|2a|,\r(2))，∴d2＋(eq\r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法二設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線y＝x的距離為eq\f(|a－b|,\r(2))，∴r2＝eq\f(a－b2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求圓與y軸相切，∴r2＝a2， ②又∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，∴a－3b＝0， ③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法三設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).在圓的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圓與y軸相切，∴Δ＝0，則E2＝4F. ①圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直線y＝x的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知得d2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②又圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直線x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))故所求圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.題型二與圓有關(guān)的最值問題例2已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．解設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線在y軸上的截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距．由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.引申探究1．在本例的條件下，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．解eq\f(y,x)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率．2．在本例的條件下，求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．解eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(x＋12＋y－22)，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1,2)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(diǎn)(－1,2)的距離為eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1，最小值為eq\r(34)－1.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般依據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題．跟蹤訓(xùn)練2已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，其在y軸上的截距b取得最大值和最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)如圖所示，x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).題型三與圓有關(guān)的軌跡問題例3已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．解(1)方法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，依據(jù)題設(shè)條件的不同常采納以下方法：①干脆法：干脆依據(jù)題目供應(yīng)的條件列出方程．②定義法：依據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．④相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿意的關(guān)系式．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．解如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€相互平分，所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4，))又點(diǎn)N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，不符合題意，舍去，所以點(diǎn)P的軌跡為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).1．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________．答案(－2，－4)解析由題意得a2＝a＋2，a＝－1或2.當(dāng)a＝－1時(shí)方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圓心為(－2，－4)，半徑為5；當(dāng)a＝2時(shí)方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(5,4)不表示圓．2．已知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為__________．答案(0，－1)解析圓C的方程可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，所以當(dāng)k＝0時(shí)，圓C的面積最大，此時(shí)圓心C的坐標(biāo)為(0，－1)．3．若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是__________________．答案(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)解析因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)．又因?yàn)閳A與直線y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圓C的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).4．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過點(diǎn)(－2,2)的圓的方程是______________．答案(x－1)2＋(y＋2)2＝255．已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為________．答案(x＋3)2＋(y＋1)2＝16．圓心在y軸上，且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是________________．答案x2＋y2－10y＝0解析依據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.7．圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的圓的方程是________________．答案(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq\r(3)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.8．假如圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在到原點(diǎn)的距離為eq\r(2)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．答案[－3，－1]∪[1,3]解析圓(x－a)2＋(y－a)2＝8的圓心(a，a)到原點(diǎn)的距離為|eq\r(2)a|，半徑r＝2eq\r(2)，由圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面內(nèi)動點(diǎn)P到兩點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0，且λ≠1)，則動點(diǎn)P的軌跡叫做阿波羅尼斯圓，若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝eq\f(1,2)，則此阿波羅尼斯圓的方程為____________________．答案x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0解析由題意，設(shè)P(x，y)，則eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，化簡可得x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0.10．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y(tǒng)0－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.11．已知點(diǎn)P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值．解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可變形為(x－3)2＋(y－3)2＝4，則圓C的半徑為2.(1)(轉(zhuǎn)化為斜率的最值問題求解)eq\f(y,x)表示圓上的點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率，明顯當(dāng)PO(O為原點(diǎn))與圓C相切時(shí)，斜率最大或最小，如圖所示．設(shè)切線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于圓C的半徑，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值為eq\f(9－2\r(14),5).(2)(轉(zhuǎn)化為截距的最值問題求解)設(shè)x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，明顯當(dāng)動直線y＝－x＋b與圓C相切時(shí)，b取得最大值或最小值，如圖所示．由圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓C的半徑，可得eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值為6＋2eq\r(2)，最小值為6－2eq\r(2).12．已知點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，動點(diǎn)P滿意PA＝2PB.(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求QM的最小值．解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\r(x＋32＋y2)＝2eq\r(x－32＋y2).化簡可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即為所求．(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示．由題意知直線l2是此圓的切線，連結(jié)CQ，則QM＝eq\r(CQ2－CM2)＝eq\r(CQ2－16)，當(dāng)QM最小時(shí)，CQ最小，此時(shí)CQ⊥l1，CQ＝eq\f(|5＋3|,\r(2))＝4eq\r(2)，則QM的最小值為eq\r(32－16)＝4.13．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn)．記d＝PB2＋PA2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為________．答案74解析設(shè)P(x0，y0)，d＝PB2＋PA2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2.xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14．已知圓C截y軸所得的弦長為2，圓心C到直線l：x－2y＝0的距離為eq\f(\r(5),5)，且圓C被x軸分成的兩段弧長之比為3∶1，則圓C的方程為__________________________．答案(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2解析設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點(diǎn)C到x軸、y軸的距離分別為|b|，|a|.由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))故所求圓C的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.15．若圓x2＋y2＋4