2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十一章統(tǒng)計統(tǒng)計案例3第3講變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計案例新題培優(yōu)練文含解析新人教A版

PAGE1-第3講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例[基礎(chǔ)題組練]1．某商品的銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)存在線性相關(guān)關(guān)系．依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋150，則下列結(jié)論正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．若r表示y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，則r＝－5C．當(dāng)銷售價格為10元時，銷售量為100件D．當(dāng)銷售價格為10元時，銷售量為100件左右解析：選D.由回來直線方程知，y與x具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，A錯，若r表示y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，則|r|≤1，B錯．當(dāng)銷售價格為10元時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－5×10＋150＝100，即銷售量為100件左右，C錯，故選D.2．通過隨機詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，算得K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”解析：選C.依據(jù)獨立性檢驗的定義，由K2≈7.8>6.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”，故選C.3．(2024·惠州市其次次調(diào)研)某商場為了了解毛衣的月銷量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/℃171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，氣象部門預(yù)料下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為________件．解析：由題中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝38，回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，且eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，代入得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，則回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，所以當(dāng)x＝6時，y＝46.答案：464．有甲、乙兩個班級進(jìn)行一門課程的考試，依據(jù)學(xué)生考試成果優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計后，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班103545乙班73845總計177390利用列聯(lián)表的獨立性檢驗估計，則成果與班級________(填“有關(guān)”或“無關(guān)”)．解析：成果與班級有無關(guān)系，就是看隨機變量的值與臨界值2.706的大小關(guān)系．由公式得K2的觀測值k＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,17×73×45×45)≈0.653＜2.706，所以成果與班級無關(guān)．答案：無關(guān)5．(2024·高考全國卷Ⅰ)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為0.6.(2)K2＝eq\f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．6．(2024·廣州市中學(xué)綜合測試(一))某地1～10歲男童年齡xi(單位：歲)與身高的中位數(shù)yi(單位：cm)(i＝1，2，…，10)如下表：x/歲12345678910y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))5.5112.4582.503947.71566.85(1)求y關(guān)于x的線性回來方程(線性回來方程系數(shù)精確到0.01)；(2)某同學(xué)認(rèn)為y＝px2＋qx＋r更相宜作為y關(guān)于x的回來方程類型，他求得的回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3cm.與(1)中的線性回來方程比較，哪個回來方程的擬合效果更好？附：回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(566.85,82.50)≈6.871≈6.87，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝112.45－6.871×5.5≈74.66，所以y關(guān)于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.87x＋74.66.(2)若回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.87x＋74.66，當(dāng)x＝11時，eq\o(y,\s\up6(^))＝150.23.若回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.30x2＋10.17x＋68.07，當(dāng)x＝11時，y＝143.64.|143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，所以回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.30x2＋10.17x＋68.07對該地11歲男童身中學(xué)位數(shù)的擬合效果更好．[綜合題組練]1．(2024·陜西省質(zhì)量檢測(一))基于移動互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大獨創(chuàng)”之一，短時間內(nèi)就風(fēng)靡全國，帶給人們新的出行體驗．某共享單車運營公司的市場探討人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：月份2024.82024.92024.102024.112024.122024.1月份代碼x123456市場占有率y(%)111316152021(1)請在給出的坐標(biāo)紙中作出散點圖，并用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回來模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系；(2)求y關(guān)于x的線性回來方程，并預(yù)料該公司2024年2月份的市場占有率．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝17.5，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝35，eq\r(1330)≈36.5.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝；回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)作出散點圖如下．eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，所以eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝76.所以r＝＝eq\f(35,\r(17.5×76))＝eq\f(35,\r(1330))≈eq\f(35,36.5)≈0.96.所以兩變量之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，故可用線性回來模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(35,17.5)＝2，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝16－2×3.5＝9.所以y關(guān)于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9.2024年2月的月份代碼為x＝7，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝2×7＋9＝23，所以估計該公司2024年2月份的市場占有率為23%.2．(綜合型)(2024·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)料)近年來鄭州空氣污染較為嚴(yán)峻，現(xiàn)隨機抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣中PM2.5指數(shù)的檢測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：PM2.5指數(shù)[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]>300空氣質(zhì)量優(yōu)良稍微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失為S(單位：元)，PM2.5指數(shù)為x.當(dāng)x在區(qū)間[0，100]內(nèi)時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失；當(dāng)x在區(qū)間(100，300]內(nèi)時對企業(yè)造成的經(jīng)濟損失成直線模型(當(dāng)PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元，當(dāng)PM2.5指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟損失為700元)；當(dāng)PM2.5指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元．(1)試寫出S(x)的表達(dá)式；(2)試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于500元且不超過900元的概率；(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？非重度污染重度污染總計供暖季非供暖季總計100附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依題意，可得S(x)＝eq\b\lc\{(