2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破講義：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布

專題32四大分布：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、

正態(tài)分布

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一、離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)

(1)離散型隨機(jī)變量q的分布列.

表13-1

4￡42???

P

PlP1。3Pn

①8Vpt<1(1<i<n,i￡N*);

@px+p2+---pn=l.

(2)紇表示J的期望：后不邛1+^2p2+-+^p?,反應(yīng)隨機(jī)變量的平均水平，若隨機(jī)變量J,11滿足

〃=若+b，則々=aEg+b.

(3)q表示J的方差：A=值-￡J0+值-￡J22+…+(〃￡JPn'反映隨機(jī)變量4取值的波動(dòng)

性。q越小表明隨機(jī)變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機(jī)變量〃滿足/7=a&+b，則2="?。

二、幾種特殊的分布列、期望、方差

(1)兩點(diǎn)分布(又稱0,I分布)

401

P1-Pp

E.=p,D?=p(l-p).

(2)二項(xiàng)分布：若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為p(0<^<1),則在〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生上次

概率p(&=k)=c>￡(i-p)"“(左=0,1,2,…,〃)，稱《服從參數(shù)為小。的二項(xiàng)分布，記作J

?B(〃,p),E,=np,D.=p(l-p).

(3)超幾何分布：總數(shù)為N的兩類物品,其中一類為M件，從N中取〃件恰含”中的加件，

CM'N-M

m=0,l,2…,k，其中左為M與〃的較小者，P^=m）=，稱J服從參數(shù)為N,M,〃的超幾

瑪

何分布，記作J?H（N,M,n），此時(shí)有公式紇=?。

三、正態(tài)分布

”）2

（1）若X是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為/（耳=^^62M,xe&（其中〃,b

72兀-cr

是參數(shù)，且b>0,一8<〃<+001

其圖像如圖所示，有以下性質(zhì)：

①曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x=〃對(duì)稱；

②曲線在》=〃處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí)，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；

③曲線的形狀由b確定，。越大，曲線越“矮胖”，b越小,曲線越“高瘦”；

④/（X）圖像與X軸之間的面積為1.

2

（2）々=〃,D?=（y，記作J~

當(dāng)〃=O,b=l時(shí)，4服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作《?N（O,1）.

（3）J?N（〃,02），則4在（〃一b,〃+b）,（〃—2b,〃+2b）,（〃—36〃+3b）上取值的概率分

別為68.3%,95.4%,99.7%,這叫做正態(tài)分布的3b原則。

【典型例題】

例1.（2024?高三?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中尸（X=0）=g,￡（X）,D（X）分別

為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.尸（X=1）=E（X）B,￡（3X+2）=4

()

C.D(3X+2)=4D.DX<

【答案】c

12

【解析】隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P（X=O）=".?.P（X=1）=],

i7?

￡(X)=Ox_+lx_=_

v7333

D(x)=[o-|"+(12丫22

—X—二一

3J39

在A中，尸（X=1）=E（X）,故A正確；

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B正確；

2

在C中，D（3X+2）=9D（X）=9x-=2，故C錯(cuò)誤；

2

在D中，D（X）=-，故D正確.

故選：C.

例2.（2024?高三?廣東深圳?期末）一袋中裝有大小、質(zhì)地均相同的5個(gè)白球,3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任

取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（）

7811

A'15B-15C'5

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，至少含有一個(gè)黑球的概率是c?=.

故選：B.

例3.（2024湖南長(zhǎng)沙一模）若X?8100,，，則當(dāng)斤=0,1,2,...,100時(shí)（）

A.P（X=/t）WP（X=50）B,尸（X=@4P（X=32）

c.P（X=左）WP（X=33）D,P（X=k）＜P（X=49）

【答案】C

【解析】由題意得：

P（X=k）＞P（X=k-1）,

P（X=k）＞P（X=k+l）,

又左為整數(shù)，可得A=33,所以尸(X=左)V尸(X=33),

故選：C.

例4.(2024?廣東佛山?三模)高考是全國(guó)性統(tǒng)一考試，因考生體量很大，故高考成績(jī)近似服從正態(tài)分布一般

正態(tài)分布可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即若Z?,令丫/￡,則丫?NQ1),且

P(Z40)=尸]丫4yJ.已知選考物理考生總分Z的全省平均分為460分，該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差為40,現(xiàn)

從選考物理的考生中隨機(jī)抽取30名考生成績(jī)作進(jìn)一步調(diào)研，記「為這30名考生分?jǐn)?shù)超過(guò)520分的人數(shù)，則

尸(拈1)=()

參考數(shù)據(jù):若丫?N(0,l),則41.5)=0.9332,0.9332”。0.1257.

A.0.8743B.0.1257C.0.9332D.0.0668

【答案】A

【解析】根據(jù)題意尸(ZW520)=尸("52。勤460]=尺yv]§=0.9332

則考生分?jǐn)?shù)超過(guò)520分的概率尸(Z>520)=1-尸(ZV520)=0.0668

根據(jù)題意可得”3(30,00668),貝(JPQ21)=1一尸。=0)=1-0.93323°a0.8743

故選：A.

例5.(2024?山東棗莊一模)下列命題錯(cuò)誤的是()

A.若數(shù)據(jù)國(guó),如馬,…，毛的標(biāo)準(zhǔn)差為S,則數(shù)據(jù)3再,3%,3馬,,3%的標(biāo)準(zhǔn)差為35

327

B.若丫~3(4,0,。(幻=7,貝”(X=2)=菽

4IZo

C,若X~N(l,b2),P(X>0)=0.75,貝[j尸(0<X<2)=0.5

D.若X為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，則[E(X)『2￡(片)

【答案】D

【解析】數(shù)據(jù)為，X?,%3，…，X〃的標(biāo)準(zhǔn)差為s,則數(shù)據(jù)3再，3X2,3X3,…，3%的標(biāo)準(zhǔn)差為^t=35,

故A正確；

333

X?5(4,〃)，D(X)=~,貝iJ4p(l—P)=:，得Ml—夕)=/，

4416

P(X=2)=Cjp2q_p)2=6[Ml-p)[2=6xO=?，故B正確；

116/12o

X?N(l,〃)，P(X>0)=0.75,

貝I]尸(0<X<2)=2P(0<X<l)=2[P(X>0)-P(X>l)]=2x(0.75-0.5)=0.5,故C正確;

X為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，

則。(X)=￡(2)_[E(X)F20,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

例6.(2024?高二?河北唐山?階段練習(xí))甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼

續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6,乙每次投籃命中率

均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率.

⑵求第i次投籃的人是甲的概率.

(3)設(shè)隨機(jī)事件丫為甲投籃的次數(shù)，丫=。，1,2,……，〃，求E(Y).

【解析】(1)

設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為產(chǎn)，

由題意得P=0.5*0.4+0.5x0.8=0.6；

(2)由題意設(shè)匕為第〃次投籃的是甲，

貝UPn+i=0.6月+0.2(1-^,)=0AP?+0.2,

.?幾1=0.4(々_；),

又"；=：十"0,則｛?3是首項(xiàng)為:，公比為0.4的等比數(shù)列，

?,?**(/即

???第i次投籃的人是甲的概率為+(I)-1；

(3)由(2)得4=：+：x(鏟

由題意得甲第i次投籃次數(shù)匕服從兩點(diǎn)分布，且尸比=1)=1-尸(匕=0)=4,

.?.￡(￡與)=￡?)=￡4,

,當(dāng)此1時(shí)，研)=/=￡(|尸+(=~~2~d口-令]《

,=16j=]5331o53

5?H

綜上所述，￡(y)=-[l-(7)n]+T，MSN.

1oJ3

例7.(2024?高二?北京?階段練習(xí))地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)

化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將

數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70)[70,80)[80,9。[90/0q分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

驪

O405060708090100成績(jī)(分)

(1)求頻率分布直方圖中加的值；

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人，再?gòu)倪@11

人中隨機(jī)抽取3人，記J為3人中成績(jī)?cè)趹z0,90)的人數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)赱90,100]的為/等級(jí)，成績(jī)?cè)赱70,90)的為B等級(jí)，其它為C等級(jí).以樣本

估計(jì)總體，用頻率代替概率.從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求獲得5等級(jí)的人數(shù)不少于2人的

概率.

【解析】(1)由頻率和為1可得，2x0.004xl0+0,022xl0+0.03xl0+0.028xl0+10m-l

解得加=0.012.

(2)由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]的三組人數(shù)比為7:3:1,

根據(jù)分層抽樣抽取的成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]的三組人數(shù)為7,3,1,

所以4的可能取值為04，2,3.

d

P偌=。）="=森3)告C2c28

ell55

C；1

P《=2)半1尸(1)=

C^-165

Mi

所以J的分布列為

0123

562881

P

1655555165

尸/八28819

.=E(5)=—x1H----x2H------x3——

v7555516511

（3）由題意，成績(jī)?yōu)?民C等級(jí)的頻率分別為0.04,0.4,0.56,

設(shè)從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得3等級(jí)的人數(shù)為〃，

則〃服從二項(xiàng)分布〃?/3。4）,

所以獲得B等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率為尸=C；x0.42x0.6+C；x0.43=0.352

例8.（2024?陜西西安?三模）每個(gè)國(guó)家對(duì)退休年齡都有不一樣的規(guī)定,2018年開(kāi)始，我國(guó)關(guān)于延遲退休的

話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機(jī)選取100人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查

情況如下表：

年齡段（單位：歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被調(diào)查的人數(shù)101520m255

贊成的人數(shù)612n20122

（1）從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在口5,45）的概率為g,求出表格中〃？，”的值；

（2）若從年齡在［45,55）的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進(jìn)行分層抽樣，從中抽取10人參與某項(xiàng)

調(diào)查，然后再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人參加座談會(huì)，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望.

【解析】（1）因?yàn)榭偣渤槿?00人進(jìn)行調(diào)查，所以，”=100-10-15-20-25-5=25,

因?yàn)閺馁澇伞把舆t退休”的人中任選1人，其年齡在［35,45）的概率為52g=；,所以〃=13.

(2)從年齡在［45,55)中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取10x2=8人，不贊成的抽取2人，再?gòu)倪@10

人中隨機(jī)抽取4人，則隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4.

則尸(X=2)=皆■盛

?3)=生U

15，

P(X=4)=/^=]

50J

§+4工”

1535

例9.(2024?陜西西安?二模)某校組織學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，以每分鐘跳繩個(gè)數(shù)作為比賽成績(jī)(單位：個(gè)).

為了解參賽學(xué)生的比賽成績(jī)，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的比賽成績(jī)作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按比賽成

績(jī)分成[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160)，口60,180]這6組，得到的頻率分布直方圖如

o6080100120140160180比賽成績(jī)/個(gè)

(1)估計(jì)該校學(xué)生跳繩比賽成績(jī)的中位數(shù)；

(2)若跳繩比賽成績(jī)不低于140分的為優(yōu)秀，以這50名學(xué)生跳繩比賽成績(jī)的頻率作為概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中

隨機(jī)抽取3人，記被抽取的比賽成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【解析】(1)因?yàn)?0.004+0.012)x20=0.32<0.5,0.32+0.016x20=0,64>0,5,

所以該校學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)在［100,120)內(nèi)，

設(shè)該校學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)為加，則(加-100)x0.016+0.32=0.5,

解得機(jī)=111.25,即該校學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)為11L25.

(2)由頻率分布直方圖可知比賽成績(jī)優(yōu)秀的頻率為(0.002+0.008)x20=0.2,

則從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的學(xué)生比賽成績(jī)優(yōu)秀的概率是02.

由題意可知X~8(3,02),

貝［(尸(X=斤)=C;X0.2&X(1—0.2)3*=c：X0.2"x0.8號(hào)(斤=0,1,2,3),

即尸(X=0)=C；x0.2°x0.83=0.512,尸(X=1)=C；x02x0.82=0.384,

=2)=C"x0.22x0.8?=0.096,P(X=3)=x0.23x0.8?=0.008

所以X的分布列為

X0123

P0.5120.3840.0960.008

故E(X)=3x0.2=0.6.

例10.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))中醫(yī)藥學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)的瑰寶，也是打開(kāi)中華文明寶庫(kù)的鑰匙.為了調(diào)查某

地市民對(duì)中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化

的調(diào)查問(wèn)卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

31歲?40歲481396

41歲?50歲28102218

規(guī)定成績(jī)?cè)冢?,60)內(nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度低，成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高.

(1)從這100位市民中隨機(jī)抽取1人，求抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲?50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人，記X為對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高

的人數(shù)，求X的分布列和期望.

【解析】(1)由表格可知，成績(jī)?cè)冢?0,100］的人數(shù)為9+6+22+18=55,

所以，抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為亮=費(fèi).

(2)根據(jù)表格可知，41歲?50歲年齡段中，成績(jī)?cè)冢?,60)內(nèi)的人數(shù)為2+8+10=20,成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的

人數(shù)為22+18=40,

402

則隨機(jī)抽取1人,這個(gè)人是對(duì)中醫(yī)藥文化了解3高的市民的概率八而二§,了解程度低的概率

1一二型」

603

由題意可知,則X的可能取值為（M,2,3,

30

則尸(x=o)=cY>04，

2

尸(X=l)=C；x§xI

2丫14

（）；；

PX=2=Cx3J3~9

8

P(X=3)=C；x

27

故X的分布列為

X0123

1248

P

279927

1OJQ

所以x的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x萬(wàn)+lx§+2x§+3x方=2

例11.（2024?四川模擬預(yù)測(cè)）據(jù)相關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查表明我國(guó)中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項(xiàng)身體指標(biāo)（如

肺活量、柔初度、力量、速度、耐力等）自2000年起呈下降趨勢(shì)，并且下降趨勢(shì)明顯，在國(guó)家的積極干預(yù)下,

這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等多項(xiàng)指標(biāo)

出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖、近視等問(wèn)題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)

生參加中短跑鍛煉，學(xué)校在一次百米短跑測(cè)試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績(jī)（單位：秒）,

整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）.

八A_頻__率_

組距

0.18-------

0.14-------

0.06

3

O..O2

O.1

O.

.Ooio12141618202224成績(jī)/秒

(1)估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)；(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績(jī)丫~"(〃。2),其中〃近似為女生短跑平均成績(jī)鼠4

近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得$2=5.79，若從該校女生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績(jī)?cè)?11.34,20.98］內(nèi)

的人數(shù)為Y,求尸任48)(結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字).

附參考數(shù)據(jù)：標(biāo)x2.41,隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N"),則

尸(〃一b<X?//+cr)=0.6827,尸(4-2(J<X<+2cr)=0.9545,P(以一3cr<XV〃+3cr)=0.9974,

O.682710?0.0220,0.954510?0.6277,0.997410?0.9743,0.68279?0.0322,0.95459?0.6576.

【解析】(1)

估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)為：

11x0.04+13x0.12+15x0.36+17x0.28+19x0.12+21x0.06+23x0.02=16.16.

(2)由題意知》~N(16.16,5.79),〃=16.16,cr2=5.79。=7^79~2.41,

則〃-2。=11.34,〃+2。=20.98,

故該校女生短跑成績(jī)?cè)?H-34,20.98］內(nèi)的概率。=尸(〃-2b<X4〃+2b)=0.9545,

由題意可得丫~8(10,09545),

所以尸(Y=9)=C：ox0.95459x(l-0.9545)~10x0.6576x0.0455=0.299205,

P(y=lO)=C；oxO.954510~0.6277,

所以尸(y?8)=i—尸(y=9)—Ry=io)~0.073.

例12.(2024?高三?廣東湛江?期末)已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量"(單

位：g)服從正態(tài)分布N(250,/)，且P”<248)=0.1.

(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率；

(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取K(K為正整數(shù))包，記質(zhì)量在248g?252g內(nèi)的包數(shù)為x,且

O(X)>320,求K的最小值.

【解析】(1)由題意知每包牛肉干的質(zhì)量M(單位：g)服從正態(tài)分布N(250,4),且尸(M<248)=0.1,

所以尸(“2248)=1-0.1=0.9,

則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為C；x0.92x0.1=0.243.

(2)因?yàn)槭?M<248)=0.1,所以尸(248<M<252)=(0.5-0.1)x2=0.8,

依題意可得X?B(K,0.8)，所以D(X)=Kx0.8x(l-0.8)=0.16K,

因?yàn)椤?X)>320,所以0.16K>320,K>2000,

又K為正整數(shù)，所以K的最小值為2001.

例13.(2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè))目前，教師職業(yè)越來(lái)越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.

當(dāng)前,中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分，筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市2022年共有10000

名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，筆試成績(jī)4?N(60,102),只有筆試成績(jī)高于70分的學(xué)生才能進(jìn)入

面試環(huán)節(jié).

(1)從報(bào)考中小學(xué)教師資格考試的考生中隨機(jī)抽取6人，求這6人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；

321

⑵現(xiàn)有甲、乙、丙3名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為設(shè)這3名學(xué)生中通過(guò)面試的人

數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):若X?則

+乏0.6827,。(4一2。(X<//+2a)?0.9545,-3(r<X<〃+3。)a0.9973,

0.841356?0.3547,0.977256*0.8710.

【解析】(1)記“至少有一人進(jìn)入面試”為事件A,由已知得:〃=60,b=10,

所以尸(^《70)=1+尸(為；“J+0,27=0.84135,

則尸(/)=1-0.841356a1-0.3547=0.6453,

即這6人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為0.6453.

(2)X的可能取值為04,2,3,

P(X=l)=|x1221-|11

Xx-xXX—

3+1324'

391-131-|32111

P(X=2)=-x-x4--X+1X—X—

4443224'

「（『=泊K

則隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

1J_11j_

尸(X)

244244

,￡(X)=0xLlx'+2xU+3xL空

v724424412

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為

2.1

f,向右移動(dòng)的概率為］,若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置,

則P(X>0)=()

?????

-4-3-2-10123456%

.50c5217

A.-----B?謝D.——

243-I81

【答案】D

【解析】依題意，當(dāng)X>0時(shí)，X的可能取值為1,3,5,且x

所以尸（X>0）=尸（X=5）+尸代=3）+尸"=1）

43

22

故選：D.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某高三班級(jí)有校級(jí)優(yōu)秀畢業(yè)生8人，其中男生6人、女生2人，從這8人中隨機(jī)

選取2人作為班級(jí)代表發(fā)言.若選取的第一位是女生，則第二位是男生的概率為（）

3126

AB.——

,413D7

【答案】D

【解析】記事件A為“選取的2人中第一位是女生”，事件3為“選取的2人中，1男1女”，

則尸（/）=,=：，尸（"）=堂，所以尸（0/）=然=,

A84A814n句/

故選：D.

3.（2024?天津南開(kāi)一模）已知隨機(jī)變量X?N（〃,4）,￥?8（6,p），且P（XN4）=g,￡（X）=E⑺測(cè)。=

（）

1112

A-6B-4C'30-3

【答案】D

【解析】由X?N（〃,4）,以及P（X"）=g可得〃=4,

由于￡（x）=￡（y）,故6P=4,p=-,

故選：D

4.（2024?遼寧遼陽(yáng)一模）遼寧的盤(pán)錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤(pán)錦袋裝大米

的質(zhì)量加（單位：kg）服從正態(tài)分布N（25,〃），且尸（24.9<河<25.1）=0.8,若從該超市中隨機(jī)選取60

袋盤(pán)錦大米，則質(zhì)量在25kg~25.1kg的盤(pán)錦大米的袋數(shù)的方差為（）

A.14.4B,9.6C.24D.48

【答案】A

【解析】由題意知某超市銷售的盤(pán)錦袋裝大米的質(zhì)量M（單位：kg）服從正態(tài)分布N（25,4）,

且尸（24.9<M<25.1）=0.8，故P（25<Af<25.1）=；x0.8=0.4,

從該超市中隨機(jī)選取60袋盤(pán)錦大米，則質(zhì)量在25kg~25.1kg的盤(pán)錦大米的袋數(shù)X~B（60,0.4）

故￡>（X）=60x04x（1-0.4）=14.4,

故選：A

二、多選題

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P（X=0）=；,則E（X）=g

2

B.隨機(jī)變量X?8（〃,p）,若￡（X）=30,O（X）=10,則p=§

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,1）,且尸（X25）=0.1587，則尸（3<X<5）=0.8413

D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,4）,且滿足X+2F=3,則隨機(jī)變量￥服從正態(tài)分布N（0,1）

【答案】BD

122

【解析】對(duì)于A，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，由P（X=0）=§，得尸（x=l）=§,則￡（x）=1,A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B,隨機(jī)變量工~8（〃,0）,有E（X）=〃p=30,D（X）=np[1-p）=10,解得p=§,B正確；

對(duì)于C,隨機(jī)變量X~N（4,1），則尸（XW3）=尸（XN5）=0.1587,

尸（3<X<5）=1-尸（XV3）-P國(guó)25）=1-2尸>5>1-2x0.1587=0.6826,C錯(cuò)誤;

2—Y311

對(duì)于D，隨機(jī)變量X,y滿足X+2L3，則丫=丁,E（Y）=---E（X）=0,D（Y）=-D（X）=1,因此

丫?N（0,l）,D正確.

故選：BD

6.（2024遼寧?三模）若隨機(jī)變量X?8110，皆，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.尸（X=3）=m）B,期望?

C.期望E（3X+2）=22D.方差。（3X+2）=20

【答案】BCD

【解析】A選項(xiàng)：因萬(wàn)~《10,￡|,所以尸（x=3）=C：r|：i-，故A錯(cuò)誤.

220

B選項(xiàng):￡（X）=10x-=y,故B正確.

20

c選項(xiàng):E（3X+2）=3￡（X）+2=3x丁+2=22，故C正確.

2（2、2090

D選項(xiàng)：D（^）=10x-x^l--J=—,D（3X+2）=32D（^）=9x—=20,故D正確.

故選：BCD.

7.（2024浙江模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布,1001,3，則（）

A.尸(X=Q=C：ooiB.尸(X4301)=尸(X2701)

(

C.Px>￡(X))>|D.P(X=左)最大時(shí)上=500或501

【答案】AD

z[\kz[、10014

【解析】對(duì)A,尸(x=0=c；M51--

3011001

對(duì)B,因?yàn)槭?X4301)=EP(X=Q,P(X>700)=￡P(guān)(X=心目鼾⑼=C；：：；

k=0左=700

所以尸(X<301)=P{X>700),所以B錯(cuò)；

對(duì)C,因?yàn)镋(X)=:%=1001x；=500.5,

10011

所以P(X>E(X))=尸(X>500.5)=ZRX=k)F,所以c錯(cuò)；

k=5012

（A'I。?！?/p>

對(duì)D,因?yàn)槭╔"）=C盆KJ,由組合數(shù)的性質(zhì)得，尸（X=后）最大時(shí)后=500或501,所以D對(duì).

故選：AD

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品,

已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工/從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工B

從這一批產(chǎn)品中無(wú)放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,員工2抽取到

的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為乙笈=0,1,2,3.則下列判斷正確的是（）

A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B.隨機(jī)變量丫服從超幾何分布

C.P（X=k）＜P（Y=k）D,E（x）=￡（y）

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,B選項(xiàng)，由超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念可知兩個(gè)選項(xiàng)均正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，該批產(chǎn)品有河件，則E（X）=3《=雪，

9）=尹C/C;/45或二15m一1）（.一2）=竺因此口正確.

（）hClh因此D正確,

對(duì)于C選項(xiàng)，假若C正確可得E（X）＜以y）,則D錯(cuò)誤，矛盾！故C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

9.(2024?高三?山東范澤?階段練習(xí))若X~N(100,L52),則下列說(shuō)法正確的有

()

A.P(X<100)=g

B.E(X)=L5

C.尸(X<101.5)=[(X>98.5)

D,P(97<X<101.5)=P(98.5<X<103)

【答案】ACD

【解析】由丫~陽(yáng)100,1.52)，可得期望為〃=10。，方差為與=1.52,

對(duì)于A中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得尸(X<10。)=g,所以A正確；

對(duì)于B中，因?yàn)椤?100,即E(X)=100,所以B不正確；

對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得尸(X<101.5)=尸(X<98.5),所以C正確；

對(duì)于D中，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可得尸(97<X<101.5)=尸(〃-2b<X<〃+b),

且尸(98.5<X<103)=P(〃一cr<X<〃+2cr),

可得尸(97101.5)=尸(98.54￡<103),所以D正確.

故選：ACD.

10.(2024?江蘇宿遷一模)設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,l),〃x)=P(X4x),其中x>0，下列說(shuō)法正確的是()

A.變量X的方差為1,均值為0B.P(|JV|<x)=l-2/(x)

c.函數(shù)f(x)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)D./(-x)=l-/(x)

【答案】ACD

【解析】隨機(jī)變量X~N(0,l)n4=0,則A正確；

P(^<x)=P(-x<X<x)=l-2[l-f(x)]=2f(x)-l,則B錯(cuò)誤；

隨機(jī)變量X~N(0,l),結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)/'(x)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；

正態(tài)分布的曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，/'(-X)=P(X4r)=尸(X2@=1-9,則D正確，

故選：ACD.

11.（2024?新疆?二模）坐式高拉訓(xùn)練器可以鍛煉背闊肌，斜方肌下束.小明是一個(gè)健身愛(ài)好者，他發(fā)現(xiàn)健身

房?jī)?nèi)的坐式高拉訓(xùn)練器鍛煉人群的配重X（單位：kg）符合正態(tài)分布N（27.5,4）,下列說(shuō)法正確的是（）

參考數(shù)據(jù)：-o-<X<ju+a）=0.6827,-2（J<X<JLI+2CT）=0.9545,

PQz—3。<XW〃+3。）=0.9973

A.配重的平均數(shù)為4kg

B.P（23.5<X429.5）=0.8186

C.b=2

D.1000個(gè)使用該器材的人中，配重超過(guò)33.5kg的有135人

【答案】BC

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由配重X（單位：kg）符合正態(tài)分布N（27.5,4）可知，配重的平均數(shù)為27.5kg,故A

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，由配重X（單位：kg）符合正態(tài)分布N（27.5,4）可知〃=27.5,b=2,故

月（23.5<X<29.5）二尸（〃—2。<X<〃+。）

=P（〃-2cr<X<〃+2cr）-g[P（〃-2b<X<〃+2<7）-P（〃一cr<X<〃+cr）]

=0.9545-1（0.9545-0.6827）=0.8186,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，顯然正確；

對(duì)于D項(xiàng)，因尸（X>33.5）=尸（X>〃+3b）=g[l-尸（〃一3cr<X<〃+3b）]=-0.9973）=0.00135,

故1000個(gè)使用該器材的人中，酉己重超過(guò)33.5kg的約有1000x0.00135=1.35。2人,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

12.（2024?高三?江西吉安?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=0）=2。，P（X=\）=a,那

么".

【答案】|

【解析】由題意可知尸（萬(wàn)=0）+2（萬(wàn)=1）=2。+。=1,解得。=；.

故答案為：!

13.（2024?高三?全國(guó)?課后作業(yè)）袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少

7

得到I個(gè)白球的概率是3.從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期

.

3

【答案】-

【解析】設(shè)袋中白球數(shù)為〃.

設(shè)從中任摸2個(gè)球至少得到1個(gè)白球?yàn)槭录嗀，任取兩球無(wú)白球?yàn)槭录﨨,

所以尸（彳）=/=6，

解得〃=5,即袋中有5個(gè)白球.

所以離散型隨機(jī)變量X的取值可能為：0,1,2,3,

r°C31ClC25

尸（X=0）==—p（x=1）==—

□Ci3o'142，Jco3匕121

尸（、=2）=詈=,,尸（萬(wàn)=3）=1=卷,

joI』jo

14.（2024?高三?浙江?階段練習(xí)）甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比

21

賽中甲獲勝的概率為；，乙獲勝的概率為公，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率

為.

2

【答案】-/0.4

【解析】設(shè)甲獲得冠軍為事件N,比賽共進(jìn)行了3局為事件B,

則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進(jìn)行了3局，

2221212220

尸⑷=—X+—X—x+—X—x

3333333327

P（皿二八「+，」」=立

'J33333327'

8

所以加"）=常=為4

27

2

故答案為：I，

15.（2024?全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)進(jìn)行射箭訓(xùn)練，每次射擊是否中靶相互獨(dú)立，根據(jù)以往訓(xùn)練情況可知

小明射擊一次中靶的概率為;,則小明射擊3次恰好有2次中靶的概率為.

4

【答案】-

【解析】由題可知小明同學(xué)射擊3次恰好有2次中靶的概率為cjg］x：

4

故答案為：--

16.（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)）為舒緩高考?jí)毫?，射洪中學(xué)高三年級(jí)開(kāi)展了“葵花心語(yǔ)”活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)選擇

一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個(gè)人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長(zhǎng)

出三株花苗,則可評(píng)為“陽(yáng)光小組”.已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8,全年級(jí)恰好共種了500盆，則大概有一

個(gè)小組能評(píng)為“陽(yáng)光小組”.（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）

【答案】410

【解析】由題意知，每一盆至少長(zhǎng)出三株花苗包括“恰好長(zhǎng)出三株花苗”和“長(zhǎng)出四株花苗”兩種情況，

其概率為C：XoU+C：x（1-0.8）X0.G=0.8192,

即一盆花苗能被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的概率為0.8192,且被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的盆數(shù)X服從二項(xiàng)分布

y~B（500,0.8192）,

所以500盆花苗中能被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的有500x0.8192=409.6?410.

故答案為：410

17.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知某種零件的尺寸（單位：mm）在［83.8,86.2］內(nèi)的為合格品.某企業(yè)生產(chǎn)的

該種零件的尺寸X服從正態(tài)分布N（85,〃）,且尸（X<83.8）=0」，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格

品的個(gè)數(shù)為.

【答案】1600

【解析】解法一：因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(85,〃),且尸(X<83.8)=0.1,

所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率尸(83.84XW86.2)=1-2Hx<83.N=1-2x0.1=05，

所以估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為0.8x2000=1600.

解法二：因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(85,〃),且尸(X<83.8)=0.1,

所以尸(X>86.2)=0.1,

所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件不合格的概率為尸(X<83.8)+P(X>86.2)=0.2,

所以估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為(1-