北師大版 八年級數(shù)學 圖形的平移

務圖形的平華￡干

意課苛州忒

【題目】課前測試

如圖，兩個大小一樣的直角三角形重疊在一起,將其中一個三角形沿著點B到點C的方向

平移到^DEF的位置，AB=10,DH=4,平移距離為6,求陰影部分的面積.

【答案】48.

【解析】

分析：先判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積,再根據(jù)平移變化只改變圖形的位置

不改變圖形的形狀可得DE=AB,然后求出HE,根據(jù)平移的距離求出BE=6,然后利用梯形

的面積公式列式計算即可得解.

解：?兩個三角形大小一樣，

，陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，

由平移的性質得，DE=AB,BE=6,

?/AB=10,DH=4f

/.HE=DE-DH=10-4=6,

?,陰影部分的面積(6+10)x6=48.

【總結】本題考查了平移的性質，對應點連線的長度等于平移距離，平移變化只改變圖形

的位置不改變圖形的形狀，熟記各性質并判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積是解

題的關鍵.

【難度】3

【題目】課前測試

在平面直角坐標系中，已知線段AB的兩個端點分別是將線段

AB平移后得到線段A'B',若點A'的坐標為(-2,2)，則點B'的坐標為.

【答案】(-5,4).

【解析】

分析：比較A(4,-1)與A'(-2,2)的橫坐標、縱坐標，可知平移后橫坐標減6,縱坐

標加3,由于點A、B平移規(guī)律相同，坐標變化也相同，即可得B，的坐標.

解：由于圖形平移過程中，對應點的平移規(guī)律相同，

由點A到點A'可知，點的橫坐標減6,縱坐標加3,

故點B’的坐標為(1-6,1+3),即(-5,4).

故答案為：(-5,4).

【總結】本題考查圖形的平移變換，關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時

點的橫坐標不變，平移變換是中考的常考點.比較對應點的坐標變化，尋找變化規(guī)律，并把

變化規(guī)律運用到其它對應點上.

【難度】4

覆如正史代

適用范圍：北師大版，初二年級，成績中等以及中等以上

知識點概述：通過本次課的學習，要求學生了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移

后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系和性質，能用平移變換有關知識說明一些簡單問題

及進行圖形設計.

適用對象：成績中等以及中等以上

注意事項：學生主要想聽平移的性質及平移作圖

重點選講：

i①平移的性質

;?

②坐標與圖形變化一平移

?_③_平_移_作_圖_及_其_應用____________________.

舂如識林理

◎如衣楨理1:平將由定義

「。概念

在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移.

(1)圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離.

(2)圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.

@如需核捏2：

二@'-平移的性質

圖形的平移實質上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小,

具體來說：

(1)平移后，對應線段平行且相等;

(2)平移后,對應角相等；

(3)平移后，對應點所連線段平行且相等；

(4)平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.

(1)"連接各組對應點的線段"的線段的長度實際上就是平移的距離.

(2)要注意"連接各組對應點的線段”與"對應線段”的區(qū)別，前者是通

過連接平移前后的對應點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上

本身存在的.

@如需核捏3：

平移作圖

平移作圖是平移基本性質的應用，在具體作圖時,應抓住作圖的“四步曲"一定、找、移、連.

(1)定：確定平移的方向和距離；

(2)找：找出表示圖形的關鍵點；

(3)移：過關鍵點作平行且相等的線段，得到關鍵點的對應點；

(4)連：按原圖形順次連接對應點.

用功中…

俐髓醇餅

【題目】型1:平移的性質

如圖桌面內(nèi)直線I上擺放著兩塊大小相同的直角三角板，它們中較大銳角的度數(shù)為60°將

△ECD沿直線I向左平移到圖的位置，使E點落在AB上，即點E',點P為AC與E'D的交

點.

(1)求/CPD，的度數(shù);

(2)求證：ABJLE'D'.

【答案】(1)60°;(2)AB±E,D,.

【解析】

分析：（1）由平移的性質知，DEliD'E',利用兩直線平行,同位角相等得/CPD'=4ED,

故可求出NCPD',

（2）由平移的性質知，CEllC'E',NCED=NC'E'D',利用兩直線平行，同位角相等得NBEC'

=zBAC,故可求出NBE，D'=90°,故結論可證.

解：（1）由平移的性質知，DEliD'E',

.?.zCPD=zCED=60°;

(2)由平移的性質知，CEllCE\zCED=zC'E,D'=60\

.*.zBE*C=zBAC=30o,

.../BE'D'=90°

...AB_LE'D'.

【總結】主要考查了平移的性質和平行線的性質.需要注意的是：平移前后圖形的大小、形

狀都不改變.

【難度】3

【題目】鑿

型1變式練習1:平移的性I

如圖，直角GABC中，AC=3,BC=4,AB=5，則內(nèi)部五個小直角三角形的周長為

C

A

【答案】12.

【解析】

分析：由圖形可知，內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個小直角

三角形的周長為大直角三角形的周長.

解：由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，

故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為AC+BC+AB=12.

故答案為：12.

【總結】本題主要考查了三移的性質，需要注意的是:平移前后圖形的大小、形狀都不改變.

【難度】4

題型1變式練習2:平移的性質

如圖，已知：長方形ABCD中，AB=10cm,BC=6cm,試問將長方形ABCD沿著BC方向

平移多少才能夠使平移后的長方形與原來的長方形ABCD重疊部分的面積為20cm2?

??

-----------

【答案】4cm.

【解析】

分析：設線段AE=x,則ED=AD-AE=6-x,因為BC=6,所以矩形EFCD的面積為ED-

AB=20cm2,就可以列出方程，解方程即可.

解：設AE=x,根據(jù)題意列出方程：10(6-x)=20,

解得x=4,

?.A的對應點為E,二?平移距離為AE的長,

故向下平移4cm.

【總結】本題綜合考查了平移的性質和一元一次方程的應用，關鍵是扣住矩形EFCD的面積

為20cm2,運用方程思想求解

【難度】3

【題目】題型2:坐標與圖形變化一平移

如圖所示，點A的坐標為A(0,a)，將點A向右平移b個單位得到點B,其中a,b滿

g:(3a-2b)2+|a+b-5|=0.

(1)求點B的坐標并求。AOB的面積S.AOB；

(2)在x軸上是否存在一點D,使得S，AOB=2S，AOD?若存在,求出D點的坐標;若不存

在，說明理由.

33

【答案】(1)B(3,2),3;(2)D為(?右0)或(右0).

【解析】

分析：(1)根據(jù)非負數(shù)的性質求得a,b即可；

(2)設D(x,0)，根據(jù)S，AOB=2SAAOD即可求得x的長，進而求得D的坐標.

解：(1)*/(3a-2b)2+|a+b-5|=0,

3a-2b=0

a+b-5=0

解得：《a=3

b=2z

???B(3,2);

S^AOB=-^-X2X(3-0)=3;

(2)設D(x,O),

,?'S^AOB=2S^AOD,

/.2x-^-x2|x|=3,

解得:x=_"If或微，

33

D為（譚，0）或（￡,0）.

乙乙

【總結】本題主要考查了點的坐標的平移，非負數(shù)的性質三角形的面積公式，能夠分類求解

是解題的關鍵.

【難度】4

【題目】題型2變式練習1:坐標與圖形變化一平移

如圖所示，在平面直角坐標系中，"魚"的每個"頂點"都在小正方形的頂點處，點A為

"魚"的T頂點，將"魚"向右平移3個單位長度，再向下平移6個單位長度，則平移后

點A的坐標為

【答案】（-1,0）.

【解析】

分析：根據(jù)橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得答案.

解：由圖可知，點A的坐標為(-4,6).

?「A為"魚"的一個頂點，將"魚"向右平移3個單位長度，再向下平移6個單位長度,

.??平移后點A的坐標為(-4+3,6-6)，即(-1,0).

故答案為(-1,0).

【總結】本題考查了坐標系中點、圖形的平移規(guī)律，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖

形上某點的平移相同.平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下

移減.

【難度】3

【題目】題型2變式練習2:坐標與圖形變化一平移

在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別為A(1,0)、B(5,0)、C[3,

3),0(2,4).

(1)求：四邊形ABCD的面積.

(2)如果把四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向下平移1個單位得四邊形ABCD',

求A',B',C,D’點坐標.

【答案】(1)苛；(2)AJ(-2,-1),B,(2,-1),0(0,2),D?(-1,3).

【解析】

分析：(1)過C、D向x軸作垂線,四邊形ABCD的面積分割為過D、C兩點的直隹三角

形和直角梯形，即可得到四邊形ABCD的面積；

(2)依據(jù)四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向下平移1個單位得四邊形A'B'C'D',可

得平移后，各頂點的橫坐標減小3,縱坐標減小1.

解：(1)如圖，過D作DE_Lx軸，垂足為E,過C作CFJ_x軸，垂足為F,

--S四邊形ABCD=S&ADE+S四邊形DEFC+S&CFB

1.S.-.ADE=-^-X1x4=2,

17

S四邊形DEFC=,(3+4)xl=—,

S..CFB="^X2X3=3,

乙

717

?-S四邊形ABCD=2+~^+3=-^-;

(2)由題可得，四邊形ABCD先向左平移3個單位，走向下平移1個單位得四邊形ABC'

D',

???平移后，各頂點的橫坐標減小3,縱坐標減小1,

?「A(1,0)、B(5,0)、C(3,3),D(2,4),

.A(?2,?1),B(2,?1),C'(0,2),D'(-1,3)?

【總結】本題主要考查了坐標與平移變換，解題時注意：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，

上移加，下移減.解決問題的關鍵是把所求四邊形的面積分為容易算面積的直角梯形和直角

三角形.

【難度】4

【題目】題型3:平移作圖

如圖，平面直角坐標系中，已知點A(?3,3),B(-5Z1),C(?2,0),P(a,b)

是&ABC的邊AC上任意一點一ABC經(jīng)過平移后得至!)MiBiJ，點P的對應點為Pi(a+6,

b-2).

(1)在圖中畫出平移后三角形AiBiJ;

(2)畫出“XOAi并求出SOAi的面積.

(2)6.

【解析】

分析：(1)順次連接各頂點即可得；

（2）利用割補法求解可得.

解：（l）SiBiCi如圖所示，

(2)AAOAI的面積=6x3-1x3x3-1x3xl-\x2x6

乙乙乙

=18-4.5-1.5-6

=6.

【總結】本題考查了作圖-平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移

距離.作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確四寸應

點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形.

【難度】4

【題目】題型3變式練習1:平移作圉

欣賞下列商標圖案，其中利用平移來設計的有（填序號）.

【答案】②④.

【解析】

分析：根據(jù)平移的性質進行解答即可.

解：①是利用軸對稱設計的；②、④是利用平移；③是利用旋轉設計的.

故答案為：②④.

【總結】本題考查的是利用平移設計圖案，熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵.

【難度】3

【題目】題型3變式練習2:平移作圖

如圖，經(jīng)過平移，SBC的邊AB移到了EF,作出平移后的三角形.

【解析】

分析：連接AE,BF,過C作CD平彳丹AE,蹦CD=AE,再連接FD、ED即可.

解：如圖所示：

△EFD為平移后的三角形.

【總結】此題主要考查了作圖--平移變換，作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個

關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形.

【難度】3

【題目】題型3變式練習3:平移作圖

如圖，把邊長為3的正方形，按下圖①?④的方式進行變換后拼成圖⑤，則圖⑤的面積等

于

囚育O盼O

①②③④

【答案】36.

【解析】

分析：根據(jù)平移的性質得出變換后圖形面積沒有發(fā)生變化，進而利用圖⑤的面積是由4個基

本圖形組成，進而得出答案.

解：?.邊長為3的正方形面積是9,

圖①?④的方式進行變換后圖形面積沒有發(fā)生變化，

.??圖⑤的面積等于：4x9=36.

故答案為：36.

【總結】此題主要考查了平移變換的性質以及正方形面積求法，得出新圖形的組成情況是解

題關鍵.

【難度】3

【題目】興趣篇1

如圖，直線ABilCD,zB=zD=120°,E,FSAB±,Szl=z2,z3=z4

(l)^iiE:ADllBC;

(2)求/ACE的度數(shù)；

(3)若平行移動AD,那么/CAF:zCFE的值是否發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求

出其變化范圍；若不變，求出這個比值.

【答案】(l)ADllBC;(2)30°;(3)不變，卷.

【解析】

分析：(1)根據(jù)平彳強的性質推出/B+/BCD=180°,由/B=/D證得/D+/BCD=180°,

根據(jù)平行線的判定即可證得結論；

(2)根據(jù)平彳讖的■推出NB+NBCD=180°,由NB=/D=120°得至IJ/BCD=60°,由/1=

z2,z3=z4得至IJ/ACE二卷(zl+z2+z3+z4)二卷/BCD,代入數(shù)值即可求得結論；

乙乙

(3)根據(jù)平行線的性質證得/CAF=Nl,zCFE=zl+z2=2zl，代入即可求出結論.

解：(l)=ABllCD,

.-.zB+zBCD=180°,

vzB=zD=120°,

/.zBCD=60°,且ND+/BCD=180°,

/.ADllBC,

(2)\zl=z2,z3=z4,

/.zACE=z2+z3=-^(zl+z2)(z3+z4)(zl+z2+z3+z4)=之/BCD耳x

乙乙乙乙乙

60。=30°;

(3)不變.

,/ABllCD,

/.zCAF=zl,zCFE=zl+z2,

/.zCAF:zCFE=zl:(zl+z2)=zl:2zl=-^-,

乙

即這兩個角的比值是2.

【總結】本題考查的是平行線的性質和判定，角平分線的定義，熟記各性質并準確識圖理清

圖中各角度之間的關系是解題的關鍵.

【難度】4

【題目】興趣篇2

在平面直角坐標系中，如果橫坐標與縱坐標都是整數(shù)，我們把這樣的點稱為整點，已知(a,

b)是整點，且在第二象限,已知點P(2a-5,3b-6)先向右平移10個單位，再向下平

移2個單位，得到點Q,點Q在第四象限.則這樣的整點有幾個？

【答案】4個.

【解析】

分析：先根據(jù)"左加右減,上加下減"的平移規(guī)律求出點Q的坐標為(2a+5,3b-8),

再由(a,b)在第二象限，點Q在第四象限，得到?2.5<a<0,0<b<2-^,

又a,b都是整數(shù)，確定-2,-1,b=l,2,進而求出點Q的坐標.

解：?.點P(2a-5,3b-6)先向右平移10個單位，再向下平移2個單位，得到點Q,

.?點Q的坐標為(2a+5,3b-8),

???(a,b)在第二象限，點Q在第四象限,

fa<0fb>0

“2a+5>01[3b-8<0'

2

-2.5<a<0,0<b<2-^-,

/a,b都是整數(shù)，

/.a=-2,-1,b=l,2,

???a二?2,b=l時，點Q的坐標為(1,?5);

a=-2,b=2時，點Q的坐標為(l,-2);

a二-l,b=l時，點Q的坐標為(3,-5);

a二-l,b=2時，點Q的坐標為(3,-2);

故這樣的整點有4個.

【總結】此題考查了坐標與圖形變化?平移，掌握平移口點的變化規(guī)律：橫坐標右移加，左

移減；縱坐標上移加，下移減是解題的關鍵.也考查了平面直角坐標系中各象限內(nèi)點的坐標

特征以及一元一次不等式組的解法.

【難度】4

【題目】備選試題1

圖形在平移時，下列特征中不發(fā)生改變的有