2022年廣東省廣州市海珠區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2022學(xué)年第二學(xué)期九年級

數(shù)學(xué)綜合練習(xí)

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共三大題25小題，共4頁，滿分120分，考試時(shí)間120

分鐘，不可以使用計(jì)算器.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡第1面、第3面、第5面上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自

己的學(xué)校、班級、姓名、座位號、考號；再用2B鉛筆把對應(yīng)號碼的標(biāo)號涂黑.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖.答案

必須寫在答題卡各題指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上

新的答案；改動的答案也不能超出指定的區(qū)域.不準(zhǔn)使用鉛筆、圓珠筆和涂改液，不按以上

要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（共10小題；共30分）

1.5的相反數(shù)是（）

A.-2B.2C.--D.!

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0即可求解.

【洋解】解：因?yàn)?3+3=0，

所以4的相反數(shù)是1

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考杳求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.《新華字典》是新中國最有影響力的現(xiàn)代漢語字典，《新華字典》自1950年開始啟動編寫和出版工作,

至今已歷經(jīng)7（）余年，出版至第12版，從1953年版本收錄單字6840個(gè)（含異體字），到12版收錄13000

字，收字?jǐn)?shù)增加了將近一倍，將“13000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.13X104B.1.3x106C.1.3x10"D.13x103

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法定義即可得.

【詳解】解：13000=1.3x1（）4,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個(gè)數(shù)表示成4X10”的形式，其中

14M<10,〃為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵.確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成

。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.79=±3B./+/=/C.|3.14-用=0D.應(yīng)+右=石

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)尋除法，二次根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的計(jì)算法則和二次根式的加法計(jì)算法則求解判斷即可.

【詳解】解：A、而=3,原式計(jì)算錯誤，不符合題意；

B、/+/=/,原式計(jì)算正確，符合題意;

C、|3.14-吊=萬一3.14,原式干算錯誤，不符合題意；

D、血與百不是同類二次根式，不能合并，原式計(jì)算錯誤，不符合題意;

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)需除法，化簡二次根式，二次根式的加法，實(shí)數(shù)的計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法

則是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在矩形A8C。中，對角線AC,BD交于點(diǎn)、O,已知N8OC=120。，A8=3,則AC的長為

C.2GD.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NQ3C=NOCB=30。，NABC=90。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得

AC=2AB=6.

【詳解】解：丁四邊形ABC。矩形，

:.OB=OC,

???/OBC=/OCB,

??,ZBOC=120°,

???Z4CB=30°,

又1?ZABC=90。，A3=3,

AC=2AB=6?

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練矩形的性質(zhì)得到NQBC=NOCB,

ZA3C=90。是解題的關(guān)鍵.

5.4。是RtZVlBC的角平分線，若AB=4,30=3,則點(diǎn)。到AC距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示，過點(diǎn)。作4c于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。七=04=3即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)。作力石工4c于E,

???4加是RtZ\ABC的角平分線，DBA.AB,DEA.AC,

:.DE=DB=3,

???點(diǎn)。到4c距離為3,

故選A.

B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，熟知角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A可以用實(shí)數(shù)4表示，下面式子成立的是（）

II?II.

-2-101"

A.同>1B.|t7-l|=t7-iC.。+1>0D.-i<1

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得到一據(jù)此逐一判斷即可.

【詳解】解：由題意得，一1<々<0,

/.|cz|<1,67—1<0>6Z+1>0?-<-1,

A\a-]\=\-a,>1,

a

???四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)式子成立，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，不等式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

7.某校為了了解本校學(xué)生課外閱讀的情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了調(diào)

查，并繪制出如下統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)相關(guān)信息，下列有關(guān)課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的選項(xiàng)中，錯誤的是

B.中位數(shù)是6小時(shí)

C.眾數(shù)是5小時(shí)D.平均數(shù)是5.825小時(shí)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所給的數(shù)據(jù)求出樣本容量，中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：A、本次抽取共調(diào)查了6+14+8+5+7=40個(gè)學(xué)生，原說法正確，不符合題意：

B、將閱讀時(shí)間從低到高排列，處在第20名和第21名的閱讀時(shí)間分別為5小時(shí)，6小時(shí)，則中位數(shù)是

*5.5小時(shí),原說法錯誤，符合題意;

C、閱讀時(shí)間為5小時(shí)的人數(shù)為14人，人數(shù)最多，即眾數(shù)為5小時(shí)，原說法正確，不符合題意;

4x6+14x5+8x6+5x7+7x8

D、平均數(shù)是=5.825小時(shí),原說法正確,不符合題意;

40

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了樣本容量，中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵.

8.若點(diǎn)B(M%),C(g,)，3)在反比例函數(shù)的圖象>上，則,、出、%的大小關(guān)系是

X

()

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的解析式確定函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)，且y隨x的增大而減小，據(jù)

此判斷即可.

4

【詳解】解：??,》二一中4>0,

x

???反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)，且y隨X的增大而減小，

???點(diǎn)4(—l,y),/?(￡%)，在反比例函數(shù)的圖象)'=&上，且-l<Ov也<J5，

???，

故選:D.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確理解反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.《九章算術(shù)》中有一道題的條件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思

是：有大小兩種盛米的桶，5大椎加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，求1個(gè)

大桶和1個(gè)小桶分別可以盛多少斛米？設(shè)1個(gè)大桶盛x斛米，1個(gè)小桶盛了斛米.可列方程組()

5x+y=3Jx+5y=3J5x+3y=13x+y=5

x+5y=215x+y=2x+2y=52x+5y=1

【JA

【解析】

【分析】設(shè)1個(gè)大桶可以盛米”加LI個(gè)小桶可以盛米)?斛，根據(jù)“5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛米3角斗,

1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛米2斛”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組.

詳解】解：設(shè)1個(gè)大桶可以盛米x斛，1個(gè)小桶可以盛米,，斛，

5x+^=3

根據(jù)題意得:

x+5y=2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于X、)，的二元一次方程組是

解題的關(guān)鍵.

io.已知二次函數(shù))，=紈2+公+。，>與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示.下列結(jié)論：①

abc>0；當(dāng)②一2avl時(shí)，y>0；③4a+2/?+c>0；④關(guān)于x的一元二次方程

ad+Z?x+c+3=0（。H0）的解是％=-3,x2=\.其中正確的有（）

X???-3-2-10???

y???-3010???

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】觀察圖表可知，開口向下，a<0,二次函數(shù))，=a?+瓜+。在工=-2與x=0時(shí)，)'值相等，得出

對稱軸為直線式二一1,即可得出Z?<0,在根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),得出。=0由此判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的

對稱性求得拋物線與x軸的交點(diǎn)，即可判斷②；根據(jù)x=2,)Y。即可判斷③；根據(jù)拋物線的對稱性求得點(diǎn)

(-3,-3)關(guān)于直線4一1的對稱點(diǎn)是(1,-3),即可判斷④.

【詳解】解：①由表格可知：二次函數(shù))，=依2+公+。有最大值，

/.〃<0,開口向下，

「對稱軸為直線x=—=1(—2+0)=-1,

2a2

.二〃<0,

圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),

c=0>

:.阪=(),故①說法錯誤；

②對稱軸為直線尸-1,

???點(diǎn)（0,0）關(guān)于直線廣一1的對稱點(diǎn)為（-2,0）,

???〃vO,開口向下，

..?當(dāng)—2vxv0時(shí)，y>0,當(dāng)0<xvl時(shí)，y<0,故②說法錯誤：

③由對稱性可得：當(dāng)x=2時(shí)，y<0,

.\4a+2b+c<0,故③說法錯誤；

④點(diǎn)（-3,-3）關(guān)于直線廠一1的對稱點(diǎn)是（1,一3）,

?'?關(guān)于x的一元二次方程ad+bx+c+3=0（。W0）,即or?+/”+c=-3（。￥0）的解是-V）=-3,x2=1,故

④說法正確.

即正確的說法有1個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛］本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中.通過觀察圖表得出對稱軸為直線4-1是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共6小題；共18分）

11.分解因式3工一6=.

【答案】3（x-2）

【解析】

【分析】直接提取公因數(shù)3進(jìn)行分解因式即可.

【詳解】解：3x-6=3（x-2）,

故答案為：3（x-2）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

12.已知：如圖，點(diǎn)。在邊A8上，若/!=/____時(shí)，則V4）C:NACB.

【發(fā)】B

【解析】

【分析】根據(jù)相似二角形的判定條件求解即可.

【詳解】解：當(dāng)N1=N8時(shí)，VAOC:YACB,理由如下,

VZ4=ZA>Nl=/B，

AVADC:YACB，

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，把一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若/1=38。，則N2=.

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等可得到N3=N1=38。，再利用N2與N3互余關(guān)系即可求出N2.

【詳解】解：如圖所示，

直尺兩邊互相平行，

.-.Z3=Z1=38°,

?/Z3+Z2=180°-90°=90°,

Z2=90°-Z3=90。-38°=52。，

故答案為:52°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，互余角關(guān)系，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

14.若關(guān)于X的一元二次方程（。一1）/一以+。2=0的一個(gè)根為1.則〃=.

【答案】-1

【解析】

【分析［根據(jù)一元二次方程的定義及根的意義，得到片一1=0,根據(jù)題意求解即可.

【詳解】解：將X=1代入（。一1卜2—公+/=0得

（〃一1）-4+4“=0,整理得“2一1二0，

解得4=1或〃=-1

當(dāng)4=1時(shí)，原方程二次項(xiàng)系數(shù)為零，不滿足題意,

故答案為：-1

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

15.若直線），=2x和），二丘一2化<0）相交于點(diǎn)Q（-3,?。?，則關(guān)于x的不等式（2-攵）工<一2的解集

是_______.

【答案】x<-3##-3>x

【解析】

4

【分析】先把Q（—3,〃?）代入函數(shù)），=2x中求出。（-3,-6）,進(jìn)而求出女二］，然后解不等式即可.

【詳解】解：???直線y=2x和y=米一2（&<0）相交于點(diǎn)。（一3,團(tuán)），

m——6，

Q（—3,—6）,

把2（-3,-6）代入y=依一2（攵<。）中得—3Z—2=-6,

4

解得出二二，

3

/.（2—%）x<—2即為（2——x<—2,

解得xv—3,

故答案為：xv—3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解一元一次不等式，正確求出女的值是解題的關(guān)

鍵.

16.如圖，點(diǎn)。為等邊三角形ABC邊3C上一動點(diǎn)，A6=4,連接A3，以AO為邊作正方形

ADEF，連接C石、C77,則當(dāng)BO=時(shí)，尸的面積為最小值________.

【答案】①.2-G--25/3

2

【解析】

【分析】設(shè)CD=4-x,根據(jù)勾股定理用含“代數(shù)式表示出正方形AO石廠的面積，利用面積關(guān)

系表示出關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出△廠的面積最小值.

S?VCCEFCA/iDLxECF-S?4/IVI°.-*CE

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AHJ_8C垂足為點(diǎn)”，

??zABC是等邊三角形，A3=4,

/.BH=HC=—BC=—AB=2,AH=AB-sin60°=4x—=2>/3,

222

設(shè)8O=x,則O”=2—x,CQ=4—x,

S正方形=AD?=DH2+AH2=(2—+(26『=X2-4X+16,

1

X

S=-CDAH-2V3X(4-X)=4A/3-5/3X,

ACD22

如圖，在正方形AOE廠中，AD=DE=EF=AF，過點(diǎn)。作A尸的垂線，交A廠于點(diǎn)用，交DE于

點(diǎn)N,

vAF||Z)E,MN工AF,

:.MN工DE,

???四邊形ADNM為矩形，MN=AD=DE=EF=AF,

S八6+SDCF=-AFMC+-DECN=-DE(MC+CN)=-DEMN=-DE2=-Sf方開，

.atr?Lztc2°2、，222"?力加從"上廣

=

ADC+SEFCaS正方形AOEF?

S.CEF=1S正方形人由-S"=-4x+16）一（46-gx）=_僅-G）式+8-4右,

乙乙乙

當(dāng)上=2—6時(shí)，S..的面積最小為J（2-百了一（2-6『+8-4月=5一2百，

Or-

故答案為：2-6?—2V3

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)求最值的應(yīng)用，等邊三角形性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，正方形性質(zhì)等知

識，適當(dāng)添加輔助線，采用數(shù)形結(jié)合并根據(jù)面積關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

三、解答題（共7小題；共72分）

x-3<2

17.解不等式組:

l-2x<3

【答案】—1<x<5

【解析】

【分析】分別解不等式，即可得到不等式組的解集.

工-3<2①

【詳解】解:

1—2x43②

解不等式①，得x<5；

解不等式②，得了之一1,

???不等式組的解集為一l〈xv5.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式的解法及不等式組解集的確定法則:

同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了，是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，C。中，AB=CD,求證：AA8E也△DCE.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到NA=NQ，再根據(jù)AAS證明AABEg△力CE即可.

【詳解】解：???BC=BC，

??ZA=ND，

乂TAB=CD,ZAEB=/DEC,

???AABE^ADCE(AAS).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，同弧所對的圓周角相等，推出NA=NO是解題的關(guān)鍵.

a+ba2-b2

19.已知：M=

2/b-2ab~a2-2ab+b~

（1）化簡M：

（2）如圖，。、〃分別為圓錐的底面半徑和母線的長度，若圓錐側(cè)面積為24兀，求M的值.

【答案】（1）——

2ab

⑵—

48

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行化簡即可得；

（2）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得打?的值，代入計(jì)算即可得.

【小問I詳解】

a+b

解：M=

2a2ba2-2ab+b2

_a+b(a+〃)(4-Z7)

2ab(a-b)(a-b)2

_a+b(a-b)~

lab(a-b)+

1

lab

【小問2詳解】

解：圓錐側(cè)面積為24兀，

-x271ab=24兀,

解得c心一24,

11

則M=

2x2448

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值、圓錐的側(cè)面枳，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和圓錐的側(cè)面積公式是解

題關(guān)鍵.

20.梅雨季節(jié)來臨，某電器店開始銷售A、4兩種型號的便攜式小型除濕器，3型除濕器每臺價(jià)格是A型除

濕濟(jì)的1.5倍.銷售若干周后，A型除濕器總銷售額為200(X)元，8型除濕器銷售額為45000元，其中B型

除濕器比A型除濕器多銷售50臺.求A蟄號的除濕器每臺價(jià)格是多少元？

【答案】200

【解析】

【分析】設(shè)A型號的除濕器每臺價(jià)格為x元，則B型除濕器每臺價(jià)格是1.5x元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的分

式方程，進(jìn)行求解檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：設(shè)A型號的除濕器每臺價(jià)格為工元，則4型除濕器每臺價(jià)格是1.5x元,

4500020000。

由題意可得:---------------=>0,

1.5xx

解得：工=200,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原方程的解，且符合題意，

答：A型號的除濕器每臺價(jià)格為2(X)元.

【點(diǎn)睹】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，明確題意列方程是解題的關(guān)鍵.

21.為鍛煉學(xué)生的社會實(shí)踐能力，某校開展五項(xiàng)社會實(shí)踐活動，要求每名學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)必須且只能參

加其中一項(xiàng)活動，該校從全體學(xué)生中調(diào)查他們參加活動的意向，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如下兩幅不

完整的統(tǒng)計(jì)圖(五個(gè)綜合實(shí)踐活動分別用A,B,C,D,￡■表示)：

各項(xiàng)活動意向參加人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖各項(xiàng)活動意向參加人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖

(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的〃％=%,8項(xiàng)活動所在扇形的員優(yōu)'角的大小是。.

(2)甲同學(xué)想?yún)⒓覣、8、。三個(gè)活動中的一個(gè)，乙同學(xué)想?yún)⒓?、C、E這三個(gè)活動中的一個(gè)，若他

們隨機(jī)抽選其中一個(gè)活動的概率相同，請用列表法或畫樹狀圖法，求他們同時(shí)選中同一個(gè)活動的概率.

【答案】(1)15,72

【解析】

【分析】（1）用4活動的人數(shù)除以其人數(shù)占比求出參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出B活動的人數(shù)占比，再求

出C活動的人數(shù)占比和4活動的圓心角度數(shù)即可得到答案；

（2）先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到他們選擇同一活動的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解

即可.

【小問1詳解】

解：210?10%=2100人，

???這次參與調(diào)查的人數(shù)為2100人，

???B活動的人數(shù)占比為至上x100%=20%,

2100

:.C活動的人數(shù)占比〃％=1-10%-20%-25%-30%=15%；

36（Tx2O%=72c,

???8項(xiàng)活動所在扇形的圓心角的大小是72。；

故答案為：15,72；

【小問2詳解】

???他們同時(shí)選中同一個(gè)活動的概率為高.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)

計(jì)圖和列出表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，［ABO中，A（0,4）,B（-3,0）,AB繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與BC重合，點(diǎn)。在x軸匕連接

m

AC,若反比例函數(shù)丁二一與直線AC僅有一個(gè)公共點(diǎn)石

x

m

(1)求直線4C和反比例函數(shù)y=—的解析式；

x

(2)把"CB沿直線AC翻折到「AC。，4。與反比例函數(shù)交于點(diǎn)尸，求上月CD的面積.

2

【答案】(1)直線4c解析式為y=-2x+4,反比例函數(shù)解析式為)，二一

x

(2)9

【解析】

【分析】(1)先利用勾股定理求出4B=5,進(jìn)而利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=AB=5,則。(2,0),再利用

待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，聯(lián)立宜線AC的解析式和反比例函數(shù)解析式得到的一元二次方程只有

一個(gè)實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可；

(19

(2)先由折疊的性質(zhì)證明四邊形A8CQ是菱形，得到求出尸-4,得到=一，則

(2)2

19

XX49

SMCD=_DF,OA---

LhrLU222

【小問1詳解】

解：???4（0,4）,B（-3,0）,

??.OA=4,08=3,

???,48=75^7^二5.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=AB=5,

又二?點(diǎn)。在x軸上，

???0C=2,

???C（2,0）,

設(shè)直線4c解析式為丁="+。，

.[2火+8=0

??59

\h=4

、k=-2

b=4

???直線AC解析式為y=—2x+4,

y=-2x+4

聯(lián)立1m得一=-2x+4,即2x2—4x+m=0,

y=-x

x

???反比例函數(shù)y=一與直線AC僅有一個(gè)公共點(diǎn)E,

x

:.方程2/一4x+m=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

???A=(-4『-8〃z=0,

in=2,

9

???反比例函數(shù)解析式為y=一；

x

【小問2詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可得AB=AO,CB=CD,

又：BC=AB=5,

；?AB=AD=CB=CD=5,

???四邊形A3CO是菱形，

AAD//BC,

21

在y二一中，當(dāng)y=4時(shí)，x=—,

x2

9

???DF=AD-AF=~,

2

119

=

S八FCD-DF-OA=-X—x4=9.

△FCD222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾

股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

23.已知：中，ZC=90\BMLAB

（1）尺規(guī)作圖：求作A3的中點(diǎn)0,連C0并延長，交于點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求N3OC的余弦值.

條件①：/OC和^3。。的面積為\和邑，且工：S?=3:5；

條件②：doc和。1。。的周長為C1和a，且G—。2=人。.

注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

44

【答案】（1）見解析（2）條件①：一；②一

55

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的畫法及線段的畫法解答；

（2）條件①：根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到AO=CO=8O,推出SBOC：S?=3:5,即

OC=O^=3設(shè)08=34,00=5。，勾股定理求出瓦），根據(jù)余弦定義求值；條件②：根據(jù)

G-C?=AC,推出8C=2AC，設(shè)AC=〃Z,勾股定理求出4B，過點(diǎn)。作。EJ_C8于點(diǎn)E,證明

BEAC1

△ACB?Z\BED,得到——=—=-,設(shè)BE=x,則DE=2x,證得^ACB^DEC,得到

DEBC2

DEAC1“門2x12

—二一，列得------=一,求出x二—加，勾股定理求出80,0。即可.

~CEBC22m+x23

【小問1詳解】

解：如圖，即所求;

【小問2詳解】

條件①：???氐△ABC中，NC=9()，。為A8中點(diǎn),

：,AO=CO=BO,

?

,?0sAOC-―uq、BOC，

???MOC和-30。的面積為S1和S2,且5：§2=3:5,

??SBOC,S2--3.5

PCOB_3

OD-OD-5

設(shè)OB=3〃,OD=5a,

,:LAB>

???在Rt二8。力中，BD=y]OD2-OB2=4a>

???cosZBDC=-=-

OD5

條件②；RtAABC中，ZC-90,。為A6中點(diǎn),

AO=CO=BO?

???ZOCB=NOBC,

???,Boe和/oc的周長為a和G，且C「C2=AC,

?，.OC7+OB+8C-（OC+Q4+AC）=AC,即BC=2AC,

設(shè)AC=，%，則BC=2m,AK=4AC2+BC?=非m，

***AO=CO-BO=^-m?

2

過點(diǎn)。作。E_LCB于點(diǎn)E,

???BM上AB，

???^ABC+ZDBE=90°,

???/ABC=ZBDE,

,:NE=ZAC3=90。，

:.△ACBSBED,

*BEAC1

''~DE~~BC~2'

設(shè)BE=x,則DE=2x,

VZABC=ZDCE,NE=NAC8=90。,

；?&ACBs工DEC

?。石_-J1

，t'CE~~BC~2,

?2x-1

2m+x2

2

解得x=m,

3

:.BE=—m,DE=—m,

33

________277

???BD=ylBE2+DE2=—m,

3

???OD=yJoB2+BD2=-m.

6

2亞

BD_亍'〃_4

cosZ.BDC=

0D~5y/5-5

-----m

6

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，正確掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.如圖1,RtZ^ABC中，NB4C=90。，A8邊上找一點(diǎn)。，以4。為半徑作圓.分別交E4,BC于

點(diǎn)。，E.AE是。。的切線.主DE=3小,CE=4后，

（2）求O的面積；

（3）如圖2,過點(diǎn)A作3C的平行線交OO點(diǎn)于點(diǎn)K，a為劣弧BK上一動點(diǎn)，連接”，在AP上取點(diǎn)

FH

F,4更得NDFP=ZABE,連接C/交AD于”，求一的最大值.

HC

【答案】（1）證明見解析

⑶

4

【解析】

【分析】（1）如圖所示，連接。E,由切線的性質(zhì)得到NO廢+/AEC=90。，再根據(jù)等邊對等角得到

NOEB=NB,由三角形內(nèi)角和定理得到N3+NAC6=90。，即可證明NAEC=NAC8；

（2）如圖所示，連接CO,過點(diǎn)A作4V_LCE于N,交8于M,由勾股定理得CO=56;由（1）

得NAKC=NAC3,則AE=AC,CN=EN==CE=2后,證明石，求出

2

MN='DE=史,由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到八”二祗，則

222

AN=AM+MN=A5同理可證△8OES48AN,求出BE=6后，由勾股定理得3。=15,則

15225萬

So=笈x一___?*

124

（3）過點(diǎn)尸作尸。，八。于Q,力（2）得M是。。的中點(diǎn)，，則￡M=CM=QM=AM二,C。，可

得A、D、C、石都在以M為圓心，以CD為直徑的圓上，再導(dǎo)角證明NDEA+/r>E4=18O。，即點(diǎn)尸

也在以C。為直徑的OM上，證明△"/QS/XCHA,得到￡生二絲；證明△￡>石Bs/XCAB,求出

CHCA

C4=io,A3=20,則卓二華，故當(dāng)為2最大時(shí)，籌才有最大值：如圖所示，過點(diǎn)朋作

CH10（H

MG_LAO于G,先求出。G=4，則=-g=5,由尸Q<QWQW-MG,得到

工

尸勰，出=吟3，則瑞的最大值為容?

【小問1詳解】

證明，如圖所示，連接。石，

???AE是OO的切線，

???ZOE4=90°,

???ZOEB+/AEC=90c,

?：OB=OE,

???/OEB=NB，

???ZB+ZAEC=90°,

???ABAC=90°,

???ZB+ZACT=90°,

???ZAEC=ZACB；

解：如圖所示，連接CO,過點(diǎn)A作AVJ_C￡于N,交。。于M,

???8。為0。的直徑，

???/BED=ZDEC=90°,

在RtADEC中，由勾股定理得CD=\lDE2+CE2=5石；

由（1）得NAEC=N4C8,

AE=AC?

■:ANICE,

：,CN=EN=-CE=2yf5,

2

■:乙BED=NBNA=9^，

???DE//AN,

???/\CMNs/\CDE,

.CM_CN_MN_1

tt~CD~~CD~~DE~2,

：,MN=-DE=—,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),

22

在RLDAC,ZDAC=90°,

：.AM=-CD=—^

22

AAN=AM+MN=點(diǎn)，

同理可證ABDESABAN,

.BEDE0nBE3石3

BNANBE+EN4石4

又?:NE=2亞,

?____B_E___—_3

一BE+26—4，

；?BE=6亞，

在Rt^BOE中，由勾股定理得BD=《BE?+￡>￡2=15,

【小問3詳解】

解：過點(diǎn)尸作A。于Q,

由（2）得M是CD的中點(diǎn),

工在RtVDCE中，EM=-CD,

2

??.EM=CM=DM=AM=-CD

2

???A、D、C、石都在以M為圓心，以C力為直徑的圓上，

,/ZDFP=ZABE，

???/DFA=180°-ZDFP=180°-NABE,

■:ZOEA=NOED?NDEA=90°,NDEB=NOED+NOEB=90°,

???/DEA=NOEB=ZABE,

Z.ZDFA=180°-ZDEA,BPZDFA+ZDE4=180°,

???點(diǎn)廠也在以CD為直徑的CM上，

??,FQ1AD,

??.ZFQH=ZCAH=90°,

又?:NFHQ=NCHA,

???f\FHQ^/\CHA,

.FH_FQ

^~CH~~CA'

VZr>E5=ZC4B=90°,/B=/B,

???ADEBs^CAB,

?_B_D___D__E__B_E_______1_5___

??正一ZT―麗-6石+46'

??.C4=10,AB=20,

.FHFQ

??麗一行‘

???當(dāng)尸。最大時(shí)，劣才有最大值，

CH

如圖所示，過點(diǎn)M作MG_LAO于G,

?"14nAB—BD5

222

在RtZ\OMG中，MG=>jMD2-DG2=5?

丁點(diǎn)尸劣弧AO上，F(xiàn)Q&FGWFM—MG,

.sAO5石.5>/5-10

??FQ獨(dú)大也=FM-MG=：--5=---

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與

判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)

犍.

25.二次函數(shù)必=mx1-2〃a一3的圖象記為G1,其中m*0.

（1）請直接寫出二次函數(shù)M="療-2/玳-3與>軸的交點(diǎn)A及其對稱軸；

（2）若二次函數(shù)到=〃1/一2"a一3過點(diǎn)3（—1,0）,其與工軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線G上是否存在

點(diǎn)N,使是直角三角形，若存在，請求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)乃=aF+&+c的圖像為G，且夾在直線y=2x—7與拋物線G1之

間，二次函數(shù)為同時(shí)符合以下三個(gè)條件:

2

①當(dāng)〃一4<x<2-〃時(shí)，二次函數(shù)y2=ax+bx^-c最大值與最小值之差為9：

②當(dāng)一5Kx<—2時(shí)，必隨x的增大而減小;

③若把圖象G?向左平移3個(gè)單位，當(dāng)一5WXW—2時(shí)，內(nèi)隨”的增大而增大；求實(shí)數(shù)〃的值.

【答案】（1）4（0,-3）,對稱軸為直線工=1

⑵二或?或W或萼

【解析】

【分析】（I）在x=如2-2〃a一3中，求出當(dāng)X=0時(shí)，M的值即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，把X=mx1-2mx-3

化成頂點(diǎn)式即可求出對應(yīng)的對稱軸；

（2）把3（-1,0）代入x=〃優(yōu)2-2〃次一3中求出拋物線@解析式為凹=/一21一3,進(jìn)而求出C的坐標(biāo)

為（3,0）；求出直線AC的解析式為y=x-3,設(shè)N（f,“一劣一3）,再分如圖2-1所示，當(dāng)

Z4OV=90%如圖2-2所示，當(dāng)NC47V=9O。時(shí)，如圖2-3所示，當(dāng)N?WC=90。時(shí)，三種情況討論

求解即可；

（3）先根據(jù)題意得到拋物線開口向上，即?！?；有當(dāng)一5?工4一2時(shí)，出隨x的增大而減小，得到

—<2；根據(jù)平移過后的拋物線，當(dāng)-5KxW—2時(shí)，%隨X的增大而增大，得到222,可以推出

2a2a

?_工22x3

—=2,即匕=4〃；聯(lián)立""-，解得x=2,則拋物線y=/-21-3與》=2八一7只有一

2a[y=2x-7

個(gè)交點(diǎn)（2,-3）；進(jìn)而得到點(diǎn)（2,-3）也在二次函數(shù)為歷+c的圖象上，即可求出c=—1勿—3；

根據(jù)二次函數(shù)為=cix-+加:+c夾在直線y=2x-7與拋物線G之間，得到不等式

a>0

2x—7Wo?+法+。4/一21一3對于一切實(shí)數(shù)都成立，進(jìn)而得到L乙八2,…、八且

A,=（4?-2）-4fz（4-12tz）<0

tz—1<0ii

\、，/、/、解得。=一，則為=—/+工—6,對稱軸為直線彳=一2；根據(jù)

-72

A2=（4^+2）-4（^-l）（-12d）<044

〃—4?x<2—〃，推出〃一4（2-p,即〃K3,2—〃N—12-2,再分當(dāng)〃一4?—2,即〃<2時(shí)，

當(dāng)p-4之一2,即20〃03時(shí)，兩種情況利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問I詳解】

解：在x=〃小一2〃認(rèn)一3中，令工=0,則y=-3,

???拋物線與）'軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。，一3）,

'：拋物線G]解析式為x=mx1-2mx-3=-3-m,

J拋物線y=fnx2-2mx-3的對稱軸為直線x=\：

【小問2詳解】

解：???二次函數(shù)必="a2-2〃a-3過點(diǎn)磯―1,0）,

/.in+2m—3=0>

解得加=1,

???拋物線G解析式為y=V-2x-3,

???拋物線G1對稱軸為直線x=l,

???拋物線G1與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）；

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+bf

[3Z+/?=（）

工<,

\b=-3

、k=\

b=-3

L