廣東省廣州市仲元中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：張婷審題人：譚昌軍一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可得出集合.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：B.2.設(shè)、，“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)且時，，則“且”“”，另一方面，當(dāng)時，可取，，則“且”“”，因此，“且”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.或 D.且【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義列方程求解即可.【詳解】由冪函數(shù)的定義知，即，解得或．故選：C4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)和的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令，解得或，而函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以在上遞減，在上遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：B5.若，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性比較出之間的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)值大小，難度一般.注意冪函數(shù)當(dāng)時在上單調(diào)遞增.6.函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的特征，利用排除法判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A；當(dāng)時，則，故排除C；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，故排除B.故選：D7.已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件變形可得，結(jié)合1的妙用即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以由變形可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為，故選：D8.8月11日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎法蘭西體育場落下帷幕.中國體育代表團(tuán)在巴黎奧運(yùn)會獲得40金、27銀、24銅共91枚獎牌，取得了我國1984年全面參加夏季奧運(yùn)會以來境外參賽歷史最好成績.小明統(tǒng)計了班級60名同學(xué)對游泳、跳水、乒乓球這三類體育項(xiàng)目的喜歡情況，其中有20名同學(xué)同時喜歡這三類體育項(xiàng)目，18名同學(xué)不喜歡乒乓球，20名同學(xué)不喜歡跳水，16名同學(xué)不喜歡游泳，且每人至少喜歡一類體育項(xiàng)目，則至少喜歡兩類體育項(xiàng)目的同學(xué)的人數(shù)為（）A.26 B.46 C.28 D.48【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，畫出韋恩圖，利用容斥原理列式計算即得.【詳解】設(shè)只喜歡游泳、跳水、乒乓球的同學(xué)的人數(shù)分別為，喜歡游泳和跳水兩樣的同學(xué)的人數(shù)為，喜歡游泳和乒乓球兩樣的同學(xué)的人數(shù)為，喜歡跳水和乒乓球兩樣的同學(xué)的人數(shù)為，如圖，則，②+③+④得⑤，①⑤得，所以至少喜歡兩類體育項(xiàng)目的同學(xué)的人數(shù)為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部外選對的得部分分，有選錯的得0分.9.以下正確的選項(xiàng)是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解AC，舉反例即可求解B，根據(jù)作差法可求解D.【詳解】對于A，由于，則，因此，故A正確，對于B，取，滿足，則，故B錯誤，對于C,若，則，進(jìn)而可得，故C正確，對于D，，由于，則，故，故D正確，故選：ACD10.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（），其全程的平均時速為v，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)甲乙兩地相距，則平均速度，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲乙兩地相距，則平均速度，故A錯誤，B正確；又∵，∴，根據(jù)基本不等式及其取等號的條件可得：

，∴，即，故C正確，D錯誤；故選：BC．11.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，，則（）A. B.為奇函數(shù)C.R上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時，【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到，，；B選項(xiàng)，先賦值得到，令得，故B正確；C選項(xiàng)，令，且，當(dāng)時，，故，從而在R上單調(diào)遞增；D選項(xiàng)，先變形得到，又，故，由函數(shù)單調(diào)性得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，中，令中，令得，令得，即，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，解得，中，令得，故為奇函數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，中，令，且，故，即，當(dāng)時，，故，即，故在R上單調(diào)遞增，C錯誤；D選項(xiàng)，由A知，，又，故，又在R上單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的解析式，依次代入與，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則.故答案為：.13.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)知識來求得正確答案.【詳解】依題意，是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以.故答案為：14.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實(shí)數(shù)x，符號表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，定義函數(shù)，則函數(shù)的最小值為_________；函數(shù)的圖象與直線有無數(shù)個交點(diǎn)，則滿足條件的m的取值范圍為_________．【答案】①.0②.【解析】【分析】利用“高斯函數(shù)”的定義，得出的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，依此，可得的圖象如圖所示，由圖知，函數(shù)的最小值為，的值域?yàn)?，所以函?shù)的圖象與直線有無數(shù)個交點(diǎn)，則.故答案為：0；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集為R，集合，．（1）求，；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集、交集運(yùn)算可得結(jié)果；（2）分類討論集合，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【小問1詳解】，故，或，.【小問2詳解】因?yàn)椋裕?dāng)，即時，，符合題意；當(dāng)，即時，，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.設(shè)函數(shù)．（1）命題，使得成立．若p為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可得不等式在R上恒成立，討論a是否為0，結(jié)合判別式解不等式，即可求得答案；（2）不等式等價于，分類討論a的取值范圍，確定與1的大小關(guān)系，即可求得答案.【小問1詳解】為假命題，，為真命題，即不等式在R上恒成立，當(dāng)時，恒成立，則滿足題意；當(dāng)時，需滿足a>0Δ=?a2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問2詳解】不等式等價于．當(dāng)時，不等式可化為，解得；當(dāng)時，，由不等式解得；當(dāng)時，則，原不等式即為，解得；當(dāng)時，則，解得或；當(dāng)時，則，解得或；綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或．17.參加勞動是學(xué)生成長的必要途徑，每個孩子都要抓住日常生活中的勞動實(shí)踐機(jī)會，自覺參與、自己動手，堅持不懈進(jìn)行勞動，掌握必要的勞動技能．在勞動中接受鍛煉、磨煉意志，培養(yǎng)正確的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)．大家知道，用清水洗衣服，其上殘留的污漬用水越多，洗掉的污漬量也越多，但是還有污漬殘留在衣服上，在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上現(xiàn)作如下假定：用單位的水清洗1次后，衣服上殘留的污漬與本次清洗前殘留的污漬之比為函數(shù)．（1）①試解釋與的實(shí)際意義；②寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件或具有的性質(zhì)（寫出至少2條，不需要證明）；（2）現(xiàn)有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次．哪種方案清洗后衣服上殘留的污漬比較少？請說明理由．【答案】（1）表示沒有用水清洗時，衣服上的污漬不變；表示用1個單位的水清洗時，可清除衣服上殘留的污漬的；定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，，此時兩種清洗方法效果相同；當(dāng)時，，此時把單位的水平均分成份后，清洗兩次，殘留的污漬較少；當(dāng)時，，此時用單位的水清洗一次后殘留的污漬較少.【解析】【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義說明即可；②由實(shí)際意義可得出函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性.（2）求出兩種清洗方法污漬的殘留量，并進(jìn)行比較即可.【小問1詳解】①表示沒有用水清洗時，衣服上的污漬不變；表示用1個單位的水清洗時，可清除衣服上污漬的.②函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.【小問2詳解】設(shè)清洗前衣服上污漬為1，用單位的水，清洗一次后殘留的污漬為，則；用單位的水清洗1次，則殘留的污漬為，然后再用單位的水清洗1次，則殘留的污漬為，因?yàn)?，所以?dāng)時，，此時兩種清洗方法效果相同；當(dāng)時，，此時把單位的水平均分成份后，清洗兩次，殘留的污漬較少；當(dāng)時，，此時用單位的水清洗一次后殘留的污漬較少.18.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用“奇函數(shù)在原點(diǎn)上有定義，則”即可求解.（2）根據(jù)單調(diào)性定義即可證明.（3）先將不等式化為，再利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出的最小值即可得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，所以，故，則，，所以為定義在上的奇函數(shù)，故.【小問2詳解】是上的增函數(shù).證明：任取，且，，所以，所以，，，所以，，所以，即，所以是上的增函數(shù).【小問3詳解】當(dāng)時，不等式即，故，則令，由題意可知，，因?yàn)楹瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故，所以.19.歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果對于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù)．（1）已知,,判斷和是不是倒函數(shù)，并說明理由；（2）若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)．記，證明：是的充要條件．【答案】（1）是倒函數(shù)，不是倒函數(shù)；理由見解析（2）證