廣東省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁高二數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章第二節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】對于A，直線的斜率，則傾斜角；對于B，直線的傾斜角；對于C，直線的斜率，則傾斜角；對于D，直線的傾斜角，所以直線的傾斜角最大.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程的特征即可求解.【詳解】雙曲線的焦點在軸上，，，所以漸近線方程為.故選：B.3.已知向量，，若，則（）A B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量共線列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：A.4.若圓的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓的圓心，再結(jié)合題意即可得解.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，由題意得，解得.故選：C.5.已知，分別是橢圓的左、右焦點，過點且與長軸垂直的直線交C于A，B兩點.若為直角三角形，則C的焦距為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，求出,根據(jù)為等腰直角三角形,得到，結(jié)合計算即可.【詳解】由題可求得，則.根據(jù)橢圓對稱性，可知為等腰直角三角形，所以，則，解得，所以橢圓C的焦距為.故選：A.6.已知圓與圓的公共弦與直線垂直，且垂足為，則圓N的半徑為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求公共弦方程，再根據(jù)直線垂直結(jié)論得到，解得.將點坐標(biāo)代入，求出，得到圓的方程即可.【詳解】因為圓與圓，所以它們的公共弦方程為.因為公共弦與直線垂直，所以，解得.將點的坐標(biāo)代入，可得，圓可化為，故圓N的半徑為.故選：B.7.已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點，P是C上一點，直線PA，PB的斜率分別為和3，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由直線的斜率公式，結(jié)合的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，可得的關(guān)系，由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，，所以，則C的離心率.故選：D.8.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過點且一個方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過點且一個法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過點的直線l的方程為，經(jīng)過點P的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題目定義得到直線的一個方向向量，和平面的法向量，由向量夾角的求解公式得出線面角的正弦值.【詳解】經(jīng)過點的直線的方程為，即，則直線的一個方向向量為.又經(jīng)過點的平面的方程為，即，所以的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：B.二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則是橢圓 B.若是圓，則C.若，則是雙曲線 D.若，則是兩條平行于軸的直線【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)橢圓、圓、雙曲線、直線的方程的特點逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，若且，則是橢圓；對于B選項，則是圓，則；對于C選項，若，則是雙曲線；對于D選項，若，方程為，則是兩條平行于軸的直線.故選：CD.10.在四棱錐中，，，，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四邊形為正方形B.四邊形的面積為C.在上的投影向量的坐標(biāo)為D.點P到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)是否相等，是否垂直，即可判斷A；求出再根據(jù)即可判斷B；根據(jù)投影向量的定義即可計算判斷C；根據(jù)點到平面的距離的向量求法即可判斷D.【詳解】對于A，，則，所以，與不垂直，所以四邊形為平行四邊形，故A錯誤；對于B，，所以，所以四邊形的面積為，故B正確；對于C，，則在上的投影向量為，故C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，則有，令x=1，則，所以點到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知，，是曲線上的任意一點，若的值與x，y無關(guān)，則（）A.m的取值范圍為 B.m的取值范圍為C.n的取值范圍為 D.n的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】由方程知曲線為半圓，再由題意轉(zhuǎn)化為半圓夾在兩平行直線之間，求出相切與過端點的情況即可得解.【詳解】由曲線，得，則，所以曲線表示圓心為，半徑的半圓（x軸及以上部分）.設(shè)為點到直線的距離，為點到直線的距離.已知，即表示點到直線和的距離和的倍.由圖可知，該曲線兩平行直線，之間時，點到直線和的距離和為兩平行線之間的距離.當(dāng)與曲線相切時，，解得，則m的取值范圍為；當(dāng)經(jīng)過點時，，解得，則的取值范圍為.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則m的值為_______.【答案】或【解析】【分析】分別求出兩坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)而可得出答案.【詳解】令，則，令，則，則，即，解得或.故答案為：或.13.在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E滿足，點F滿足，若P，A，C，F(xiàn)四點共面，則______.【答案】##【解析】【分析】連接BD，利用向量線性運(yùn)算得，根據(jù)及P，A，C，F(xiàn)四點共面的向量結(jié)論列式求解即可.【詳解】連接BD，由題可知.又，所以，且P，A，C，F(xiàn)四點共面，所以，解得.故答案為：14.已知P是橢圓位于第一象限上的一點，，分別是C的左、右焦點，，點Q在的平分線上，O為坐標(biāo)原點，，且，則C的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】延長OQ交于點A，利用得A為的中點，根據(jù)角平分線及，得，結(jié)合橢圓定義及勾股定理列式化簡得，即可求解離心率.【詳解】設(shè)，，延長OQ交于點A.由題意知，O為的中點，故A為的中點.由，，得是等腰直角三角形，則化簡得即代入得，即.因為，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓M經(jīng)過點，，.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線l經(jīng)過點，且l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將三點代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；（2）首先求直線方程，再根據(jù)弦長公式，即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點，，代入方程，可得解得，，，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】直線l的方程為，即.圓心到l的距離，所以.16.如圖，在正方體中，分別為和的中點.（1）證明：直線平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小問1詳解】如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以，又平面，所以直線平面；【小問2詳解】A0,0,0故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，即平面與平面夾角的余弦值.17.一束光線從點射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點M.（1）求光線從點P到點M經(jīng)過的路程；（2）求反射光線所在直線的方程.【答案】（1）4（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，運(yùn)用“中”“垂”性質(zhì)構(gòu)造方程組，求出，進(jìn)而求出，再求路程即可；（2）設(shè)反射光線為，即，利用直線與圓相切條件計算k即可.【小問1詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即.又圓心，所以，則光線從點P到點M經(jīng)過的路程為.【小問2詳解】由題可知反射光線經(jīng)過點，易知反射光線的斜率存在，故設(shè)反射光線為，即.又圓心，所以，解得或.故反射光線所在直線的方程為或.18.已知等軸雙曲線C的焦點在x軸上，且實軸長為.直線與C交于A，B兩點.（1）求C的方程；（2）若點為線段AB的中點，求k的值；（3）若，且A，B兩點都位于y軸的右側(cè)，求k的取值范圍.【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線概念，結(jié)合條件構(gòu)造方程組求出即可；（2）運(yùn)用點差法求解即可；（3）直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和根的判別式即可.小問1詳解】由題可設(shè)，因為實軸長為，所以，即.故C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，則兩式相減得，整理得.因為線段AB的中點坐標(biāo)為，所以，，所以直線AB的斜率.【小問3詳解】由可得.因為直線與C的右支交于不同的兩點，所以，故，即k取值范圍為.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意一點，總存在一個點滿足關(guān)系式：，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.（1）在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓.（2）在同一直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換得到曲線C.（i）求曲線C的方程；（ii）已知曲線C與x軸交于A，B兩點，P是曲線C上異于A，B的任意一點，直線AP交直線于點M，直線BP交直線于點N，證明以MN為直徑的圓G與x軸交于定點H，并求出點H的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析，或【解析】【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的定義計算即可；（2）（i）運(yùn)用伸縮變換定義，構(gòu)造方程計算即可；（ii）令點，點.設(shè)點，則，設(shè)直線AP的方程為，求出直線AP與直線的交點為.也求出直線BP與直線的交點為