2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）含答案及解析

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷01（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?陜西西安?三模）若集合4={用代W2},B={-3,-1,0,1,3},則ACB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

2.（5分）（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=，貝葉的虛部為（）

A.-2iB.2iC.2D.-2

3.（5分）（2024?湖北武漢?一模）已知向量a=（—1,2）,b=（x,4）,且alb,則例=（）

A.4V5B.4V3C.2V5D.8

4.（5分）（2024?江西九江?三模）若2sin（a+3=cos（a—舁，貝肚an（a—￡）=（）

A.-4—V3^B.-4+C.4—V3D.4+-\/3

5.（5分）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）清代的蘇州府被稱為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各

地.為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛

的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為

50cm,斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米？（）

C.31500D.52500

__

6.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=,-43是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的

loga(4x)-l,x>-4

取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,V3]C.(1,V3)D.(1,3)

7.(5分)(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))設(shè)3>0,已知函數(shù)/'(￡)=sin(33x-gsin(25+金在(0m)上恰

有6個(gè)零點(diǎn)，則3取值范圍為()

兒(品]c得用D(淖]

8.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,函數(shù)/(久)=/(I+%)-(1+久)為偶函

數(shù)，函數(shù)6(嗎=/(2+3切-1為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(乃的一個(gè)對(duì)稱中心為(2,1)B./(0)=-1

C.函數(shù)/'(%)為周期函數(shù),且一個(gè)周期為4D.f(l)+/■⑵+f⑶+f(4)=6

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.(6分)(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))己知X,丫都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且X?N(外,簧)，Y?N3

,172),其中〃I,〃26R,CTI,CT2GR+,則下列命題正確的有()

A.E(X)=%

B.D(X)=tri

C.若〃i=2,6=1,則P(XW1)+P(XW3)=1

D.若〃i=〃2=0,。1=2,o-2=3,則P(|X|W1)>P(|HWl)

10.(6分)(2024?河北衡水?三模)已知函數(shù)/(%)=爐-小刀2,%=2是函數(shù)/(X)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)

法正確的是()

A.m=3B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減

C.過(guò)點(diǎn)(1,-2)能作兩條不同直線與y=/(x)相切D.函數(shù)曠=升/。)]+2有5個(gè)零點(diǎn)

11.（6分）（2024?廣東江門(mén)?一模）已知曲線E:岑+萼=1,則下列結(jié)論正確的是（）

4o

A.y隨著x增大而減小

B.曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為[-2,2]

C.曲線E與直線y=-1.4x相交，且交點(diǎn)在第二象限

D.M（x（）,yo）是曲線E上任意一點(diǎn)，貝11|四右+的取值范圍為（0,4]

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）橢圓，+餐=1（￡1>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1尸2,過(guò)尸2作無(wú)軸的垂

線交橢圓于P,Q,若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為.

13.（5分）（2024?上海?三模）設(shè)曲線/（久）=。9+6和曲線g（x）=cos號(hào)+c在它們的公共點(diǎn)P（0,2）處有相

同的切線，則廳+c的值為.

14.（5分）（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,3的盒子，標(biāo)號(hào)為1的盒子里面有2個(gè)紅球和2個(gè)

白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里

面取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，則3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（2024?安徽蕪湖?三模）已知a,hc分別為△4BC三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊,且6cos2+V3bsinX=a+c

⑴求B；

（2）若b=2,△ABC的面積為g，。為AC邊上一點(diǎn)，滿足CD=24。，求BD的長(zhǎng).

16.（15分）（2024?浙江紹興?三模）己知雙曲線「/一。=1與直線八丫=久+1交于在、B兩點(diǎn)（4在B左

側(cè)），過(guò)點(diǎn)力的兩條關(guān)于/對(duì)稱的直線人、A分別交雙曲線「于C、。兩點(diǎn)（C在右支，。在左支）.

（1）設(shè)直線。的斜率為七，直線%的斜率為七，求七?七的值；

（2）若直線CD與雙曲線「在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)P,求△ABP的面積.

17.(15分)(2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在五邊形4BCDE中，AB=BD,ADLDC,EA=ED且

EAX.ED,將△4ED沿4D折成圖2,使得EB=4B,F為4E的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)證明：BF〃平面ECD；

(2)若EB與平面4BCD所成的角為30。，求二面角4-EB-D的正弦值.

18.(17分)(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=l-x[(lnx)a-制,a€R.

(1)若函數(shù)/(x)在久=9處切線的斜率為j求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，[1,+8),/(%)-0恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；

n

,2>ln(2n+l),neN*.

Zi=lV(2i)2-1

19.(17分)(2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛an｝,｛bn｝,如果存在正整數(shù)23,當(dāng)任意正整數(shù)

時(shí)均有歷<a1<b2<a2<...<an_i<bn<an,則稱｛an｝為｛bn｝的“沏項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”.若n?？扇∪我獾恼?/p>

整數(shù)，則稱｛an｝為也｝的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列”.

(1)已知bn=2H請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列｛%｝的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列｛an｝"，并說(shuō)明理由？

(2)若｛an｝,｛bn｝滿足斯+bn=6n-2,其中也｝是首項(xiàng)比=1的等差數(shù)列，當(dāng)｛an｝為也｝的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列”

時(shí)，求｛斯｝的通項(xiàng)公式：

(3)已知等差數(shù)列｛%｝和正整數(shù)等比數(shù)列｛斯｝滿足：斯=^緘八以卜+i)-i(n=1,2，…,2024),其中人是正整

數(shù)，求證：存在正整數(shù)上使得｛an｝為｛以｝的“2024項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”.

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷01（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024,陜西西安?三模）若集合4=W2},B={-3,-1,0,1,3},則ACB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

【解題思路】先求解根式不等式，化簡(jiǎn)集合4然后再根據(jù)集合交集運(yùn)算規(guī)則即可求解.

【解答過(guò)程】依題意得力={x\y[x<2}-[0,4]>則anB=[0,1,3）.

故選：C.

2.（5分）（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=MJ，貝葉的虛部為（）

A.-2iB.2iC.2D.-2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則計(jì)算，然后求虛部即可.

,冷刀匠、廿工口中13-i（3-i）（l-i）3-l-4i

【解答過(guò)程】片干=（i+i）（i-i）=~r~=1-21,

所以：的虛部為-2.

故選：D.

3.（5分）（2024?湖北武漢?一模）已知向量a=（—1,2）,b=（x,4）,且a16,則網(wǎng)=（）

A.4V5B.4V3C.2V5D.8

【解題思路】先應(yīng)用向量垂直數(shù)量積為0求參，再根據(jù)模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng)即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍1b,所以=-lxx+2x4=0,所以％=8,

因?yàn)?=(8,4),所以“=,82+42=4V左

故選：A.

4.(5分)(2024?江西九江?三模)若25也(仇+勺=3(仇一9，貝ijtan"/)=()

A.-4—^3B.—4+C.4—D.4+V3

【解題思路】設(shè)S=a-也則原等式可化為2sin(/?+?=cos(/?—3,化簡(jiǎn)后求出tan/?即可.

【解答過(guò)程】令夕=a一也則a=S+?

所以由2sin(a+])=cos(a-勺，

得2sin(4+])=cos(/?-B，

即2cos/?=亨ocs￡+|sin/?,

即sin￡=(4-V^jcosS，得tan/?=

所以tan(a-微)=tanQ=4-V3,

故選：C.

5.(5分)(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))清代的蘇州府被稱為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各

地.為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛

的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為

50cm,斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【解題思路】利用棱臺(tái)的體積公式，即可計(jì)算得出答案.

【解答過(guò)程】一斛米的體積為了=(。上+S下+[上S下｝=(252+502+25X50)x36=52500(cm3),

因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為卷=10500(cm3),

故選：A.

---z—x<-

,~43是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的

loga(4x)-l,x>-

取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,V3]C.(1.V3)D.(1,3)

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于a的不等式,

即可求解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，當(dāng)xW：時(shí)，/(x)=—七=三，可得/(X)在(―叫H上遞增，

--

要使得函數(shù)f(X)=,言3是R上的單調(diào)函數(shù)，

loga(4x)-l,x>-

則滿足a>l,Jlloga(4xy)-l>-4XL4>解可得

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,、⑶.

故選：B.

7.(5分)(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))設(shè)3>0,已知函數(shù)/■(%)=sin(3s:-加n(23x+等)在(0萬(wàn))上恰

有6個(gè)零點(diǎn)，則3取值范圍為()

A-(S-3B.償，目C償用D.

【解題思路】令/(%)=0,解方程得刀=空戶或％=當(dāng)夢(mèng)，在區(qū)間(0,n)取6個(gè)零點(diǎn)即可.

【解答過(guò)程】由題意可知，

令/'(x)=sin(3a>x—T)sin(2a>x+金=0,

即sin(33x—怖)=0或sin(23x+=0,

即久;管翳或％=嚙史，

口5n7n9ir13TT17TT19TT

當(dāng)x>0時(shí)，零點(diǎn)從小到大依次為x=

12co'五?五?五？12a/12co'五？

因此有翳

即3c修瑪.

故選：B.

8.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,函數(shù)9(%)=/(1+%)-(1+%)為偶函

數(shù)，函數(shù)6(嗎=/(2+3嗎-1為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(乃的一個(gè)對(duì)稱中心為(2,1)B./(0)=-1

C.函數(shù)/(%)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4D./(I)+/(2)+/(3)+/(4)=6

【解題思路】對(duì)于A,由G(x)為奇函數(shù)，則G(-久)=-G(x),再將6(久)=/(2+3尤)一1代入化簡(jiǎn)可求出對(duì)稱

中心；對(duì)于B,由選項(xiàng)A可得f(2)=l,再由F0)為偶函數(shù)可得f(l+x)-f(l-x)=2x,令x=l可求出

/(0)；對(duì)于C,由/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，結(jié)合/(0)=-1求出/(4)進(jìn)行判斷；對(duì)于D,利用賦值法求

解判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)镚(x)=/(2+3x)—1為奇函數(shù)，

所以G(-x)=-G(x),gp/(2-3x)-l=-，(2+3x)-1],

所以J(2-3x)+f(2+3x)=2,所以f(2—%)+/(2+x)=2,

所以函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，所以A正確，

對(duì)于B,在f(2-%)+f(2+%)=2中，令尤=0,得2f(2)=2,得/(2)=1,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=/(I+%)-(1+尤)為偶函數(shù)，所以F(-幻=F(x),

所以/'(l-x)-(l-x)=/(I+x)-(l+x),

所以/(1+%)一/(1一支)=2久,

令％=1,則f(2)—f(0)=2,所以1—/(0)=2,得/(())=-1,所以B正確,

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，/(0)=-1,

所以/4)=3,所以-0)7f(4),

所以4不是/(x)的周期，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,在/(2-嗎+/(2+%)=2中令刀=1,則f(l)+/(3)=2,

令x=2,則f(0)+〃4)=2,因?yàn)?0)=-1,所以f(4)=3,

因?yàn)?1(2)=1,所以/'⑴+/(2)+/(3)+/(4)=6,所以D正確,

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.(6分)(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))己知X,丫都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且X?N(包簧)，Y?Ng

，黃)，其中“2CR,0-1,0-2GR+＞則下列命題正確的有()

A.E(X)=4]

B.D(X)=Oi

C.若%=2,6=1,則P(XW1)+P(XW3)=1

D.若〃i=〃2=0,-i=2,0-2=3,則P(|X|W1)>P(|Y|Wl)

【解題思路】由正態(tài)分布的期望公式及方差公式即可判斷AB；由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷C；由方差的

性質(zhì)即可判斷D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,由正態(tài)分布的期望公式得，E(X)=",故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布的方差公式得，D(X)=戊，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由正態(tài)分布的對(duì)稱性得，P(XW1)=P(X23),

所以P(X<1)+P(X<3)=P(X>3)+P(X<3)=l,故C正確；

對(duì)于D,由〃i=〃2=0，。1=2,cr2=3,則簧=4,成=9,

根據(jù)方差的性質(zhì)知，X分布更集中，所以P(|X|W1)>P(|HW1),故D正確；

故選：ACD.

10.(6分)(2024?河北衡水?三模)已知函數(shù)/0)=久3一6/,久=2是函數(shù)/(久)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)

法正確的是()

A.m=3B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減

C.過(guò)點(diǎn)(1,一2)能作兩條不同直線與y=fQ)相切D.函數(shù)曠=升/0)]+2有5個(gè)零點(diǎn)

【解題思路】求得f'(x)=3/-2mX,根據(jù)r(2)=0,可判定A正確；由尸(x)=3x(x—2),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,-2)且與函數(shù)y=f(x)相切的切點(diǎn)為(xO,yo),求得切線

方程，列出方程求得配的值，可判定C錯(cuò)誤；令〃x)=t,作出函數(shù)的圖象，得到—l<ti<0<t2<t3,進(jìn)

而的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判定以D正確.

【解答過(guò)程】對(duì)于A中，由函數(shù)f(x)=/―爪/,可得「(%)=3%2-2巾%,

因?yàn)榫?2是函數(shù)/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得尸(2)=3x22-2巾X2=0,

解得爪=3,經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；

對(duì)于B中，由尸(久)=3%(%—2),令/(久)=0,解得Xi=0或%2=2,

當(dāng)x6(—8,0)時(shí)，尸(x)>0；當(dāng)xe(0,2)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，f(x)>0,

故f(x)在區(qū)間(-8,0)上遞增，在區(qū)間(0,2)上遞減，在區(qū)間(2,+8)上遞增，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，設(shè)過(guò)點(diǎn)(L-2)且與函數(shù)y=f(x)相切的切點(diǎn)為(配,處)，

則該切線方程為y==(3就一6m)。一1)-2,

__2

由于切點(diǎn)(%o，yo)滿足直線方程，貝！irOo)=(3XQ-6x0)(^o1)=焉-3痣

整理得2(x0-1)(焉—2祀+1)=0,解得%o=L所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，令f（x）=t,則-t）=一2的根有三個(gè)，如圖所示，2Vt3,

所以方程f（x）=11有3個(gè)不同根，方程/'（X）=以和/'（X）=%均有1個(gè)根，

故y=/l/（x）］+2有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.

11.（6分）（2024?廣東江門(mén)?一模）已知曲線E:岑+萼=1,則下列結(jié)論正確的是（）

4o

A.y隨著x增大而減小

B.曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為［-2,2］

C.曲線E與直線y=-1.4x相交，且交點(diǎn)在第二象限

D.M（%o，yo）是曲線E上任意一點(diǎn)，則|或久0+%|的取值范圍為（0,4］

【解題思路】首先對(duì)X、y分類討論分別得到曲線方程，畫(huà)出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B,由雙曲線的漸

近線與y=-1.4%的關(guān)系判斷C,由點(diǎn)到直線的距離公式得到|6通+yob即點(diǎn)M（%o,yo）到直線+y=0

的距離的四倍，求出直線近x+y+c=0與曲線?+看=1（*20）20）相切時(shí)c的值，再由兩平行線將的距

離公式求出|魚(yú)孫+yol的最大值，即可判斷D.

【解答過(guò)程】因?yàn)榍€E:岑+等=1,

4o

當(dāng)X20,丫20時(shí)1+（=1,則曲線E為橢圓1+（=1的一部分；

4o43

當(dāng)％>0,）/<0時(shí)1一（=1,則曲線E為雙曲線3—《=1的一部分，

4-o4-o

且雙曲線的漸近線為y=±V2x；

當(dāng)％<0,）/>0時(shí)q-3=1,則曲線E為雙曲線（一［=1的一部分，

且雙曲線的漸近線為y=±V2%；

可得曲線的圖形如下所示：

由圖可知y隨著x增大而減小，故A正確;

曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為R,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)?1.4>-VL所以曲線E與直線y=-1.4x相交，且交點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤:

|V^Xo+yo|

因?yàn)閨魚(yú)配+y0|=V3XJ（耳+12,即點(diǎn)MQ）,yo）到直線+y=0的距離的四倍，

當(dāng)直線缶+y+c=0與曲線?+^=l(x>0,y>0)相切時(shí),

由［；_4+8-1,消去y整理得4X2+2V2CX+c2-8=0,

lv2x+y+c=0

2

則△=(2V^c)-16(c2-8)=0,解得c=4(舍去)或c=—4,

_⑶4

又衣％+y=。與+y-4=0的距離d==再，

所以|近&+y0|max=V3d=4,

所以+y0|的取值范圍為（0,4],故D正確;

故選：AD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）橢圓，+=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為%,尸2,過(guò)尸2作無(wú)軸的垂

線交橢圓于P,Q,若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)倉(cāng)二

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出離心率.

【解答過(guò)程】令橢圓的半焦距為c,由PQlx軸，為等腰直角三角形，得|PF2l=l%尸2l=2c,

|P%|=五|%尸2|=2五c,由橢圓的定義得|P%|+|P&I=2a,即2近c(diǎn)+2c=2a,

r1

所以橢圓的離心率e=-=-^77=V2-1.

aV2+1

故答案為：V2—1.

1

13.(5分)(2024?上海?三模)設(shè)曲線f(X)=aeX+b和曲線g(x)=cos號(hào)+c在它們的公共點(diǎn)P(0,2)處有相

同的切線，則/+c的值為2.

【解題思路】根據(jù)兩曲線在P(0,2)有公切線，貝必是公共點(diǎn)，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出a,瓦c的值,

則答案可求.

【解答過(guò)程】由已知得囁3；仁仁]解得c=l,6=2—a,

又f'(x)=aex,g'(x)=-fsin^x,

所以尸(0)=9'(0)得a=。，

所以a=0,b=2,c=1,

所以/?a+c=2°+l=2.

故答案為：2.

14.(5分)(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為123的盒子，標(biāo)號(hào)為1的盒子里面有2個(gè)紅球和2個(gè)

白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里

面取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，則3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球的概率為=.

-----1Q-----

【解題思路】設(shè)4：從標(biāo)號(hào)為1的盒子中取出的2個(gè)球中有i個(gè)紅球，i=0,1,2,B-.3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅

球和2個(gè)白球，則8=48U&8U4B,由概率的乘法公式和全概率公式可得P(B)=P(B|4o)P(&)+P

(BM1)P(X1)+P(B|42)P(42),再由古典概型分別求出對(duì)應(yīng)結(jié)果，代入計(jì)算即可得到答案.

【解答過(guò)程】設(shè)4：從標(biāo)號(hào)為1的盒子中取出的2個(gè)球中有i個(gè)紅球，i=0,1,2,

B：3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所以8=aoBu4iBu42B,

貝UP(B)=PQA0BUA^BUA2B)=P(4oB)+P(&B)+P(42B)

=P(B\Ao)P(Ao)+P(B?)P(4)+P(B|42)P(42)

_CjC|C|C|C|C|C|C|C|C|

一「2?[2十12'[2十12?r2

故答案為：

Io

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（2024?安徽蕪湖?三模）己知a,6,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊,且bcosA4-gbsinA=a+c

⑴求B；

（2）若6=2,△ABC的面積為g，。為AC邊上一點(diǎn)，滿足CD=22。，求BD的長(zhǎng).

【解題思路】（1）正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去C,由和差公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得；

（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式列方程組求出a,c,然后在中利用余弦定理可得.

【解答過(guò)程】（1）由正弦定理有sinBcosA+V^sinBsinA=sinA+sinC,

因?yàn)閟inC=sin（4+B）=sinXcosB+cosdsinB,

所以sinBcosA+V3sinBsin?l=sinX+sin/lcosB+cos/lsinB,

化簡(jiǎn)得A/^sinBsin力=sin力+sim4cosB,

由4￡（0,Tt）,sin4豐0有V^sinB=1+cosB,可得sin（B—

因?yàn)椋ㄒ缓推?

所以B—合也則B*.

（2）由B=='jacsinB=內(nèi)有ac=4

又爐=a2+2accosB可得a?+c2=8,

聯(lián)立｛加：￡=8解得a=c=2,所以aaBC為正三角形，

所以4D=|,2=],

在△4BD中，由余弦定理得BA=22+（|）2-2x2x|x|=y.

故8。的長(zhǎng)為第.

16.（15分）（2024?浙江紹興?三模）已知雙曲線「：*2一?=1與直線/：y=*+i交于人、B兩點(diǎn)（4在8左

側(cè))，過(guò)點(diǎn)力的兩條關(guān)于/對(duì)稱的直線A、L分別交雙曲線r于c、。兩點(diǎn)(C在右支，D在左支).

(1)設(shè)直線A的斜率為H，直線L的斜率為七，求心?卜2的值；

(2)若直線CD與雙曲線r在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)P,求aABP的面積.

【解題思路】⑴設(shè)直線人、%的傾斜角分別為。1、&(。1、出6(0萬(wàn)))，則。1+。2=2戊=?再利用斜

率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；

(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線「在點(diǎn)B處的切線方程為|x-|y=l,不妨設(shè)直線CD為巾(％+1)

+即/=1,與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解.

【解答過(guò)程】(1)由題意知直線，斜率為1,???直線/的傾斜角a=也

設(shè)直線小&的傾斜角分別為&、。2(3、02G(O,n)),

直線，1、％關(guān)于直線，對(duì)稱，.,?&+%=2a=],

?1?的?七=tang?tan02=tan。廠tan(1-g)=既臺(tái)?=1.

⑵聯(lián)立上力(_I,O),B(|，9，

{y=X+1'33，

雙曲線「在點(diǎn)8處的切線方程為I%-|y=1.

不妨設(shè)直線CD為+1)+ny=1,。(8,月),

丫2—y—1r4r丫+11、2第2A=n

,.4?，得伊松乂+W+乙—「,

{m(x+1)+ny=1(mlx+ij+ny—1

=>4(%+l)2—8(x+1)[m(x+1)+ny]—y2=0

整理得缶+而?喜+8巾-4=0,將等式看作關(guān)于孱的方程：

IX--IX)人TA人TA

兩根之和毋1+含=-8n,兩根之積等T壽=8m-4，

y】yi

而其中七,k2=kAC-kAD=五百?石五=8m-4,

由(1)得/q,七=1,m=|

o

直線CD為ax+1)+ny=1,過(guò)定點(diǎn)電0),

又「雙曲線F在點(diǎn)B處的切線方程為聲—|y=1,過(guò)點(diǎn)《,0),P(1,0),

'''SAABP=|-\AB\'dP_AB=1-V2?|

17.(15分)(2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在五邊形4BCDE中，AB=BD,ADLDC,EA=ED且

EA1ED,將△AED沿4。折成圖2,使得EB=4B,F為AE的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)證明：BF〃平面ECD；

(2)若EB與平面A8CD所成的角為30。，求二面角4—EB-D的正弦值.

【解題思路】(1)取4。的中點(diǎn)G,連接BG,FG,從而證明BG〃平面ECD,FG〃平面ECD,即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得證.

(2)推導(dǎo)出平面BFG,BGL平面E4D,平面E4D，平面48CD,連接EG,以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB,GD,

GE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角4-EB-。的正弦值.

【解答過(guò)程】(1)取2。的中點(diǎn)G,連接8G,FG,

■■■AB=BD,G為4。的中點(diǎn)，.-.BG1AD,

5LAD1DC,：.BG//CD.

又8GC平面EC。，CDu平面ECD,二BG〃平面ECD.

???F為4E的中點(diǎn)，.-.FG//ED.

又FGU平面ECD,EDu平面ECD,；.FG〃平面EC。，

又BGC\FG=G,8G,FGu平面BFG,二平面BFG//平面EC。，

又BFu平面BFG,BF〃平面ECD.

(2)■?EALED,由⑴知FG//ED,.-.FG1AE,

又EB=AB,F為4E的中點(diǎn)，BF1AE,

又BFCFG=F,BF,FGu平面BFG,二4E_L平面BFG,

又BGu平面BFG,：.BGLAE,

又BG14D,AD(\AE=A,4D,4Eu平面EAD,.?.BG1平面E4D,

又BGu平面2BCD,二平面E4DJ.平面2BCD,

連接EG,-：EA=ED,G為4。的中點(diǎn)，.-.EG1AD,

又平面EADC平面ABCD=/W,EGu平面E4D,

：.EGA.^\^ABCD,BGu平面ABC。，：.EGLBG,

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB,GD,GE所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

NE8G是與平面力BCD所成的角，BRzFBG30°,

■：EA^ED,設(shè)E4=t（t>0）,貝！EG=*t,EB=&t,BG=等,

'1'G（0,0,0）,E（0,0,乎t）,力（0,—亨。0）,D（0,日t,0）,B（乎t,0,0）,

???麗=(孚2一爭(zhēng)),而=(0，￥t，￥t),而=(0,一乎t,爭(zhēng)),

設(shè)平面/BE的法向量為亢1=(xlly1/z1),

（西?麗=逅江1一返tZi=。

則」一%1金1令孫=1,得用=（1,—6,㈣,

叫■AE=—ty1+—tzi=0

設(shè)平面DBE的法向量為無(wú)=(刀2，丫2/2),

[厄,朋=當(dāng)52-受Z2=0

令X2=l，得放=(1,百,陶,

隔.而=一爭(zhēng)丫2+孝tZ2=0

設(shè)二面角A-EB-D的平面角為仇

I無(wú)?何I11

IcosOI=|3〈可市)|=帚扃=亦再=亍

所以sine=V1-COS20=竽，即二面角4一EB-。的正弦值為竽.

18.(17分)(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=l—x[(lnx)a—x],aeR.

(1)若函數(shù)/(%)在％=；處切線的斜率為：，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，[1,+8),/(%)-61之0恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；

n

—2—>ln(2n+l),n6N*.

Zt=17(2i)2-l

【解題思路】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率構(gòu)造方程，求出。即可.

(2)將0代入不等式，x和加參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題即可.

(3)由(2)知，當(dāng)X>1時(shí)，有%+—2>(ln%)2,即V^-^>lnx,后進(jìn)行放縮證明即可.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)?(%)=2%-(ln%)aT?(a+In%),所以「&=|一(一1)7?(a-1)=：,

所以a=l

-1

22

(2)因?yàn)?(%)=x—x(lnx)+1,%>0,當(dāng)久之1時(shí)，/2_%(］口%)2+1之血久恒成立，所以m<x+--

(In%)2,

設(shè)9(%)=%+：—(1口%)2,%>1,

則g，(久)=19一等=互誓曰，

因?yàn)?%2-2%ln%-1)'=2(%-lnx-1),(%-lnx-l)z=1-p

當(dāng)歸1時(shí)，有1—嚏之0,所以函數(shù)y=%—In%—1單調(diào)遞增，x—Inx—1>1—Ini-1=0,

所以函數(shù)y=單調(diào)遞增，

故x2—2x\nx—l>I2—2x1xIni-1=0,

所以函數(shù)9(%)=%+§-(ln%)2單調(diào)遞增，故g(%)Ng(l)=2,所以m<2,

所以實(shí)數(shù)冽的最大值為2.

11

(3)由(2)知，當(dāng)時(shí)，有x+--2>(Inx)2,即V%->In%,

設(shè)iGN*,取第=券>1,所以&

ZL172t—172t+lZ.i—1

用22i+lyn2.Vn12i+l

理-乙

“412i-lZ-ij=iV4i2-1t=i2L-1

因?yàn)?gt;=ln1+In,+…+In｝+；=Inf-x-xx2n+1)=ln(2n+1),

乙-2i-l132n