甘肅省2024-2025學年高二上學期期末學業(yè)質量監(jiān)測數(shù)學試卷

第1頁/共1頁2024~2025學年第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測卷高二數(shù)學（120分鐘150分）1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，進而得到傾斜角.【詳解】的斜率為，又傾斜角，故直線傾斜角為.故選：B2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，且滿足，則等于（）A.34 B.30 C.28 D.22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，且滿足，所以，故選：B.3.已知拋物線經(jīng)過點，則拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)點在拋物線上求出，根據(jù)拋物線方程得出準線方程.【詳解】拋物線經(jīng)過點，則，所以，所以拋物線準線方程為.故選：C.4.已知點為圓上兩點，若，且，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)弦長及面積求出圓心到直線的距離為，再由勾股定理求得半徑.【詳解】因為，設圓心到直線的距離為，則，所以，所以．故選：C．5.已知某校教學樓共有四層，每層有8個班級，先從四個樓層中選取兩層，然后從所選的樓層中一層選3個班級，另一層選4個班級進行衛(wèi)生檢查，則不同的選取方式共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】由組合知識，結合分步計數(shù)原理得到答案.【詳解】先從四個樓層中選取兩層，方案有種，從所選的樓層中一層選3個班級，另一層選4個班級進行衛(wèi)生檢查，方案有種，綜上，不同的選取方式有種.故選：A6.若雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則其離心率為（）A. B. C.2或 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)漸近線的夾角可得的值，從而可求離心率.【詳解】由題設可得漸近線的方程為，因為兩條漸近線的夾角為，故直線的傾斜角為或，故或，故或，故選：C.7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，若的前7項和為，則數(shù)列的前7項和為（）A. B. C. D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，由得到，結合等比數(shù)列的前7項和為得到，進而證明數(shù)列為等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列公比為，前項和為若，則，，不符合題意，所以，所以由得到，，將代入得，因為為等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列也為等比數(shù)列，首項為，所以數(shù)列的前7項和為，故選：D8.設分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，的周長為，且，則的面積為（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質得到，結合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面積.【詳解】由橢圓的性質可得，又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即，∴，C選項正確；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線和直線，則直線平行的充分不必要條件可以是（）A. B.或C. D.【答案】AC【解析】【分析】求出直線平行的充要條件，再由充分不必要條件的定義即可得答案.【詳解】解：當直線平行時，則有，解得或，經(jīng)檢驗此時兩直線平行，所以直線平行的充要條件為或，由充分不必要條件的定義可知A，C滿足題意.故選：AC．10.在下列關于二項式的命題中，正確的是（）A.的展開式中，一共有6項B.在的展開式中，所有二項式系數(shù)的和為64C.若，則D.二項式，若，則【答案】ABC【解析】【分析】應用展開式的性質判斷A；利用展開式二項式系數(shù)的和公式求解判斷B；令與，可求得的值判斷C；求得中的系數(shù)即可計算判斷D.【詳解】對于A，二項式展開式一共有6項，A正確；對于B，在的展開式中，所有二項式系數(shù)的和為，故B正確；對于C，令，可得，令，可得，所以，故C正確；對于D，二項式，則，令，得，則，故D不正確.故選：ABC.11.已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過的直線與交于兩點，過作的垂線，垂足分別為為坐標原點，則（）A.若直線的斜率為1，則 B.以為直徑的圓與軸相切C. D.【答案】BD【解析】【分析】求出拋物線的焦點及準線方程，求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義結合韋達定理判斷A；利用拋物線定義，結合圓的切線判斷B；舉例說明判斷C；推理證得判斷D.【詳解】拋物線的焦點，準線，點，設，對于A，直線，由消去得，，，A錯誤；對于B，，線段中點橫坐標，弦中點到軸的距離為，因此以為直徑的圓與軸相切，B正確；對于C，當點在軸下方時，，而，C錯誤；對于D，由，得，同理，則，因此，D正確.【點睛】關鍵點點睛：涉及拋物線過焦點的弦問題，合理利用拋物線的定義是解決問題的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列中，，當時，，則通項公式為_________．【答案】【解析】【分析】變形得到，故為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項公式求出答案.【詳解】當時，，故，其中，故為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故，所以.故答案為：13.在的展開式中，各項的二項式系數(shù)中第三項和第四項相等且最大，則的系數(shù)為__________．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的概念以及組合數(shù)的性質可求出結果.【詳解】依題意可得，得，因為的通項公式為，令，即，則的系數(shù)為.故答案為：40.14.已知橢圓內一點，直線與橢圓交于兩點，且為線段的中點，則__________．【答案】【解析】【分析】利用“點差法”求得直線斜率，寫出直線方程，聯(lián)立方程組結合弦長公式即可求解.【詳解】設,則，兩式作差可得：，因為為線段的中點，所以，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，則，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需1人完成，每人至少完成1項工作．（1）共有多少種不同的情況；（2）求甲做工作的概率．【答案】（1）36（2）【解析】【分析】（1）由題意可知有1人做兩項工作，其余2人各做一項工作，根據(jù)排列與組合的知識求解即可；（2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一項工作，求解即可.【小問1詳解】解：甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需1人完成，每人至少完成1項工作，故有1人做兩項工作，其余2人各做一項工作，共有種情況．【小問2詳解】解：甲做工作的情況有2種：①甲只做工作，共有種情況；②甲做工作及中的任意一項工作，共有種情況，所以甲做工作的情況有種，故所求概率為．16.已知圓，圓．（1）若兩圓公共弦所在直線的方程為，求的值；（2）若圓與直線相交于兩點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)圓所滿足的條件得到不等式，得到，兩圓相減得，根據(jù)公共弦方程，得到，求出答案；（2）由求出圓心到直線的距離，進而由點到直線距離公式得到方程，求出.【小問1詳解】由題意，得，解得．，，兩式相減得．又兩圓公共弦所在直線的方程為，即，所以，即，滿足，故；【小問2詳解】圓化為標準方程：．設圓的半徑為．在中，取的中點，連接，如圖．因為，所以．又因為為圓心到直線的距離，所以，所以，解得．17.已知數(shù)列的首項為，且滿足，數(shù)列是首項為2，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是和的等差中項．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由題設中的遞推關系可得，故可求證為等差數(shù)列，故可求的通項公式；（2）利用分組求和可求.【小問1詳解】由，得，否則，依次，這與題設矛盾，而，于是，所以數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，故，所以．【小問2詳解】由（1）得．設數(shù)列的公比為，則，且．因為是和的等差中項，所以，即，解得或（舍去）或（舍去），所以，所以，所以．所以．18.在平面直角坐標系中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點，焦距為，過點且斜率為的直線（1）求橢圓的方程；（2）求斜率的取值范圍；（3）當時，求兩點的坐標．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題設求出基本量后可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用判別式為正可求參數(shù)的范圍；（3）結合（2）中結果可求兩點坐標.【小問1詳解】由題意得，又，所以，所以的方程為．小問2詳解】過點且斜率為的直線的方程為，聯(lián)立與，得，，解得或，故斜率的取值范圍是．【小問3詳解】時，，聯(lián)立得，，解得或，當時，，當時，，故或．19.已知雙曲線的左、右焦點分別為，實軸長為2，為的右支上一點，且．（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線上任意一點關于直線的對稱點為，過分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，與雙曲線分別交于點，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結合雙曲線的定義可得，根據(jù)